ET1-08 Kapazität und Kondensator

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02)

Rückblick auf die vorherige Lektion

Sie kennen die folgenden Methoden/Konzepte und können Sie zur Analyse und Berechnung einfacher Elektrischer Netzwerke passend anwenden:

• Ohmsches Gesetz,
• Strom- und Spannungsteiler, Stern-Dreieck-Umwandlung, Brückenschaltung,
• Ersatzschaltungen (-widerstand, -spannungsquelle, -stromquelle), Leistungsanpassung,
• Kirchhoff‘sche Sätze (Knotenpunktregel, Maschenregel), systematisiert (vollständiger Baum, Auftrennung der Maschen),
• Helmholtz‘scher Überlagerungssatz

Sie betrachten Aufgaben und Anwendungsfälle phänomenologisch und entscheiden sinnvoll über die einzusetzenden Methoden/Konzepte.

[!summary]- Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:
– Wie funktionieren Kondensatoren als Ladungsspeicher?
– Welche praktischen Anwendungen gibt es für Kondensatoren?
– Wie berechnet man Schaltungen mit mehreren Kondensatoren?
– Wie verhalten sich Kondensatoren beim Laden und Entladen?
– Wie viel Energie kann in einem Kondensator gespeichert werden?

Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie kennen und verstehen die elektrische Kapazität als die Fähigkeit, elektrische Ladungen im elektrischen Feld zu speichern. Sie können Komponenten und Systeme, die kapazitives Verhalten aufweisen erkennen, analysieren und berechnen. In diesem Kontext wenden Sie Ihre Kenntnisse über elektrische Felder an und vertiefen sie.
• Sie kennen und verstehen den Kondensator als Bauteil, das die Kapazität elektrotechnisch nutzbar macht. Sie können den Aufbau von Kondensatoren skizzieren, ihre Funktionsweise erklären und sie für einfache Anwendungsfälle dimensionieren.
• Sie können Kapazitäten in Reihen- und Parallelschaltungen zusammenfassen und die Gesamtkapazität berechnen.
• Um die Auf- und Entladevorgänge zu analysieren und zu berechnen, betrachten Sie – anders als bisher – nicht den stationären Zustand von Schaltungen, sondern das dynamische (zeitabhängige) Verhalten im Ein- und Abschaltmoment. Sie können den Zusammenhang zwischen Kapazität, Spannung und Stromstärke beim Auf- und Entladen mathematisch formulieren und berechnen.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Kapazität, Dielektrikum, (Platten-)Kondensator
• el. Flussdichte, el. Feldkonstante, Permittivität(szahl)
• Zeitkonstante

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
…

Das elektrische Feld wurde ja bereits in ET-01 erwähnt und in ET-03 als Ursache für den Ladungsträgertransport, also den elektrischen Strom, eingeführt.

Im Mittelpunkt dieser Lektion liegen der Aufbau eines möglichst großen elektrischen Feldes und dessen Konservierung in einem Bauelement. Dieses Bauelement heißt Kondensator. Seine Fähigkeit, ein elektrisches Feld aufzubauen und Ladungen darin zu speichern, wird mit der Kapazität gemessen.

Theoretische Herleitung

Die Kapazität eines Plattenkondensators lässt sich aus den Maxwell’schen Gleichungen herleiten.

Ausgehend von dem Gauß’schen Gesetz in integraler Form für das elektrische Feld entspricht die Ladung eines Kondensators dem Kreisintegral der Verschiebungsdichte über die wirksame Fläche:

$${\oint }_{\partial V}\vec{D}\cdot d\vec{A}={\int }_V\rho dV=Q_{\mathrm{eingeschl}}$$

Dabei ist:

• $\vec{D}$ die Verschiebungsdichte in Coulomb pro Quadratmeter ($C/{\mathrm{m}}^2$)
• $d\vec{A}$ das differentielle Flächenelement in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)
• $V$ das Volumen in Kubikmeter (${\mathrm{m}}^3$)
• $\rho$ die Raumladungsdichte in Coulomb pro Kubikmeter ($C/{\mathrm{m}}^3$)- $dV$ das differentielle Volumenelement in Kubikmeter (${\mathrm{m}}^3$)
• $Q_{\mathrm{eingeschl}}$ die eingeschlossene Ladung in Coulomb ($\mathrm{C}$)

Mit der Materialgleichung $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ und unter Annahme eines homogenen Feldes zwischen parallelen Platten ergibt sich:

$$D\cdot A=\epsilon E\cdot A=Q$$

Dabei ist:

