ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-29)

Rückblick auf die vorherige Lektion

• Kapazität speichert Energie in Form von Ladungen im elektrischen Feld
• Kondensator als Bauteil, das die Kapazität technisch nutzbar macht
• Kapazitives Verhalten in elektrischen Netzwerken
• Schaltungen mit Kapazitäten
  • Reihenschaltung
  • Parallelschaltung
  • Gemischte Schaltung
• Lade- und Entladeverhalten von Kapazitäten

[!summary]- Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Wie entstehen Kraft und Bewegung aus Elektrizität und andersherum?
• Wie funktioniert die Lorentzkraft und wo wird sie angewendet?
• Was ist Induktivität und wie speichert eine Spule Energie?
• Welche praktischen Anwendungen gibt es für elektromagnetische Felder?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Elektromagnetische Größen erklären und mit ihnen rechnen.
• Stromstärken und Spannungen in Spulen sowie in Schaltungen mit mehreren Spulen berechnen.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Magnetische Eigenschaften von Werkstoffen
• Magnetfeld und dessen physikalische Größen
• Magnetisierungskennlinie/Hystereseschleife
• Lorentzkraft
• Spule und ihre Induktivität
• Schaltungen von Induktivitäten
• Induktivität als Energiespeicher

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:

1. Magnetismus auf physikalischer Ebene
2. Magnetfelder
3. Magnetische Werkstoffeigenschaften
4. Elektromagnetische Größen und ihre Beziehungen
5. Technische Nutzung
6. Induktivität
7. Schaltungen mit Induktivitäten

Wasser-Analogie

Fliessendes Wasser erzeugt nicht nur Nässe.

• Bewegung (von el. Ladungen oder Wasser) erzeugt eine zusätzliche Wirkung (Magnetfeld oder Strömungsgeräusch)
  • Fließendes Wasser erzeugt in Rohren ein Fließgeräusch
  • Elektrischer Strom erzeugt in Leitern ein Magnetfeld
• Schlag(geräusch) beim abrupten Schließen eines Ventils, z.B. Wasserhahn
  • Wasser „drückt auf“ bzw . „schlägt gegen“ die Wände einer Leitung (oder gegen die Klappen eines Ventils), wodurch ein Geräusch entsteht (Schallwellen in der Luft); Änderung der Flussgeschwindigkeit → Schallwellen
  • Änderung der Fließgeschwindigkeit von Elektronen erzeugt Spannung (Induktion)
• Schlauch, auf den Wasserdruck gegeben wird
  • Tendenz eines aufgerollten Gartenschlauches, sich zu entrollen; Schlauch schlägt aus („tanzender“ Gartenschlauch, Feuerwehr hält B-Rohr mit 2 Pers.)
  • Zwischen dem Aufdrehen des Wasserhahns und dem vollen Strahl am anderen Schlauchende vergehen einige Sekunden, je nach Länge des Schlauches
  • Eine Spule (aufgewickelter Leiter) bremst den Stromfluss und zwischen dem Einschalten der Spannung und dem Fließen der vollen Stromstärke vergeht einige Zeit

Wie immer beim Wassermodell:

• Eingeschränkte Modellgültigkeit.
• Vereinfachte Darstellung, die nicht alle Aspekte des Magnetismus und der Induktion exakt abbildet.

Theoretische Herleitung

Die Grundlagen des Elektromagnetismus werden vollständig durch die Maxwell’schen Gleichungen beschrieben. Diese vier fundamentalen Gleichungen verknüpfen elektrische und magnetische Felder miteinander:

Gaußsches Gesetz (elektrisch):

$$\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{\mathrm{el}}$$

Dabei ist:

• $\nabla$ der Nabla-Operator (Vektor-Differentialoperator) (${\mathrm{m}}^{-1}$)

• $\vec{D}$ die elektrische Flussdichte in Coulomb pro Quadratmeter ($C/{\mathrm{m}}^2$)

• ${\rho }_{\mathrm{el}}$ die elektrische Raumladungsdichte in Coulomb pro Kubikmeter ($C/{\mathrm{m}}^3$)

Gaußsches Gesetz (magnetisch):

$$\nabla \cdot \vec{B}=0$$

Dabei ist:

• $\vec{B}$ die magnetische Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)

Faradaysches Induktionsgesetz:

$$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

Dabei ist:

• $\vec{E}$ die elektrische Feldstärke in Volt pro Meter ($V/m$)

• $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ die zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte in Tesla pro Sekunde ($T/s$)

Ampèresches Durchflutungsgesetz:

$$\nabla \times \vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

Dabei ist:

• $\vec{H}$ die magnetische Feldstärke in Ampere pro Meter ($A/m$)

• $\vec{j}$ die elektrische Stromdichte in Ampere pro Quadratmeter ($A/{\mathrm{m}}^2$)

• $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ die zeitliche Ableitung der elektrischen Flussdichte in Coulomb pro Quadratmeter und Sekunde ($C/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{s})$)

Diese werden ergänzt durch die Materialgesetze:

$$\vec{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\vec{E},\vec{B}={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}$$

Dabei ist:

• ${\epsilon }_0$ die elektrische Feldkonstante ($8,854\cdot 10^{-12}F/m$)
• ${\epsilon }_r$ die relative Permittivität (dimensionslos)
• ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ($4\pi \cdot 10^{-7}H/m$)
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilität (dimensionslos)

1 Magnetismus auf physikalischer Ebene

Um magnetische Felder zu verstehen, werfen wir einen Blick auf die atomare Ebene. Magnetismus entsteht durch die quantenmechanischen Eigenschaften von Elektronen.

1.1 Elektronenspin

Der Elektronenspin ist eine intrinsische Eigenschaft des Elektrons, vergleichbar mit Masse oder Ladung. Jedes Elektron kann einen von zwei Spinzuständen annehmen: „up” oder „down”. Jeder dieser Zustände erzeugt ein kleines magnetisches Moment.

In den meisten Materialien heben sich die magnetischen Momente der Elektronen gegenseitig auf, da für jedes Elektron mit „up”-Spin ein Elektron mit „down”-Spin existiert. In ferromagnetischen Materialien wie Eisen können sich jedoch die Spins in kleinen Bereichen – den Weiß’schen Bezirken – parallel ausrichten, wodurch starke magnetische Felder entstehen.

1.2 Bahndrehimpuls

Elektronen bewegen sich um den Atomkern und bilden dadurch winzige elektrische Stromkreise. Diese Bewegung erzeugt magnetische Felder. Die Beiträge verschiedener Elektronen in einem Atom heben sich auf, es sei denn, die Elektronenbewegungen werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet.

1.3 Kernspin

Wegen der deutlich größeren Masse der Atomkerne (Protonen und Neutronen) trägt der Kernspin normalerweise nicht nennenswert zum Magnetismus bei. Eine wichtige Ausnahme ist die medizinische Bildgebung: Die Magnetresonanztomographie (MRT) nutzt gezielt den Kernspin von Wasserstoffatomen.

2 Magnetfelder

Magnetische Felder werden wie elektrische Felder durch Feldlinien modelliert. Im Unterschied zu den elektrischen Feldlinien, die an positiven Ladungsansammlungen divergieren und an negativen Konvergieren, haben magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende (vgl. 2. Maxwell’sche Gleichung). Sie laufen also inner- und außerhalb des Magneten auf einer geschlossenen Linie, von der wir jedoch nur den Teil außerhalb des Magneten zeichnen, und auch nur den Teil des Feldes, der für die jeweilige Aufgabe relevant ist. Die Feldlinien treten immer rechtwinklig aus der Nordpolfläche aus und in die Südpolfläche ein.
Die Dichte der Feldlinien ist analog zur Stärke des Feldes.