• $D$ die Verschiebungsdichte als Skalar in Coulomb pro Quadratmeter ($C/{\mathrm{m}}^2$)
• $A$ die Plattenfläche in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)
• $\epsilon$ die Permittivität in Farad pro Meter ($F/m$)
• $E$ die elektrische Feldstärke als Skalar in Volt pro Meter ($V/m$)
• $Q$ die Ladung in Coulomb ($\mathrm{C}$)

Das elektrische Feld zwischen den Platten ist konstant und beträgt $E=U/d$, wobei $d$ der Plattenabstand ist. Einsetzen liefert:

$$\epsilon \frac{U}{d}\cdot A=Q$$

Dabei ist:

• $U$ die Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $d$ der Plattenabstand in Meter ($\mathrm{m}$)

Umformen nach der Kapazitätsdefinition $C=Q/U$ ergibt:

$$C=\frac{\epsilon A}{d}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$$

Dabei ist:

• $C$ die Kapazität in Farad ($\mathrm{F}$)
• ${\epsilon }_0$ die Permittivität des Vakuums ($8,854\cdot 10^{-12}F/m$)
• ${\epsilon }_r$ die relative Permittivität (dimensionslos)

Die in einem Kondensator gespeicherte Energie folgt aus der Integration der Leistung:

$$W={\int }_0^{t}P(\tau )d\tau ={\int }_0^{t}U(\tau )I(\tau )d\tau$$

Dabei ist:

• $W$ die Energie in Joule ($\mathrm{J}$)
• $P$ die Leistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $t$ die Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)
• $\tau$ die Integrationsvariable Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)
• $I$ die Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Mit $I=C\frac{dU}{dt}$ und der zeitabhängigen Spannung beim Ladevorgang:

$$W={\int }_0^{U_{\mathrm{end}}}U\cdot CdU=C{\int }_0^{U_{\mathrm{end}}}UdU=\frac{1}{2}C{U}_{\mathrm{end}}^2$$

Dabei ist:

• $\frac{dU}{dt}$ die zeitliche Ableitung der Spannung in Volt pro Sekunde ($V/s$)
• $U_{\mathrm{end}}$ die Endspannung in Volt ($\mathrm{V}$)

Wassermodell: Heizungsanlage

In einer Heizungsanlage gibt es u.a. diese zwei Komponenten mit Speicherfunktion.

• Links: Pufferspeicher (Kapazität 429 Liter)
• Rechts: Membran-Druckausdehnungsgefäß (Kapazität 80 Liter)

Was könnten ihre jeweiligen Funktionen im System sein?

Pufferspeicher: Bereitstellung von Warmwasser für Haushaltsanwendungen, z. B. Waschen, Duschen, Spülen; Effizienzsteigerung Wärmepumpe, Gesamtwirkungsgrad verbessern; Start-Stopp-Zyklen der Wärmepumpe minimieren

Druckausdehnungsgefäß: Druck an jeder Stelle der Anlage in zulässigen Grenzen halten; Überschreitung des zulässigen Betriebsüberdrucks vermeiden und Mindestdruck sicherstellen; Volumenschwankungen infolge von Temperaturschwankungen kompensieren; Ausgleich von systembedingten Wasserverlusten

Welche weiteren Komponenten, die Wasser speichern, sind im Bild zu sehen?

1 Kondensatoren in der Praxis

Kondensatoren sind weit mehr als nur theoretische Bauelemente aus dem Physikbuch. Sie begegnen uns täglich in unzähligen elektronischen Geräten und erfüllen dabei verschiedenste Aufgaben.

Dabei macht man sich zu Nutze, dass Kondensatoren einerseits als ausgleichende Elemente wirken, indem sie z. B. Spannungspitzen abfangen und kurzfristige Unterspannungen durch Abgabe von Ladung ausgleichen können. Andererseits weisen Kondensatoren je nach Frequenz der angelegten Spannung unterschiedlich hohe Widerstände bzw. Leitwerte auf, wodurch sie in Filterschaltungen z. B. zur gezielten Dämpfung bestimmter Frequenzen eingesetzt werden können.

1.1 EMV-Schutz und Entstörung

In praktisch jedem elektronischen Gerät finden sich Entstörkondensatoren. Diese kleinen Helfer sorgen dafür, dass elektromagnetische Störungen nicht nach außen dringen oder von außen eindringen können.
X-Kondensatoren werden zwischen den Netzleitern (L und N) geschaltet und filtern hochfrequente Störungen heraus. Y-Kondensatoren verbinden die Netzleiter mit dem Schutzleiter (PE) und leiten Störströme sicher ab. Beide sind speziell für diese EMV-Anwendungen konstruiert und entsprechen strengen Sicherheitsnormen.

1.2 Stützkondensatoren für digitale Schaltungen

Moderne Mikrocontroller und digitale Schaltungen benötigen eine stabile Versorgungsspannung. Beim schnellen Schalten der Logikelemente entstehen kurzzeitige Stromspitzen, die zu Spannungseinbrüchen führen können.
Stützkondensatoren – oft Tantalkondensatoren oder Multilayer Ceramic Capacitors (MLCCs) – werden deshalb direkt neben den Chips platziert. Sie wirken wie kleine Energiespeicher und können im Bedarfsfall sofort und schnell Strom liefern, ohne dass die Hauptversorgung belastet wird.

1.3 Informationsspeicher

In DRAM-Speicherzellen wird jedes Bit als Ladung in einem winzigen Kondensator gespeichert. Ist der Kondensator geladen, repräsentiert er eine logische „1”, ist er entladen eine „0”. Diese integrierten Kondensatoren auf Halbleiterbasis sind extrem klein, müssen aber regelmäßig aufgefrischt werden, da sie sich durch Leckströme entladen.

1.4 Energiespeicher für Blitzgeräte

Kamerablitze benötigen für einen kurzen Moment sehr viel Energie. Ein typisches Blitzgerät lädt einen großen Elektrolytkondensator über mehrere Sekunden auf und entlädt ihn dann innerhalb von Millisekunden über die Blitzröhre.
Moderne Superkondensatoren können sogar noch größere Energiemengen speichern und finden Anwendung in Hybridfahrzeugen oder als Backup-Stromversorgung.

1.5 Blindstromkompensation

In Wechselstromnetzen verursachen induktive Lasten wie Motoren einen Blindstrom, der die Leitungen belastet, aber keine Nutzarbeit verrichtet. Leistungskondensatoren können durch ihre kapazitive Wirkung diesen Blindstrom kompensieren und so den Leistungsfaktor verbessern.
Diese Kondensatoren sind für den Dauerbetrieb an Wechselspannung ausgelegt und können erhebliche Leistungen handhaben.

1.6 Zeitglieder

Durch Ihre Fähigkeit, Energie zu speichern, lassen sich mit Kondensatoren Zeitglieder wie Ein- und Ausschaltverzögerungen realisieren.

In der gezeigten Schaltung dient der Kondensator dazu, die LED nach dem Abschalten der Batteriespannung noch eine kurze Zeit nachleuchten zu lassen:

2 Kapazitives Verhalten – nicht nur bei Kondensatoren

Kapazität ist nicht nur eine Eigenschaft von Kondensatoren. Jede Anordnung von Leitern, die durch ein Dielektrikum getrennt sind (auch Luft), weist kapazitives Verhalten auf.

2.1 Kapazitive Sensoren

Die Veränderung der Kapazität lässt sich zur Messung nutzen.
Kapazitive Sensoren erkennen die Annäherung von Objekten, messen Füllstände oder detektieren Berührungen, wie die Türoffner in modernen Zügen und Bahnen oder die tasterlosen Sensoren an Fußgängerampeln. Das Funktionsprinzip nutzt die Tatsache, dass sich die Kapazität ändert, wenn sich der Plattenabstand oder das Dielektrikum verändert, z. B. durch wenn man einen Finger oder die Hand davor hält.

(Ja, man muss tatsächlich nicht mit dem Finger auf die Sensoren drücken, sondern es genügt, sie hygienisch unbedenklich mit dem Handrücken zu berühren.)
In Wechselstromschaltungen entstehen dadurch charakteristische Reaktanzen, die in Schwingkreisen gezielt genutzt werden können.

2.2 Parasitäre Kapazitäten

Auch dort, wo wir keine Kapazitäten haben wollen, entstehen kapazitive Eigenschaften. (Wie in den Rohrleitungen im Bild der Heizungsanlage, die auch eine gewisse Menge Wasser enthalten, auch wenn ihr Volumen gegenüber dem Pufferspeicher gering ist.)

Parasitäre Kapazitäten zwischen Leiterbahnen, Drähten oder Anschlüssen können bei hohen Frequenzen störend wirken.