Wie auch bei den elektrischen Feldern gehen wir in diesem Skript an den untersuchten Stellen stets von homogenen magnetischen Feldern aus. Das bedeutet:

• Kurzer Luftspalt zwischen den magnetischen Polen
• Gerader Verlauf der Feldlinien, rechtwinklig zu den Polflächen
• Konstante Feldliniendichte an allen Stellen des Feldes

3 Magnetische Werkstoffeigenschaften

Magnetische Felder verlaufen in der Luft anders als in Feststoffen oder Flüssigkeiten – je nach den magnetischen Eigenschaften des Materials. Maßgeblich ist die relative Permeabilität ${\mu }_r$, die beschreibt, wie stark ein Material ein Magnetfeld „leitet“ bzw. bündelt.

Aus den mikroskopischen magnetischen Momenten von Elektronenspin und Bahndrehimpuls setzen sich die makroskopischen magnetischen Eigenschaften von Materialien zusammen.

Je nach Verhalten im Magnetfeld unterscheidet man drei Hauptklassen:

• Ferromagnetische Werkstoffe (z. B. Eisen, Kobalt, Nickel und ihre Legierungen)
  bilden Weiß’sche Bezirke, in denen sich viele Elektronenspins parallel ausrichten. Dadurch erreichen sie sehr hohe Permeabilitäten (${\mu }_r\gg 1$) und können große magnetische Flüsse führen, sie bündeln die Feldlinien sehr gut. Sie sind stark magnetisierbar und können eine deutliche Remanenz aufweisen: Hartmagnetische Werkstoffe bleiben auch ohne äußeres Magnetfeld dauerhaft magnetisiert.

• Paramagnetische Werkstoffe (z. B. Aluminium, Wolfram)
  besitzen ungepaarte Elektronenspins. In Abwesenheit eines externen Magnetfeldes sind die magnetischen Momente statistisch verteilt und heben sich gegenseitig auf. Unter der Wirkung eines äußeren Magnetfeldes richten sich diese Momente geringfügig aus, was zu einer Magnetisierung des Materials in Richtung des externen Feldes führt. Paramagnetische Materialien „bündeln“ die magnetischen Feldlinien nur sehr schwach und werden entsprechend nur schwach in das Feld hineingezogen. Ihre relative Permeabilität ist leicht größer als 1 (${\mu }_r\gtrsim 1$). Remanenz ist praktisch nicht vorhanden.

• Diamagnetische Werkstoffe (z. B. Kupfer, Gold, Wasser)
  haben eine relative Permeabilität leicht kleiner als 1 (${\mu }_r\lesssim 1$).
  Diamagnetismus entsteht dadurch, dass die Bahnbewegung der Elektronen durch ein äußeres Magnetfeld leicht verändert wird. Diese Änderung erzeugt ein induziertes magnetisches Moment, das dem angelegten Feld entgegengerichtet ist. Diamagnetische Materialien wirken daher magnetfeldabweisend und schwächen das externe Magnetfeld im Material. Supraleiter zeigen als Spezialfall einen nahezu perfekten Diamagnetismus (Meissner-Effekt).

Etymologische Eselsbrücke

Lateinisch „ferrum“: Eisen
Griechisch „para-“: neben/entlang
Griechisch „dia-“: durch

Diamagnetismus wird z. B. in Levitationsdemonstrationen und supraleitenden Schwebesystemen genutzt.
In der Elektrotechnik sind es jedoch vor allem ferromagnetische Werkstoffe, die eine Rolle spielen: Sie bündeln die Feldlinien, verstärken die Wirkung des Magnetfeldes (mittlere Anordnung im nachfolgenden Bild) und sind daher die wichtigsten Werkstoffe für Kerne in Transformatoren, Motoren und Drosseln. Ferromagnetische Werkstoffe werden auch zur Abschirmung äußerer magnetischer Felder eingesetzt (untere Anordnung im nachfolgenden Bild).

(Quelle: Salino01 - CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30464021)

4 Elektromagnetische Größen und ihre Beziehungen

Die Elektrotechnik arbeitet mit verschiedenen magnetischen Größen, die alle miteinander verknüpft sind. Mit der relativen Permeabilität wurde im vorherigen Abschnitt in Bezug auf die Werkstoffe bereits eine wesentliche Größe eingeführt.

Die elektromagnetischen Größen haben interessante Analogien zu den bereits bekannten elektrischen Größen, wie die nachfolgende Übersichtstabelle zeigt:

Größe	Formelzeichen	Einheit	Analogie zu elektrischen Größen
Magnetische Feldstärke	$H$	Ampere pro Meter ($A/m$)	Elektrische Feldstärke
Magnetische Flussdichte	$B$	Tesla ($\mathrm{T}$)	Stromdichte
Permeabilität	$\mu$ (mü)	Henry pro Meter ($H/m$)	Permittivität
Magnetische Durchflutung	$\Theta$ (Theta)	Ampere ($\mathrm{A}$)	Spannung
Magnetischer Fluss	$\Phi$ (Phi)	Weber ($\mathrm{Wb}$)	Stromstärke
Induktivität	$L$	Henry ($\mathrm{H}$)	Kapazität
Windungszahl	$N$	(dimensionslos)	–
Kraft	$F$	Newton ($\mathrm{N}$)	–

4.1 Stärke und Dichte eines Magnetfeldes

Die magnetische Feldstärke $H$ beschreibt das Magnetfeld und kann als die Quelle der elektrotechnischen Wirkung von Magnetfeldern angesehen werden, analog zur elektrischen Feldstärke als Ursache des Stromflusses im elektrischen Kreis.

Die magnetische Flussdichte $B$ ist ein Maß für die Stärke eines Magneten. Sie ist proportional zur magnetischen Feldstärke $H$. Proportionalitätsfaktor ist die Permeabilität $\mu$:

$$\vec{B}={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}$$

Dabei ist:

• $B$ die magnetische Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)
• ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ($4\pi \cdot 10^{-7}H/m$)
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilität (dimensionslos)
• $H$ die magnetische Feldstärke in Ampere pro Meter ($A/m$)

Neodym-Scheibenmagnet ( \varnothing 20 mm, Höhe 1 mm)

Ein solcher Magnet aus NdFeB (Neodym-Eisen-Bor) wurde mit einer Feldstärke von ca. $900kA/m$ magnetisiert und weist danach eine (Remanenz-)Flussdichte von ca. $1,2\mathrm{T}$ auf. (Datenblatt)

Magnetisierungskennlinie

Der Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und Flussdichte, die sogenannte „Hystereseschleife“ ferromagnetischer Werkstoffe wird in der Magnetisierungskennlinie grafisch veranschaulicht. Hier lässt sich auch die Herstellung eines Magneten aus einem neutralen Werkstoff nachvollziehen.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 54)

In der Kennlinie ist die magnetische Flussdichte $B$ (Magnetismus des magnetisierten Werkstoffes) über der magnetischen Feldstärke $H$ (Stärke des magnetisierenden Feldes) aufgetragen.

Die gestrichelte Neukurve wird nur einmal durchlaufen, nämlich wenn der Werkstoff zum ersten Mal magnetisiert wird. Wird das Feld von der positiven Sättigung auf $H=0$ zurückgenommen, bleibt eine Remanenzflussdichte $B_r$ bestehen.