In Energienetzen (z. B. Überlandleitungen) führen die Kapazitäten zwischen den Leitern und zur Erde zu kapazitiven Ladeströmen. In elektronischen Schaltungen können sie ungewollte Kopplungen verursachen, dann schwingt eine Schaltung, weil die daneben liegende schwingt und ihre Schwingungen elektrostatisch einkoppelt.
Um dem entgegen zu wirken, sind z. B. die Aderpaare in Netzwerkkabeln in Metallfolie eingepackt (pairs in metal foil, PiMF). Der so entstehende Faraday’sche Käfig schirmt die elektrischen Felder gegen einander ab und wirkt der parasitären Kapazität entgegen.

Verdrillt sind die Aderpaare übrigens auch ineinander und miteinander, allerdings hat das nichts mit der Kapazität zu tun, sondern es reduziert die Beeinflussung durch äußere elektromagnetische Felder und die Entstehung elektromagnetischer Kopplungen im Kabel sowie Emissionen nach außen.

3 Aufbau und Kapazität des Kondensators

3.1 Aufbau des Kondensators

Der einfachste Kondensator besteht aus zwei Metall„platten“ (meist Metallfolie oder metallbeschichtete Kunststofffolie), zwischen denen sich nichts außer Luft befindet, die möglichst dicht beieinander liegen, aber nicht elektrisch leitend mit einander verbunden sind.
Weil es technisch schwierig ist, zwei Metallschichten möglichst dicht, aber isoliert von einander in der Luft zu positionieren, befindet sich in der Praxis eine dünne isolierende Schicht (Dielektrikum) dazwischen. Dies kann z. B. durch eine beidseitig metallbeschichtete Folie erreicht werden. Häufig ist es auch eine dünne Papierschicht, die zusätzlich mit einem Elektrolyt (einer Flüssigkeit mit bestimmten elektrischen Eigenschaften) getränkt werden kann.

Die Platten des skizzierten Kondensators haben die Fläche $A$.
Ihr Abstand $d$ ist gleichzeitig die Dicke des Dielektrikums, dessen elektrische Eigenschaft durch die Permittivität $\epsilon$ ausgedrückt wird.

Schließt man einen Kondensator – wie den skizzierten Plattenkondensator – an eine Gleichspannung an, übertragen sich die Potenziale auf die Platten. Es sammeln sich also die positiven Ladungen auf der einen und die negativen auf der anderen Platte. Im Kondensator entsteht so ein elektrisches Feld.

• Je größer die Platten desto mehr Ladungen kann der Kondensator aufnehmen, desto höher ist also seine Kapazität.
• Das elektrische Feld ist umso stärker, je näher die Platten beisammen liegen. Je geringer der Plattenabstand, desto höher ist die Kapazität.

Elektrisches Feld im Kondensator (FLEGEL 2016, S. 44)

Zwischen den Platten befindet sich das Dielektrikum, das die Platten elektrisch isoliert.
Je nach Materialeigenschaft wird es dabei polarisiert (elektrische Dipole richten sich nach dem elektrischen Feld aus), wodurch bei gleicher Feldstärke mehr Ladung auf den Platten gespeichert werden kann. Das wirkt kapazitätssteigernd. Diese Materialeigenschaft, ein elektrisches Feld aufrechtzuerhalten und elektrische Energie darin zu speichern, wird als Permittivität bezeichnet.

• Je höher die Permittivität des Dielektrikums, desto höher ist die Kapazität des Kondensators.

Das einfachste Dielektrikum ist die Luft. Ihre Permittivität wird näherungsweise mit der elektrischen Feldkonstante ${\epsilon }_0$ beschreiben, die eigentlich für das Vakuum gilt:

$${\epsilon }_{Luft}\approx {\epsilon }_0=8,8542\cdot 10^{-12}F/m$$

Kommen Folie, Papier oder Keramik als Dielektrikum zum Einsatz (mit oder ohne Elektrolyt), so ergibt sich die (absolute) Permittivität $\epsilon$ des Dielektrikums aus dem Produkt der elektrischen Feldkonstante ${\epsilon }_0$ und der Permittivitätszahl ${\epsilon }_r$, die als Materialeigenschaft des für das Dielektrikums verwendeten Materials zu verstehen ist:

$$\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r$$

Die Permittivitätszahl (oder relative Permittivität ${\epsilon }_r$) ist eine dimensionslose Zahl, die angibt, um welchen Faktor ein Material die elektrische Flussdichte – und damit die speicherbare Ladung – im Vergleich zum Vakuum erhöht.

Beispiel: mit Keramik-Dielektrikum (${\epsilon }_r=100$):

$$\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r=8,8542\cdot 10^{-12}F/m\cdot 100=885,42\cdot 10^{-12}F/m$$

(Man kann sich das zusätzliche Dielektrikum wie eine Gummimembran im Wasserspeicher vorstellen, die sich ausdehnt und so nicht nur die Aufnahme von mehr Wasser ermöglicht, sondern auch einen Gegendruck aufbaut, durch den das Wasser wieder herausläuft, sobald der Außendruck geringer als der Innendruck ist.)

3.2 Kapazitätsberechnung

Die Kapazität $C$ eines Kondensators hängt also von der Plattenfläche, dem Plattenabstand und der Permittivität des Dielektrikums ab. Sie berechnet sich so:

$$C=\epsilon \cdot \frac{A}{d}={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r\cdot \frac{A}{d}$$

Dabei ist:

• $\epsilon$ die Permittivität
  • ${\epsilon }_0$ die elektrische Feldkonstante (${\epsilon }_0\approx 8,8542\cdot 10^{-12}\text{F/m}$)
  • ${\epsilon }_r$ die relative Permittivität des Dielektrikums (dimensionslos)
• $A$ die Plattenfläche in ${\mathrm{m}}^2$
• $d$ der Plattenabstand in $\mathrm{m}$

Die Formel zeigt: Größere Platten und kleinerer Abstand ergeben größere Kapazität.

Modellvorstellung: Idealer Kondensator

In unserer Modellvorstellung hat der Kondensator die berechnete Kapazität.

In der Realität bringen die Anschlüsse und die Platten selbst ohm’sche Widerstände mit sich. Auch hat das Dielektrikum einen realen Leitwert, so dass es von einem Leckstrom durchflossen wird, der für die langsame, aber durchaus merkliche Entladung des Kondensators sorgt.

In diesem Skript gehen wir stets von einem idealen Kondensator aus, sofern nichts anderes angegeben ist.

4 Schaltungen von Kapazitäten

Genau wie Widerstände lassen sich auch Kondensatoren in Reihe und parallel schalten. Die Berechnungsregeln sind genau umgekehrt.

4.1 Parallelschaltung von Kondensatoren

Bei parallel geschalteten Kondensatoren liegt an allen die gleiche Spannung $U$ an. Die Gesamtladung ist die Summe der Einzelladungen:

$$Q_{\mathrm{ges}}=Q_1+Q_2+Q_3+\dots =\sum _{i=1}^n{Q}_i$$

Dabei ist:

• $Q_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtladung in Coulomb ($\mathrm{C}$)
• $Q_1,Q_2,Q_3$ die Einzelladungen in Coulomb ($\mathrm{C}$)
• $Q_i$ die Ladung des i-ten Kondensators in Coulomb ($\mathrm{C}$)

Da $Q=C\cdot U$ ist, ergibt sich:

$$C_{\mathrm{ges}}\cdot U=C_1\cdot U+C_2\cdot U+C_3\cdot U+\dots$$

Daraus folgt für die Gesamtkapazität bei Parallelschaltung:

$$C_{\mathrm{ges}}=C_1+C_2+C_3+\dots =\sum _{i=1}^n{C}_i$$

Dabei ist:

• $C_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtkapazität in Farad ($\mathrm{F}$)
• $C_1,C_2,\dots ,C_n$ die Einzelkapazitäten in Farad ($\mathrm{F}$)

Rechenbeispiel: Drei parallel geschaltete Kondensatoren mit $C_1=10\mu \mathrm{F}$, $C_2=20\mu \mathrm{F}$ und $C_3=30\mu \mathrm{F}$ ergeben:

$$C_{\mathrm{ges}}=10\mu \mathrm{F}+20\mu \mathrm{F}+30\mu \mathrm{F}=60\mu \mathrm{F}$$

Parallelschaltung vergrößert die Plattenfläche

Die Parallelschaltung von Kondensatoren entspricht technisch einer Vergrößerung der Plattenfläche, damit erhöht sich die Kapazität.

Die Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist daher immer größer als die größte Einzelkapazität.