Baut man ein entgegengesetzt gerichtetes Feld auf, so wird bei der Koerzitivfeldstärke $-H_c$ die Flussdichte $B$ gerade null – die äußere Feldwirkung des Permanentmagneten ist dann durch das angelegte Gegenfeld kompensiert. Wird das Feld anschließend weiter in die negative Richtung gesteigert, erreicht der Werkstoff die negative Sättigung. Nimmt man das Feld wieder auf $H=0$ zurück, verbleibt die negative Remanenzflussdichte $-B_r$.

Durch geeignete äußere Felder kann ein Permanentmagnet also ummagnetisiert werden. Dieses Verhalten hartmagnetischer Werkstoffe wird z. B. in magnetischen Kupplungen technisch genutzt.

Die Entmagnetisierung eines Magneten gelingt durch zyklische Ummagnetisierung mit abnehmender Amplitude.

Hart- und weichmagnetische Werkstoffe

Je nach Form der Hystereseschleife unterscheidet man:

• a) Weichmagnetische Werkstoffe (z. B. Trafobleche, Weicheisen)

  • schmale Hystereseschleife
  • geringe Koerzitivfeldstärke $H_c$
  • kleine Remanenzflussdichte $B_r$
  • leicht und mit wenig Verlusten ummagnetisierbar

• b) Hartmagnetische Werkstoffe (z. B. Neodym-, Ferrit-Magnete; Permanentmagnete)

  • breite Hystereseschleife
  • hohe Koerzitivfeldstärke $H_c$
  • große Remanenzflussdichte $B_r$
  • behalten ihre Magnetisierung auch bei äußeren Störfeldern

Weichmagnete behalten wenig Restmagnetismus in sich, sind deshalb auch leicht ummagnetisierbar. Sie kommen z. B. in Transformatoren, Elektromotoren, Drosseln zum Einsatz, also überall da, wo die „Eisenverluste“ bei ständig wechselndem Magnetfeld minimal sein sollen.

Hartmagnete zeichnen sich durch eine möglichst stabile, dauerhafte Magnetisierung aus. Sie werden als Werkstoffe für Permanentmagnete z. B. in Lautsprechern, Motoren, Kupplungen und Sensoren genutzt.

Verluste in Eisenkernen

In der Praxis treten in ferromagnetischen Spulenkernen Verluste auf, die zu Erwärmung und Leistungsverlusten führen. Sie werden als „Eisenverluste“ bezeichnet und umfassen sowohl Hystereseverluste als auch Wirbelstromverluste.

Hystereseverluste
Ferromagnetische Materialien zeigen eine Hysterese: Die Magnetisierung hinkt der anregenden Feldstärke nach. Bei jeder Ummagnetisierung geht Energie verloren.
Gegenmaßnahme: Verwendung von weichmagnetischen Materialien mit niedriger Koerzitivfeldstärke – sie lassen sich leichter ummagnetisieren.

Wirbelstromverluste
Durch zeitlich veränderliche Magnetfelder (Wechselstrom) werden in leitfähigen Kernmaterialien Wirbelströme induziert. Diese Ströme verursachen Ohm’sche Verluste, also Wärme. Ebenso wirken Kräfte zwischen dem ursprünglichen magnetischen Wechselfeld und dem durch die Wirbelströme entstehenden Magnetfeldern.

Nachteilig sind die Leistungsverluste und die Wärmeentwicklung in elektrischen Maschinen wie Motoren und Transformatoren an Wechselstrom

Gegenmaßnahmen:

• Verwendung von „geblätterten“ oder „geblechten“ Kernen aus dünnen, isolierten Blechen ($d\approx 0,2\dots 0,5\mathrm{mm}$) aus ferromagnetischen Werkstoffen anstelle massiver Eisenblöcke.
• Zusätzlich werden Materialien mit hohem spezifischem Widerstand verwendet, z. B. siliziumlegierter Stahl ($\rho \approx 4\dots 5\cdot 10^{-7}\Omega \mathrm{m}$) für kornorientierte Elektrobleche, also etwa Faktor 3 höher als einfacher Baustahl).

Dass Wirbelstromverluste nicht immer unerwünscht sein müssen, zeigen die folgenden Anwendungsfälle:

• Induktionskochplatten nutzen das technische Prinzip der Wirbelströme, um im Boden geeigneter Kochtöpfe und Pfannen Hitze zu erzeugen. Im industriellen Maßstab werden Induktionsöfen für die Härtung und Schmelzung von Metallen genutzt, indem man sie im Ofen einem elektromagnetischen Wechselfeld aussetzt. Durch die im Metall entstehenden Wirbelströme erhitzen sie sich.
• Wirbelstrombremsen nutzen die bremsende Kraft zwischen einem bewegten geschlossenen Leiter und einem Magnetfeld, um berührungslos eine Bremswirkung zu erzielen, z. B. zur Verzögerung in Bahnfahrzeugen, Free fall-Tower, Achterbahnen, im Fahrradergometer oder Rudergerät sowie zur Dämpfung mechanischer Schwingungen (z. B. in Drehspulmesswerken).
• In der zerstörungsfreien Werkstoffprüfung („Wirbelstromprüfung“) wird die Wechselwirkung von Magnetfeldern und induzierten Strömen zur Detektion von Rissen, Korrosion und Materialdickenänderungen genutzt. Dabei werden Wirbelstromverluste und deren Variation genutzt, um Anomalien im Material zu erkennen.
• In älteren Energiezählern wurden die durch Wirbelstöme entstehende Kräfte als Antrieb für das Zählwerk genutzt.

4.2 Elektromagnetische Größen in Spulen

Alternativ zum Permanentmagneten lassen sich technisch nutzbare Magnetfelder auch durch einen stromdurchflossenen Leiter erzeugen, der zu einer Spule gewickelt wird („Elektromagnet“).

Wird ein Leiter von einem Strom $I$ durchflossen, baut sich zirkulär ein Magnetfeld auf, dessen Feldstärke $H$ (und folglich auch dessen Flussdichte $B={\mu }_0\cdot H$) mit zunehmender Entfernung $r$ vom Leiter abnimmt.

Die magnetische Feldstärke ist beim freiliegenden Leiter:

$$H=\frac{I}{2\pi r}$$

Mit ${\mu }_r\approx 1$ (Luft) ergibt sich die magnetische Flussdichte $B$ zu:

$$B={\mu }_0\cdot H={\mu }_0\cdot \frac{I}{2\pi r}$$

Dabei ist:

• $B$ die magnetische Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)
• ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ($4\pi \cdot 10^{-7}H/m$)
• $H$ die magnetische Feldstärke in Ampere pro Meter ($A/m$)
• Da der Leiter luftumschlossen ist, spielt ${\mu }_r$ keine Rolle.

Sichtweise

Die Richtungen von Stromfluss und Magnetfeld lassen sich mit der rechten Hand rekonstruieren.

Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Stromflusses, so bilden die Finger die Magnetfeldlinien ab.

In der zweidimensionalen Darstellung wird die Flussrichtung der Stromstärke durch ein Kreuz (in die Zeichenebene hinein) oder einen Punkt (aus der Zeichenebene heraus) gekennzeichnet.
Als Eselbrücke kann der „Indianerpfeil“ dienen, dem man je nach Flugrichtung auf das Ende (Kreuz) oder die Spitze (Punkt) schaut.