4.2 Reihenschaltung von Kondensatoren

Bei in Reihe geschalteten Kondensatoren fließt durch alle der gleiche Ladestrom $I$, sodass auf allen die gleiche Ladung $Q$ gespeichert wird. Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen:

$$U_{\mathrm{ges}}=U_1+U_2+U_3+\dots =\sum _{i=1}^n{U}_i$$

Dabei ist:

• $U_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $U_1,U_2,\dots ,U_n$ die Einzelspannungen in Volt ($\mathrm{V}$)

Mit $U=Q/C$ folgt:

$$\frac{Q}{C_{\mathrm{ges}}}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}+\frac{Q}{C_3}+\dots$$

Daraus ergibt sich für die Gesamtkapazität bei Reihenschaltung:

$$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+\dots =\sum _{i=1}^n\frac{1}{C_i}$$

Rechenbeispiel: Drei in Reihe geschaltete Kondensatoren mit $C_1=10\mu \mathrm{F}$, $C_2=20\mu \mathrm{F}$ und $C_3=30\mu \mathrm{F}$ ergeben:

$$\frac{1}{C_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{10\mu \mathrm{F}}+\frac{1}{20\mu \mathrm{F}}+\frac{1}{30\mu \mathrm{F}}=\frac{6+3+2}{60}\frac{1}{\mu \mathrm{F}}=\frac{11}{60}\frac{1}{\mu \mathrm{F}}$$ $$C_{\mathrm{ges}}=\frac{60}{11}\mu \mathrm{F}\approx 5,5\mu \mathrm{F}$$

Reihenschaltung vergrößert den Abstand

Die Reihenschaltung von Kondensatoren entspricht technisch einer Vergrößerung des Abstandes der äußeren beiden Platten, damit verringert sich die Kapazität.

Die Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist daher immer kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

5 Laden und Entladen von Kondensatoren

Beim Ein- und Ausschalten von Kondensatorschaltungen entstehen zeitabhängige Vorgänge. Diese Ausgleichsprozesse folgen charakteristischen exponentiellen Gesetzen. Wir gehen stets davon aus, dass ein Kondensator über einen Widerstand ge- und entladen wird.

5.1 Grundlegende Zusammenhänge

Der Kondensatorstrom $i_{\mathrm{C}}(t)$ ist definiert als:

$$i_{\mathrm{C}}(t)=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$$

Dabei ist:

• $C$ die Kapazität in Farad ($\mathrm{F}$)
• $u_C$ die Kondensatorspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $t$ die Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)

Kleinbuchstabe als Formelzeichen

Hier kommen, wie in ET1-02 beschrieben, Kleinbuchstaben als Formelzeichen zum Einsatz, um auszudrücken, dass Spannung $u$ und Stromstärke $i$ sich über die Zeit $t$ verändern.
Die Kapazität $C$ als konstante Größe hat wie gewohnt einen Großbuchstaben als Formelzeichen.

Bei Reihenschaltungen aus Widerstand und Kondensator (RC-Schaltungen) ergibt sich aus der Maschenregel eine Differentialgleichung, deren Lösung zu den exponentiellen Verläufen führt:

$$U=u_{\mathrm{R}(t)}+u_{\mathrm{C}}(t)=R\cdot i_{\mathrm{C}}(t)+u_{\mathrm{C}}(t)=RC\frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{C}}(t)}{\mathrm{d}t}+u_{\mathrm{C}}(t)$$

5.2 Ladevorgang

In Schalterstellung 2 wird der skizzierte Kondensator über den Widerstand $R$ mit der Spannung $U_0$ geladen. Es ergeben sich folgende zeitabhängige Verläufe:

Aufgetragen sind das Verhältnis von Kondensatorspannung $u_{\mathrm{C}}$ zur Ladespannung $U$ (im Skript $U_0$ genannt) und das Verhältnis des Ladestroms $i_{\mathrm{C}}$ zum maximalen Strom $I=U/R$ (im Skript $U_0/R$ genannt) (ALBACH 2020, S. 518)

Kondensatorspannung beim Laden:

$$u_{\mathrm{C}}(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Dabei ist:

• $U_0$ die Ladespannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $u_C(t)$ die zeitabhängige Kondensatorspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $\tau$ die Zeitkonstante in Sekunden ($\mathrm{s}$) mit $\tau =R\cdot C$
  • $R$ der Widerstand in Ohm ($\mathrm{\Omega }$)
  • $C$ die Kapazität in Farad ($\mathrm{F}$)

Ladestrom:

$$i_{\mathrm{c}}(t)=\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$$

Die Zeitkonstante $\tau =RC$ hat die Einheit Sekunde und bestimmt, wie schnell der Lade- oder Entladevorgang abläuft.