Zylinderspule

Wickelt man einen solchen Leiter $N$-mal auf (wie einen Gartenschlauch), so überlagern sich in den Wicklungen die Wirkungen der Magnetfelder und bilden einen Elektromagneten mit der magnetischen Durchflutung $\Theta$. Sie ist das Pendent zur elektrischen Spannung, wird daher auch gelegentlich als magnetische Spannung bezeichnet.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 52)

Die magnetische Durchflutung $\Theta$ einer solchen Anordnung ergibt sich aus dem Integral der magnetischen Feldstärke über die magnetisch wirksame Länge der Wicklungen (Durchflutungsgesetz):

$$\Theta =\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=N\cdot I$$

Dabei ist:

• $\Theta$ die magnetische Durchflutung in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $H$ die magnetische Feldstärke in Ampere pro Meter ($A/m$)
• $l$ die Länge der Wicklung (nicht des Leiters!) in Meter ($\mathrm{m}$)
• $N$ die Windungszahl (dimensionslos)
• $I$ die Stromstärke durch den Spulendraht in Ampere ($\mathrm{A}$)

Für eine lange Zylinderspule (Länge deutlich größer als Durchmesser) kann man näherungsweise annehmen:

$$\Theta =H\cdot l=N\cdot I$$

Modell / Ersatzschaltbild

Spulen werden näherungsweise als Reihenschaltung aus Induktivität und Wicklungswiderstand modelliert (RL-Glied).

Rechenbeispiel Zylinderspule

Eine Zylinderspule hat

• $N=500$ Windungen,
• die magnetisch wirksame Länge beträgt $l=0,25\mathrm{m}$,
• ihr Durchmesser beträgt $d=2,5\mathrm{cm}$,
• sie wird mit einem Strom von $I=0,80\mathrm{A}$ betrieben.

1. Magnetische Durchflutung

$$\Theta =N\cdot I=500\cdot 0,80\mathrm{A}=400\mathrm{A}$$

Die Spule erzeugt also eine magnetische Durchflutung von $\Theta =400\mathrm{A}$.

2. Magnetische Feldstärke im Spuleninneren
Für eine lange Zylinderspule näherungsweise:

$$H=\frac{\Theta }{l}=\frac{400\mathrm{A}}{0,25\mathrm{m}}=1600\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$

Damit ergibt sich im Inneren der Spule eine magnetische Feldstärke von $H=1600A/m$.

Kreisringspule

Die Zylinderspule lässt sich zwar leicht herstellen, ihr Magnetfeld tritt jedoch stark nach außen und kann dort stören. Die Kreisringspule dagegen bündelt das Magnetfeld weitgehend im Inneren und entwickelt nach ein deutlich geringeres Streufeld.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 52)

In der dargestellten Kreisringspule hat die mittlere Feldlinie die Länge $l_m=\pi \cdot D$.
Die magnetische Feldstärke beträgt an jeder Stelle dieser Feldlinie:

$$H_m=\frac{\Theta }{l_m}=\frac{NI}{\pi D}$$

Nicht nur, weil das Aufwickeln des Leiters in Luft relativ schlecht gelingt, sondern auch um die magnetischen Eigenschaften zu verbessern, kommt meist ein Eisen- oder Ferritkern zum Einsatz. Der Querschnitt des Kerns ist maßgeblich für den magnetischen Fluss $\Phi$ in seinem inneren, denn magnetische Fluss $\Phi$ ergibt sich aus dem Flächenintegral der magnetischen Flussdichte $B$ über die magnetisch wirksame Fläche $A$.

$$\Phi ={\int }_A\vec{B}\cdot d\vec{A}$$

Dabei ist:

• $\Phi$ der magnetische Fluss in Weber ($\mathrm{Wb}$)
• $B$ die magnetische Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)
• $d\vec{A}$ das differentielle Flächenelement in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)

In diesem Skript gilt für den magnetischen Fluss im homogenen Feld eines Spulenkerns näherungsweise:

$$\Phi =B\cdot A$$

Rechenbeispiel Kreisringspule

Eine Kreisringspule hat

• $N=400$ Windungen,
• mittleren Durchmesser $D=0,20\mathrm{m}$,
• Querschnittsfläche des Kerns $A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$,
• Stromstärke $I=0,10\mathrm{A}$,
• einen Eisenkern mit relativer Permeabilität ${\mu }_r=1500$.
  Der Streufluss wird vernachlässigt, das Feld im Kern als homogen angenommen.

1. Magnetische Durchflutung

$$\Theta =N\cdot I=400\cdot 0,10\mathrm{A}=40\mathrm{A}$$

2. Mittlere magnetische Feldstärke auf der mittleren Feldlinie
Mittlere Feldlänge:

$$l_{\mathrm{m}}=\pi \cdot D=\pi \cdot 0,20\mathrm{m}\approx 0,628\mathrm{m}$$

Mittlere Feldstärke:

$$H_{\mathrm{m}}=\frac{\Theta }{l_{\mathrm{m}}}=\frac{40\mathrm{A}}{0,628\mathrm{m}}\approx 64\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$

3. Magnetische Flussdichte im Kern
Mit $B={\mu }_0{\mu }_{r}H$ und ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}$:

$$B_{\mathrm{m}}={\mu }_0{\mu }_r{H}_{\mathrm{m}}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1500\cdot 63,7\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}\approx 0,12\mathrm{T}$$

4. Magnetischer Fluss im Kern
Fläche in ${\mathrm{m}}^2$:

$$A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Dann:

$$\Phi =B_{\mathrm{m}}\cdot A\approx 0,12\mathrm{T}\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=1,8\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}$$

Die Kreisringspule besitzt unter den genannten Bedingungen also eine magnetische Flussdichte von $B_{\mathrm{m}}\approx 0,12\mathrm{T}$ im Kern.

Magnetische Kreise

Eine Zylinderspule kann beispielsweise dazu genutzt werden, einen magnetischen Kreis zu erregen. Die nachfolgende Abbildung zeigt das Modell eines magnetischen Kreises bestehend aus:

• der Erregerwicklung (links),
• einem Eisenkern, der den magnetischen Fluss ${\Phi }_{ges}$ führt,
• einem Luftspalt im Eisenkern, in dem der magnetische Fluss ${\Phi }_L$ herrscht, und
• dem Streufluss ${\Phi }_{\sigma }$, der wegen des Luftspaltes entsteht, aber wegen der sehr guten Permeabilität des Kerns und der geringen Abmessungen des Luftspaltes sehr klein ist.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 58)

Ein Luftspalt, der den Eisenweg unterbricht, ist bei technischen Anwendungen häufig unvermeidbar. Bei jeder rotierenden elektrischen Maschine ist z. B. ein Luftspalt zwischen Ständer und Läufer vorhanden.

In manchen Anwendungsfällen kann es sinnvoll sein, den magnetischen Kreis analog zum elektrischen Kreis zu modellieren, um Berechnungen durchzuführen.

• Dann gilt die magnetische Durchflutung $\Theta$ als magnetische Quellenspannung (analog zur Spannung $U_q$).
• Die magnetische Durchflutung $\Theta$ treibt den magnetischen Fluss $\Phi$ (analog zum Strom $I$) durch den magnetischen Leitwert $\Lambda$.
• Am magnetischen Leitwert $\Lambda$ (analog zum Leitwert $G$) fällt die magnetische Spannung $V_m$ ab.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 57)

Für die elektromagnetische Eigenschaft von Spulen wird im übernächsten Abschnitt die Größe Induktivität eingeführt.

5 Technische Nutzung elektromagnetischer Kräfte

Der Elektromagnetismus wird in Motoren dazu genutzt, Bewegung zu erzeugen (meist Rotation, seltener auch Translation). In Lautsprechern sorgt eine Wicklung für die Translationsbewegung eines Permanentmagneten in der Membran, die dann die Schallwellen erzeugt. Relais und Schütze öffnen und schließen Kontakte durch die Zugkraft von Elektromagneten. Hall-Generatoren nutzen die Effekte zur Messung von Magnetfeldern oder Strömen. Dabei wirken jeweils magnetische Kräfte.