Strom und Spannung beim Laden einer Kapazität

• Der Spannungsverlauf an einer Kapazität ist immer stetig, im Ladevorgang zunehmend.
• Am Ende erreicht die Kapazität annähernd die Ladespannung.
• Der Strom ist im Einschaltmoment maximal und nimmt dann ab. Wenn die Kapazität geladen ist, fließt kein Strom mehr.

„Der Strom ist sofort voll da, während die Spannung sich erst aufbauen muss. Sie eilt nach.“

Rechenbeispiel: Laden

Ein entladener Kondensator mit der Kapazität $C=2,0\mu \mathrm{F}$ wird zum Zeitpunkt $t=0$ an eine Gleichspannungsquelle mit den folgenden Parametern geschaltet:

• Quellenspannung: $U_q=10\mathrm{V}$
• Innenwiderstand: $R_i=50\Omega$

Gesucht:
a) Anfangs- und Endwerte von $u_C(t)$ und $i_C(t)$ sowie Zeitkonstante $\tau$
b) Grafischer Verlauf

Lösung zu a):

Zeitkonstante:

$$\tau =R_i\cdot C=50\Omega \cdot 2,0\mu \mathrm{F}=100\cdot 10^{-6}\mathrm{s}=\underline{0,1\mathrm{ms}}$$

Anfangswerte ($t=0$):

$$u_C(t=0)=\underline{0\mathrm{V}}$$ $$i_C(t=0)=\frac{U_q}{R_i}=\frac{10\mathrm{V}}{50\Omega }=\underline{0,2\mathrm{A}}$$

Endwerte ($t=5\tau$):

$$u_C(t=5\tau )=U_q\cdot \left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)=10\mathrm{V}\cdot \left(1-e^{-5}\right)=10\mathrm{V}\cdot 0,993=\underline{9,93\mathrm{V}}$$ $$i_C(t=5\tau )=\frac{U_q}{R_i}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}=0,2\mathrm{A}\cdot e^{-5}=0,2\mathrm{A}\cdot 0,00674=\underline{1,35\mathrm{mA}}$$

Zu b):

Die Spannung steigt exponentiell auf Endwert, Strom springt im Einschaltmoment auf Maximalwert, fällt dann exponentiell ab.

5.3 Entladevorgang

In Schalterstellung 1 wird der skizzierte Kondensator, der zuvor auf die Spannung $U_0$ aufgeladenen worden ist, über den Widerstand $R$ entladen.
Es ergeben sich folgende zeitabhängige Verläufe:

Kondensatorspannung beim Entladen:

$$u_{\mathrm{C}}(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Entladestrom:

$$i_{\mathrm{C}}(t)=-\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$$

Der Entladestrom ist negativ, da er gegen die Pfeilrichtung aus dem Kondensator herausfließt. Der Kondensator wird damit für die Zeit der Entladung in der Schaltung zur Quelle.

Strom und Spannung beim Entladen einer Kapazität

• Der Spannungsverlauf an einer Kapazität ist immer stetig, im Entladevorgang abnehmend.
• Zu Beginn ist die Kapazität auf $U_0$ geladen.
• Am Ende erreicht die Spannung annähernd $0\mathrm{V}$.
• Der Strom ist im Einschaltmoment maximal ($i(t=0)=-I_0$) und nimmt dann ab. Wenn die Kapazität leer ist, fließt kein Strom mehr.
• Nach 5𝜏 gilt die Kapazität als entladen.

Rechenbeispiel: Entladen

Ein auf die Spannung $U_0=u_C(0)=100\mathrm{V}$ aufgeladener Kondensator mit der Kapazität $C=150\mathrm{nF}$ entlädt sich über seinen Isolationswiderstand $R=50\mathrm{G}\Omega$.

Gesucht:
a) Nach welcher Zeit kann er als vollständig entladen betrachtet werden?
b) Welche Spannung liegt zum Zeitpunkt $t=4\tau$ an seinen Klemmen an?

Lösung:

Zu a):
Zeitkonstante:

$$\tau =R\cdot C=50\cdot 10^9\Omega \cdot 0,15\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=7,5\cdot 10^3\mathrm{s}=\underline{125\min }$$

Als vollständig entladen gilt der Kondensator nach $5\tau$, also nach ca. 625 min (etwa 10,4 Stunden).

Zu b):

$$u_C(t=4\tau )=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}=100\mathrm{V}\cdot e^{-4}=\underline{1,83\mathrm{V}}$$

5.4 Praktische Bedeutung der Zeitkonstante

In der Praxis gelten folgende Richtwerte:

• Aufladen:
  • Nach der Zeit $t=\tau$ ist der Kondensator auf etwa 63% der Endspannung geladen.
  • Nach $t=5\tau$ gilt der Kondensator als praktisch vollständig geladen (99,3%).
• Entladen:
  • Nach der Zeit $t=\tau$ ist der Kondensator um etwa 63% (also auf 37% der Anfangsspannung) entladen.
  • Nach $t=5\tau$ gilt der Kondensator als praktisch vollständig entladen (99,3%).

Rechenbeispiel: Ein realer Kondensator mit $C=150\mathrm{nF}$ entlädt sich über seinen Isolationswiderstand $R=50\mathrm{G\Omega }$.

Zeitkonstante: $\tau =RC=50\cdot 10^9\mathrm{\Omega }\cdot 0,15\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=7,5\cdot 10^3\mathrm{s}=125\min$

Nach $t=5\tau =625\min \approx 10,4\mathrm{h}$ kann der Kondensator als vollständig entladen betrachtet werden.

6 Energiespeicherung in Kondensatoren

Kondensatoren speichern Energie in ihrem elektrischen Feld. Diese gespeicherte Energie lässt sich berechnen und für verschiedene Anwendungen nutzen.

Herleitung der Energieformel
Die in einem Kondensator gespeicherte Energie $W$ ist das Integral der zugeführten Leistung:

$$W={\int }_0^{t}P(\tau )d\tau ={\int }_0^{t}U(\tau )\cdot I(\tau )d\tau$$

Mit $i=C\frac{du}{dt}$ folgt:

$$W={\int }_0^{U_0}U\cdot CdU=C{\int }_0^{U_0}UdU=\frac{1}{2}C{U}_0^2$$

Dabei ist:

• $U_0$ die Spannung, auf die der Kondensator geladen wird, in Volt ($\mathrm{V}$)
• $C$ die Kapazität des Kondensators in Farad ($\mathrm{F}$)

6.1 Energieformel für Kondensatoren

Die in einem Kondensator gespeicherte Energie beträgt:

$$W=\frac{1}{2}C{U}^2$$

Alternative Darstellungen sind:

$$W=\frac{1}{2}QU=\frac{Q^2}{2C}$$

6.2 Rechenbeispiele

Beispiel 1: Welche Energie ist in einem Kondensator mit $C=220\mu \mathrm{F}$ gespeichert, der auf $U=110\mathrm{V}$ aufgeladen worden ist?

Gespeicherte Energie:

$$W=\frac{1}{2}\cdot 220\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot (110\mathrm{V}{)}^2=\underline{1,33\mathrm{J}}$$

Beispiel 2: Für ein Blitzgerät soll ein Kondensator über $t=1/30\mathrm{s}$ eine Leistung von $P=300\mathrm{W}$ bei $U=110\mathrm{V}$ abgeben. Welche Kapazität ist erforderlich?

Benötigte Energie: $W=P\cdot t=300\mathrm{W}\cdot \frac{1}{30}\mathrm{s}=10\mathrm{J}$

Erforderliche Kapazität:

$$C=\frac{2W}{U^2}=\frac{2\cdot 10\mathrm{J}}{(110\mathrm{V}{)}^2}=1,65\mathrm{mF}$$

Wichtig

Die Spannung am Kondensator ist immer stetig – sie kann sich nicht sprunghaft ändern. Der Strom hingegen kann durchaus Sprünge aufweisen, besonders beim Ein- und Ausschalten.

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET1-08.01 — Kapazitätsverständnis
Übung ET1-08.02 — Kapazitätsvergleich
Übung ET1-08.03 — Kapazitätsberechnung
Übung ET1-08.04 — RC-Glied Entladevorgang Kapazität
Übung ET1-08.05 — RC-Glied Lade-Entladevorgang Kapazität
Übung ET1-08.06 — RC-Glied Entlade-Ladevorgang Kapazität
Übung ET1-08.07 — Kapazität an AC

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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⏭️ In ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität lernen Sie, wie aus elektrischer Energie mechanische Kraft und Bewegung entstehen kann.