5.1 Lorentzkraft

Die Lorentzkraft beschreibt die Wechselwirkung zwischen bewegten elektrischen Ladungen und magnetischen Feldern (die ihrerseits von einem Permanent- oder Elektromagneten erzeugt werden können).

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 50)

Für einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld gilt:

$$F=B\cdot I\cdot l\cdot z$$

Dabei ist:

• $F$ die Lorentzkraft in Newton ($\mathrm{N}$)
• $B$ die magnetische Flussdichte des externen Feldes in Tesla ($\mathrm{T}$)
• $I$ die Stromstärke durch den Spulendraht in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $l$ die Länge des Leiters im Magnetfeld in Meter ($\mathrm{m}$)
• $z$ die Anzahl der Leiter (dimensionslos), im Bild: $z=1$

Die Richtung der Lorentzkraft lässt sich mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen.

Wenn man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand wie die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems abspreizt, so dass sie in drei verschiedene Richtungen zeigen und dabei jeweils einen 90° Winkel einschließen, dann zeigt…

• der Daumen in Richtung der Stromrichtung $I$ des Leiters,
• der Zeigefinger in Richtung der Magnetfeldlinien $B$ ( Nord zu Süd) und
• der Mittelfinger in Richtung der wirkenden Kraft $F$.

Problematische Aspekte der Lorentzkraft

Die Kräfte zwischen Stromschienen können bei hohen Strömen zu mechanischen Belastungen führen. In Kurzschlusssituationen können die enormen Kräfte Anlagenteile beschädigen. Ausreichender Abstand zwischen den Schienen bildet die sicherste Gegenmaßnahme und ist daher verpflichtend in Normen reguliert.

5.2 Reluktanzkraft

Neben der Lorentzkraft auf stromdurchflossene Leiter gibt es eine weitere wichtige Kraftwirkung magnetischer Felder: die Reluktanzkraft oder Maxwellkraft. Sie beschreibt den Kraftzug, der in einem Magnetfeld immer so wirkt, dass sich der magnetische Widerstand verringert. Sie sorgt dafür, dass ferromagnetische Körper in ein Magnetfeld hineingezogen werden oder von Magneten angezogen werden.

Die Reluktanzkraft wirkt auch im Luftspalt eines Elektromagneten oder einer elektrischen Maschine.

Für einen homogenen Luftspalt ergibt sie sich zu:

$$F=\frac{B^2\cdot A}{2{\mu }_0}$$

Dabei ist:

• $F$ die wirkende Kraft in Newton ($\mathrm{N}$)
• $B$ die magnetische Flussdichte im Luftspalt in Tesla ($\mathrm{T}$)
• $A$ die wirksame Polfläche in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)
• ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante (${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$)

Diese Beziehung wird im folgenden Rechenbeispiel für den Elektromagneten am Lastkran genutzt, um aus der geforderten Hubkraft die notwendige Flussdichte $B$ im Luftspalt zu berechnen.

Rechenbeispiel: Elektromagnet am Lastkran

Ein praktisches Beispiel für die Anwendung der Reluktanzkraft ist der Elektromagnet an einem Lastkran im Stahlwerk. Dieser muss schwere Stahlteile sicher heben und transportieren können.

Aufgabenstellung: Ein Kran-Elektromagnet soll Stahlbleche mit einer Masse von $m=2,0\mathrm{t}$ sicher heben. Der Magnet hat einen Eisenkern und eine Spule mit $N=800$ Windungen. Die wirksame Polfläche beträgt $A=0,25{\mathrm{m}}^2$, der Luftspalt $\delta =2,0\mathrm{mm}$ bildet sich zwischen den Polen des Eisenkerns und den zu hebenden Blechen.

Gesucht: Erforderliche magnetische Flussdichte und Spulenstrom.

Lösung:
Die erforderliche Hubkraft berechnet sich aus dem Gewicht der Last:
$F_{\mathrm{Hub}}=m\cdot g=2000\mathrm{kg}\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=19,62\mathrm{kN}$

Dabei ist:

• $g$ die Erdbeschleunigung in Meter pro Quadratsekunde ($m/{\mathrm{s}}^2$)

Für einen sicheren Betrieb wird ein Sicherheitsfaktor $S=3$ gewählt:
$F_{\mathrm{Magnet}}=S\cdot F_{\mathrm{Hub}}=3\cdot 19,62\mathrm{kN}=58,86\mathrm{kN}$

Dabei ist:

• $S$ der Sicherheitsfaktor (dimensionslos)
• $F_{\mathrm{Magnet}}$ die erforderliche Magnetkraft in Newton ($\mathrm{N}$)

Die Reluktanzkraft (magnetische Anziehungskraft) im Luftspalt berechnet sich nach:
$F_{\mathrm{Magnet}}=\frac{B^2\cdot A}{2{\mu }_0}$

Daraus folgt die erforderliche magnetische Flussdichte:

$$B=\sqrt{\frac{2{\mu }_0\cdot F_{\mathrm{Magnet}}}{A}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 58,86\cdot 10^3\mathrm{N}}{0,25{\mathrm{m}}^2}}\approx \underline{0,77\mathrm{T}}$$

Im Luftspalt gilt näherungsweise (da der Luftspalt die Reluktanz dominiert):
$H_{\mathrm{Luft}}=\frac{B}{{\mu }_0}=\frac{0,77\mathrm{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m}=6,12\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$

Die erforderliche magnetische Durchflutung beträgt:
$\Theta =H_{\mathrm{Luft}}\cdot \delta =6,12\cdot 10^{5}A/m\cdot 2,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}=1,22\mathrm{kA}$

Der erforderliche Spulenstrom ist:

$$I=\frac{\Theta }{N}=\frac{1,22\cdot 10^3\mathrm{A}}{800}\approx \underline{1,5\mathrm{A}}$$

Ergebnis: Um 2 Tonnen Stahl sicher zu heben, benötigt der Elektromagnet einen Strom von etwa $1,5\mathrm{A}$ bei einer magnetischen Flussdichte von $0,77\mathrm{T}$ im Luftspalt.

Praxis-Hinweis

In der Realität werden oft deutlich höhere Ströme verwendet, um auch bei verschmutzten oder unebenen Oberflächen eine sichere Haftung zu gewährleisten. Zudem muss die Spule für Dauerbetrieb ausgelegt sein, was dickere Drähte und bessere Kühlung erfordert.

6 Induktivität

Die Induktivität ist das magnetische Pendant zur Kapazität. Sie beschreibt die „Trägheit” des elektrischen Stroms beim Auf- und Abbau eines magnetischen Feldes und die Fähigkeit, Energie im Magnetfeld zu speichern.

Induktivitäten bremsen den Strom und speichern elektrische Energie in einem magnetischen Feld.

Spulen sind die Bauelemente, in denen dieser Effekt technisch genutzt wird.

Die Induktivität einer Spule berechnet sich aus ihrer Geometrie und dem verwendeten Material:

$$L=\frac{{\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A}{l}$$

Dabei ist:

• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ($4\pi \cdot 10^{-7}H/m$)
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilität (dimensionslos)
• $N$ die Windungszahl (dimensionslos)
• $A$ die wirksame Querschnittsfläche in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)
• $l$ die magnetisch wirksame Länge der Spule in Meter ($\mathrm{m}$)

Rechenbeispiel: Induktivität Zylinderspule

Eine lange Zylinderspule hat

• $N=500$ Windungen,
• magnetisch wirksame Länge $l=0,25\mathrm{m}$,
• Durchmesser $d=2,5\mathrm{cm}$.

Die Spule ist luftgefüllt, es gilt also ${\mu }_r=1$.
Die Querschnittsfläche beträgt näherungsweise
$A=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2\approx 4,91\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$.

Berechnung der Induktivität:

$$L=\frac{{\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A}{l}=\frac{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1\cdot 500^2\cdot 4,91\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{0,25\mathrm{m}}=6,17\cdot 10^{-4}\mathrm{H}=0,62\mathrm{mH}$$

Die Zylinderspule hat als Luftspule also eine Induktivität von $L\approx 0,62\mathrm{mH}$.

Nimmt man einen Eisenkern mit der relativen Permeabilität ${\mu }_r=1500$ an, so beträgt die Induktivität:

$$L=\frac{{\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A}{l}=\frac{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1500\cdot 500^2\cdot 4,91\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{0,25\mathrm{m}}\approx 9,26\cdot 10^{-1}\mathrm{H}=930\mathrm{mH}$$

Die Zylinderspule mit Eisenkern besitzt also eine um das 1500-fache Induktivität.

Rechenbeispiel: Induktivität Kreisringspule

Eine Kreisringspule hat (wie oben)

• $N=400$ Windungen,
• mittleren Durchmesser $D=0,20\mathrm{m}$
• Querschnittsfläche des Kerns $A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$,
• Eisenkern mit relativer Permeabilität ${\mu }_r=1500$.
  Der Streufluss wird vernachlässigt, das Feld im Kern als homogen angenommen.

Berechnung der Induktivität:

$$L=\frac{{\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A}{l_m}=\frac{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1500\cdot 400^2\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{\pi \cdot 0,2\mathrm{m}}=7,2\cdot 10^{-2}\mathrm{H}=72\mathrm{mH}$$

Die Kreisringspule besitzt unter den genannten Bedingungen also eine Induktivität von $L=72\mathrm{mH}$.

7 Schaltungen mit Induktivitäten

Wie Widerstände und Kondensatoren lassen sich auch Induktivitäten in Reihe und parallel schalten. Die Berechnungsregeln entsprechen dabei denen der Widerstände – und sind damit genau umgekehrt zu denen der Kapazitäten.

7.1 Reihenschaltung von Induktivitäten

Bei in Reihe geschalteten Spulen fließt durch alle der gleiche Strom $I$. Die induzierte Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen:

$$U_{\mathrm{ges}}=U_1+U_2+U_3+\dots =\sum _{i=1}^n{U}_i$$

Dabei ist:

• $U_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $U_1,U_2,U_3$ die Einzelspannungen in Volt ($\mathrm{V}$)

Da bei Induktivitäten $U=L\cdot \frac{dI}{dt}$ gilt und der Strom durch alle Spulen gleich ist:

$$U_{\mathrm{ges}}=L_1\cdot \frac{dI}{dt}+L_2\cdot \frac{dI}{dt}+L_3\cdot \frac{dI}{dt}+\dots$$ $$U_{\mathrm{ges}}=(L_1+L_2+L_3+\dots )\cdot \frac{dI}{dt}=L_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{dI}{dt}$$

Daraus folgt für die Gesamtinduktivität bei Reihenschaltung:

$$L_{\mathrm{ges}}=L_1+L_2+L_3+\dots =\sum _{i=1}^n{L}_i$$

Dabei ist:

• $L_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtinduktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $L_1,L_2,\dots ,L_n$ die Einzelinduktivitäten in Henry ($\mathrm{H}$)

Rechenbeispiel: Drei in Reihe geschaltete Spulen mit $L_1=10\mathrm{mH}$, $L_2=20\mathrm{mH}$ und $L_3=30\mathrm{mH}$ ergeben:

$$L_{\mathrm{ges}}=10\mathrm{mH}+20\mathrm{mH}+30\mathrm{mH}=60\mathrm{mH}$$

Reihenschaltung vergrößert die magnetisch wirksame Länge

Die Reihenschaltung von Induktivitäten entspricht technisch einer Verlängerung der magnetisch wirksamen Länge oder einer Erhöhung der Windungszahl. Dadurch erhöht sich die Gesamtinduktivität.

Die Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung ist daher immer größer als die größte Einzelinduktivität.

7.2 Parallelschaltung von Induktivitäten

Bei parallel geschalteten Spulen liegt an allen die gleiche Spannung $U$ an. Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme:

$$I_{\mathrm{ges}}=I_1+I_2+I_3+\dots =\sum _{i=1}^n{I}_i$$

Dabei ist:

• $I_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_1,I_2,I_3$ die Einzelstromstärken in Ampere ($\mathrm{A}$)

Mit $U=L\cdot \frac{dI}{dt}$ folgt für jede Spule $\frac{dI}{dt}=\frac{U}{L}$:

$$\frac{d{I}_{\mathrm{ges}}}{dt}=\frac{d{I}_1}{dt}+\frac{d{I}_2}{dt}+\frac{d{I}_3}{dt}+\dots$$ $$\frac{U}{L_{\mathrm{ges}}}=\frac{U}{L_1}+\frac{U}{L_2}+\frac{U}{L_3}+\dots$$

Daraus ergibt sich für die Gesamtinduktivität bei Parallelschaltung:

$$\frac{1}{L_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\frac{1}{L_3}+\dots =\sum _{i=1}^n\frac{1}{L_i}$$

Rechenbeispiel: Drei parallel geschaltete Spulen mit $L_1=10\mathrm{mH}$, $L_2=20\mathrm{mH}$ und $L_3=30\mathrm{mH}$ ergeben:

$$\frac{1}{L_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{10\mathrm{mH}}+\frac{1}{20\mathrm{mH}}+\frac{1}{30\mathrm{mH}}=\frac{6+3+2}{60}\frac{1}{\mathrm{mH}}=\frac{11}{60}\frac{1}{\mathrm{mH}}$$ $$L_{\mathrm{ges}}=\frac{60}{11}\mathrm{mH}\approx 5,45\mathrm{mH}$$

Parallelschaltung teilt den magnetischen Fluss auf

Bei der Parallelschaltung von Induktivitäten teilt sich der magnetische Fluss auf die einzelnen Spulen auf. Dies führt zu einer Verringerung der Gesamtinduktivität.

Die Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung ist daher immer kleiner als die kleinste Einzelinduktivität.

7.3 Gemischte Schaltungen

Bei gemischten Schaltungen werden Reihen- und Parallelschaltungen von Induktivitäten kombiniert. Die Berechnung erfolgt schrittweise von innen nach außen.

Rechenbeispiel: Gegeben sei folgende Schaltung mit $L_1=15\mathrm{mH}$, $L_2=10\mathrm{mH}$, $L_3=20\mathrm{mH}$:

Schritt 1: Berechnung der Parallelschaltung von $L_1$ und $L_2$:

$$\frac{1}{L_{12}}=\frac{1}{15\mathrm{mH}}+\frac{1}{10\mathrm{mH}}=\frac{2+3}{30}\frac{1}{\mathrm{mH}}=\frac{5}{30}\frac{1}{\mathrm{mH}}$$ $$L_{12}=\frac{30}{5}\mathrm{mH}=6\mathrm{mH}$$

Schritt 2: Reihenschaltung von $L_{12}$ mit $L_3$:

$$L_{\mathrm{ges}}=L_{12}+L_3=6\mathrm{mH}+20\mathrm{mH}=\underline{26\mathrm{mH}}$$

Magnetische Kopplung vernachlässigt

Die angegebenen Formeln gelten nur für magnetisch ungekoppelte Induktivitäten. Befinden sich die Spulen auf einem gemeinsamen Kern oder in unmittelbarer Nähe, tritt eine Gegeninduktivität auf, die die Gesamtinduktivität beeinflusst.

Praktische Anwendung

Die Zusammenschaltung mehrerer Induktivitäten wird in der Praxis genutzt für:

• Anpassung von Induktivitätswerten: Wenn die benötigte Induktivität nicht als Einzelbauteil verfügbar ist
• Stromaufteilung: Parallelschaltung zur Verteilung hoher Ströme auf mehrere Spulen
• Filterdesign: Kombinationen für frequenzselektive Schaltungen
• Transformatoren: Gekoppelte Induktivitäten zur Spannungstransformation

8 Laden und Entladen von Induktivitäten

Beim Ein- und Ausschalten von Induktivitäten entstehen zeitabhängige Vorgänge. Diese Ausgleichsprozesse folgen – wie bei Kondensatoren – charakteristischen exponentiellen Gesetzen. Wir gehen stets davon aus, dass eine Induktivität über einen Widerstand mit Energie „geladen“ bzw. von ihr „entladen“ wird.

8.1 Grundlegende Zusammenhänge

Die Spannung an einer Induktivität $u_L(t)$ hängt von der zeitlichen Änderung der Stromstärke durch die Induktivität ab. Sie ist definiert als:

$$u_L(t)=L\frac{d{i}_L}{dt}$$

Dabei ist:

• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $i_L$ die Spulenstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $t$ die Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)

Kleinbuchstabe als Formelzeichen

Wie bei den Kondensatoren verwenden wir Kleinbuchstaben für zeitabhängige Größen. Die Spannung $u$ und Stromstärke $i$ verändern sich über die Zeit $t$. Die Induktivität $L$ als konstante Größe behält ihren Großbuchstaben.

Bei Reihenschaltungen aus Widerstand und Induktivität (RL-Schaltungen) ergibt sich aus der Maschenregel eine Differentialgleichung:

$$U_0=u_R(t)+u_L(t)=R\cdot i_L(t)+L\frac{d{i}_L}{dt}$$

Die Lösung dieser Differentialgleichung führt zu den exponentiellen Verläufen für Strom und Spannung.

Dualität zu Kondensatoren

Induktivitäten verhalten sich dual zu Kondensatoren:

• Bei Kondensatoren ist die Spannung immer stetig
• Bei Induktivitäten ist der Strom immer stetig

Der Strom durch eine Induktivität kann sich nicht sprunghaft ändern!

8.2 Einschaltvorgang („laden“)

Beim Schließen des Schalters wird die Induktivität über den Widerstand $R$ an die Spannung $U_0$ gelegt. Es ergeben sich folgende zeitabhängige Verläufe:

(In dem Bild ist die Spule nach 5$\tau$ praktisch geladen.)

Spulenstrom beim Einschalten:

$$i_L(t)=\frac{U_0}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)=I_{\mathrm{end}}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Dabei ist:

• $U_0$ die Quellenspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $R$ der Widerstand in Ohm ($\Omega$)
• $I_{\mathrm{end}}=U_0/R$ die Endstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\tau$ die Zeitkonstante in Sekunden ($\mathrm{s}$) mit $\tau =L/R$

Induktivitätsspannung beim Einschalten:

$$u_L(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Die Zeitkonstante $\tau =L/R$ hat die Einheit Sekunde und bestimmt, wie schnell der Ein- oder Ausschaltvorgang abläuft.

Strom und Spannung beim Einschalten einer Induktivität

• Der Stromverlauf durch eine Induktivität ist immer stetig und steigt beim Einschalten exponentiell an
• Die Spannung an der Induktivität springt im Einschaltmoment auf $U_0$ und fällt dann exponentiell ab
• Am Ende fließt der stationäre Strom $I_{\mathrm{end}}=U_0/R$, die Spannung an der Induktivität ist null

„Die Spannung ist sofort voll da, während sich der Strom erst aufbauen muss. Er eilt nach.“
oder: „An Induktivitäten die Ströme sich verspäten.“

Rechenbeispiel: Einschalten

Eine Spule mit der Induktivität $L=250\mathrm{mH}$ und dem Wicklungswiderstand $R=50\Omega$ wird zum Zeitpunkt $t=0$ an eine Gleichspannungsquelle mit $U_0=12\mathrm{V}$ geschaltet.

Gesucht:
a) Anfangs- und Endwerte von $i_L(t)$ und $u_L(t)$ sowie Zeitkonstante $\tau$
b) Grafischer Verlauf

Lösung zu a):

Zeitkonstante:

$$\tau =\frac{L}{R}=\frac{250\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}{50\Omega }=5\cdot 10^{-3}\mathrm{s}=\underline{5\mathrm{ms}}$$

Anfangswerte ($t=0$):

$$i_L(t=0)=\underline{0\mathrm{A}}$$ $$u_L(t=0)=\underline{12\mathrm{V}}$$

Endwerte ($t=5\tau$):

$$i_L(t=5\tau )=\frac{U_0}{R}\cdot (1-e^{-5})=\frac{12\mathrm{V}}{50\Omega }\cdot 0,993=\underline{238\mathrm{mA}}$$ $$u_L(t=5\tau )=U_0\cdot e^{-5}=12\mathrm{V}\cdot 0,00674=\underline{81\mathrm{mV}}$$

Zu b):
Der Strom steigt exponentiell auf den Endwert, die Spannung springt im Einschaltmoment auf Maximalwert und fällt dann exponentiell ab.

8.3 Ausschaltvorgang

Beim Öffnen des Schalters wird der Stromkreis unterbrochen. Da der Strom durch die Induktivität nicht sprunghaft auf null fallen kann, entsteht eine hohe Selbstinduktionsspannung, die von dem aufgebauten Magnetfeld ausgeht, das nun auf die Induktivität wirkt.

Spulenstrom beim Ausschalten (mit parallelem Freilaufkreis über $R$):

$$i_L(t)=I_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Induktivitätsspannung beim Ausschalten:

$$u_L(t)=-I_0\cdot R\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Dabei ist:

• $I_0$ die Anfangsstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $R$ der Freilaufwiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $\tau =L/R$ die Zeitkonstante beim Ausschalten in Sekunden ($\mathrm{s}$)

Selbstinduktionsspannung beim Abschalten

Ohne Freilaufpfad (hier über $R$) kann die Selbstinduktionsspannung sehr hohe Werte erreichen:

$$u_L=-L\frac{di}{dt}$$

Bei schnellem Stromabbruch ($dt\to 0$) wird $u_L$ sehr groß!
Dies kann zu:

• Funkenbildung an Schaltkontakten
• Zerstörung von Halbleiterbauelementen
• Gefährlichen Spannungsspitzen

Schutzmaßnahmen in der Praxis: Freilaufdioden, RC-Glieder oder Varistoren parallel zur Induktivität

Rechenbeispiel: Ausschalten

Eine Spule mit $L=2\mathrm{H}$ führt einen stationären Strom von $I_0=100\mathrm{mA}$. Beim Abschalten steht ein Freilaufpfad mit $R=1\mathrm{k}\Omega$ zur Verfügung.

Gesucht:
a) Maximale Selbstinduktionsspannung
b) Zeit bis der Strom auf 10% abgefallen ist

Lösung:

Zu a):
Maximale Spannung im Abschaltmoment:

$$u_L(t=0)=-I_0\cdot R=-0,1\mathrm{A}\cdot 1000\Omega =\underline{-100\mathrm{V}}$$

Zu b):
Zeitkonstante:

$$\tau =\frac{L}{R}=\frac{2\mathrm{H}}{1000\Omega }=2\mathrm{ms}$$

Für $i_L(t)=0,1\cdot I_0$:

$$0,1=e^{-\frac{t}{\tau }}$$ $$\ln (0,1)=-\frac{t}{\tau }$$ $$t=-\tau \cdot \ln (0,1)=2\mathrm{ms}\cdot 2,3=\underline{4,6\mathrm{ms}}$$

Aus dem Gartenschlauch fließt nach dem Abschalten noch Wasser!

Der Strom durch eine Induktivität ist immer stetig – er kann nicht sprunghaft ändern. Die Spannung hingegen kann Sprünge aufweisen, besonders beim Ein- und Ausschalten.
Nach dem Abschalten einer Induktivität fließt der aus dem Abbau des magnetischen Feldes resultierende Strom in die Schaltung. (Irgendwo müssen die Ladungen ja hin.) Dann verhindert z. B. eine Freilaufdiode, dass die Schaltung Schaden nimmt.

8.4 Praktische Bedeutung der Zeitkonstante

In der Praxis gelten folgende Richtwerte für RL-Schaltungen:

Einschalten:

• Nach der Zeit $t=\tau$ hat der Strom etwa 63% des Endwertes erreicht
• Nach $t=5\tau$ gilt der stationäre Zustand als praktisch erreicht (99,3%)

Ausschalten:

• Nach der Zeit $t=\tau$ ist der Strom auf 37% des Anfangswertes gefallen
• Nach $t=5\tau$ gilt die Induktivität als praktisch entmagnetisiert (< 1%)

9 Energiespeicherung in Induktivitäten

Spulen speichern Energie in ihrem magnetischen Feld. Diese Energie lässt sich berechnen und praktisch nutzen. Sie kann auch Schaden anrichten, wenn sie sich im Abschaltmoment in die Schaltung entlädt.

9.1 Herleitung der Energieformel

Die in einer Induktivität gespeicherte Energie folgt aus der Integration der Leistung:

$$W={\int }_0^{t}P(\tau )d\tau ={\int }_0^{t}U(\tau )\cdot I(\tau )d\tau$$

Mit $U=L\frac{dI}{dt}$ ergibt sich:

$$W={\int }_0^{I_{\mathrm{end}}}L\cdot IdI=L{\int }_0^{I_{\mathrm{end}}}IdI=\frac{1}{2}L{I}_{\mathrm{end}}^2$$

Dabei ist:

• $I_{\mathrm{end}}$ die Endstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

9.2 Energieformel für Induktivitäten

Die in einer Spule gespeicherte Energie beträgt:

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Energie muss abgeführt werden!

Die im Magnetfeld gespeicherte Energie $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ verschwindet nicht einfach. Beim Abschalten wird sie:

• In Wärme umgewandelt (im Freilaufwiderstand oder der Diode)
• Als Funke abgegeben (unerwünscht)
• In andere Energieformen überführt (z. B. mechanische Arbeit bei Relais)

Ohne kontrollierten Abbauweg sucht sich die Energie selbst einen Weg!

9.3 Rechenbeispiel

Eine Kreisringspule mit $N=400$ Windungen, mittlerem Durchmesser $d=20\mathrm{cm}$ und Querschnitt $A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ wird von $I=0,10\mathrm{A}$ durchflossen.

Mittlere Länge:

$$l=\pi \cdot d=\pi \cdot 0,2\mathrm{m}=0,628\mathrm{m}$$

Induktivität:

$$L={\mu }_0\frac{N^{2}A}{l}=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot \frac{(400{)}^2\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{0,628\mathrm{m}}\approx \underline{48\mu \mathrm{H}}$$

Gespeicherte Energie:

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 10^{-6}\mathrm{H}\cdot (0,1\mathrm{A}{)}^2=240\cdot 10^{-9}\mathrm{J}=\underline{240\mathrm{nJ}}$$

Freilaufdiode als Standardschutz

In der Praxis wird parallel zu jeder geschalteten Induktivität (Relais, Motor, Drossel) eine Freilaufdiode geschaltet:

Die Diode:

• Sperrt im normalen Betrieb (keine Wirkung)
• Leitet beim Abschalten und führt den Induktivitätsstrom weiter
• Begrenzt die Spannung auf etwa $-0,7\mathrm{V}$
• Ermöglicht langsamen, kontrollierten Stromabbau

Dazu muss sie für die freigesetzte Energiemenge ausgelegt sein.

10 Anwendungsbereiche von Induktivitäten

Magnetische Felder und Induktivitäten finden sich in vielen alltäglichen Geräten wieder. Die folgenden Beispiele knüpfen direkt an die in dieser Lektion eingeführten Begriffe an.

10.1 Elektrische Maschinen

Transformatoren sind das Rückgrat unserer Energieversorgung. Ohne sie könnte elektrische Energie nicht effizient über große Entfernungen transportiert werden. Sie nutzen die magnetische Kopplung zwischen Spulen zur Spannungstransformation.
Motoren wandeln elektrische in mechanische Energie um, Generatoren umgekehrt mechanische in elektrische Energie. Beide basieren auf der Wechselwirkung zwischen Strom und Magnetfeld.

10.2 Drosseln und Filterschaltungen

In Netzfiltern und EMV-Drosseln nutzt man, dass die Impedanz einer Spule mit der Frequenz wächst ($Z_L=j\omega L$). Seriell eingesetzte Drosseln dämpfen hochfrequente Störströme, während der Netzstrom (50 Hz) fast ungehindert fließt. Parallel eingesetzte Spulen können niederfrequente Störungen dämpfen.

Serieller Entstörfilter im Ladekabel eines Notebooks

10.3 Alltagsgeräte

Leuchtstofflampen verhalten sich nach dem Zünden wie eine Last mit negativem differentiellen Widerstand – der Strom würde ohne Begrenzung ansteigen.
Eine in Reihe geschaltete Drosselspule begrenzt im stationären Betrieb den Lampenstrom durch ihren induktiven Scheinwiderstand. Beim Zünden erzeugt sie zusammen mit dem Starter eine kurze induktive Überspannung, die den Lichtbogen in der Röhre zündet.
Induktionskochfelder erzeugen ein hochfrequentes Magnetfeld im Topfboden; dort fließen Wirbelströme, die den Topf aufheizen.
Metalldetektoren und Induktionsschleifen im Straßenbelag arbeiten mit Induktivität und Wirbelströmen: Änderungen des magnetischen Flusses durch Fahrzeuge oder Metallgegenstände verändern die Induktivität bzw. die Dämpfung eines Schwingkreises und werden ausgewertet (z. B. zur Fahrzeugerkennung an Ampeln oder Schranken).

10.4 Energiespeicher und induktive Übertragung

In Schaltnetzteilen und Leistungselektronik dienen Spulen als kurzzeitige Energiespeicher.
Supraleitende Spulen in SMES-Systemen speichern große Energiemengen nahezu verlustfrei.
Bei induktiven Ladesystemen (z. B. Zahnbürste, Smartphone, E-Fahrzeug) übertragen zwei magnetisch gekoppelte Spulen Energie berührungslos – im Prinzip wie ein „offener“ Transformator.

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET1-09.01 — Werkstoffauswahl
Übung ET1-09.02 — Spule Linearantrieb
Übung ET1-09.03 — Magnetventil
Übung ET1-09.04 — RL-Modell Magnetventil

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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⏭️ In ET1-10 Induktion 🔗 erfahren Sie, wie sich ändernde Magnetfelder zur Energieumwandlung und -übertragung nutzen lassen – von der Windkraft bis zur Steckdose.

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