Übung ET1-09.02 — Spule Linearantrieb (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-24)

Bezug zu ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität

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Aufgabe

Eine lange Zylinderspule (Luftkern) wird in einem mechatronischen Linearantrieb als Elektromagnet eingesetzt. Die Spule hat folgende Daten:

• Windungszahl: $N=400$
• magnetisch wirksame Länge: $l=12,0\mathrm{cm}$
• Betriebsstrom: $I=800\mathrm{mA}$
• Luftkern: ${\mu }_r\approx 1$

a) Berechnen Sie die magnetische Durchflutung $\Theta$ und die magnetische Feldstärke $H$ im Inneren der Spule.

b) Bestimmen Sie die magnetische Flussdichte $B$ im Inneren der Spule (Luftkern).

c) Nun wird ein Eisenkern mit relativer Permeabilität ${\mu }_r=300$ in die Spule eingeschoben. Berechnen Sie die neue Flussdichte $B_{\mathrm{Kern}}$ (Sättigungseffekte werden vernachlässigt).

d) Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus Teil c): Wie verändert sich grundsätzlich die theoretisch erreichbare Kraft eines solchen Elektromagneten, wenn der Luftkern durch einen Eisenkern ersetzt wird?

Lösung

a) $\Theta =320\mathrm{A}$, $H\approx 2,67kA/m$
b) $B_{\mathrm{Luft}}\approx 3,35\mathrm{mT}$
c) $B_{\mathrm{Kern}}\approx 1,01\mathrm{T}$
d) Die Flussdichte steigt um den Faktor $300$.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

a) Magnetische Durchflutung und Feldstärke

Gegeben:

• $N=400$
• $I=800\mathrm{mA}$
• $l=12,0\mathrm{cm}$

Gesucht:

• magnetische Durchflutung $\Theta$
• magnetische Feldstärke $H$

Zusammenhänge:

Die magnetische Durchflutung einer Spule ist definiert als

$$\Theta =N\cdot I$$

und für eine lange Zylinderspule gilt näherungsweise

$$H=\frac{\Theta }{l}=\frac{N\cdot I}{l}.$$

Berechnung der Durchflutung:

$$\Theta =N\cdot I=400\cdot 0,80\mathrm{A}=320\mathrm{A}$$

Berechnung der Feldstärke:

$$H=\frac{\Theta }{l}=\frac{320\mathrm{A}}{0,12\mathrm{m}}=2666,\overline{6}A/m\approx 2,67\cdot 10^{3}A/m$$

Ergebnis:

• $\Theta =320\mathrm{A}$
• $H\approx 2,67kA/m$

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b) Magnetische Flussdichte im Luftkern

Gegeben:

• $H\approx 2,67\cdot 10^{3}A/m$
• Luftkern: ${\mu }_r\approx 1$
• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}$

Zusammenhang:

$$B={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot H$$

Für den Luftkern (${\mu }_r\approx 1$):

$$B_{\mathrm{Luft}}={\mu }_0\cdot H=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}\cdot 2,67\cdot 10^3\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$

Zunächst:

$$4\pi \approx 12,566$$

Damit:

$$B_{\mathrm{Luft}}\approx 12,566\cdot 10^{-7}\cdot 2,67\cdot 10^3\mathrm{T}=33,5\cdot 10^{-4}\mathrm{T}=3,35\cdot 10^{-3}\mathrm{T}$$

Also:

$$B_{\mathrm{Luft}}\approx 3,35\cdot 10^{-3}\mathrm{T}=3,35\mathrm{mT}$$

Ergebnis:

• $B_{\mathrm{Luft}}\approx 3,35\mathrm{mT}$

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c) Flussdichte mit Eisenkern

Gegeben:

• ${\mu }_r=300$
• $H\approx 2,67\cdot 10^{3}A/m$ (unverändert, da $N$, $I$ und $l$ gleich bleiben)
• $B={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot H$

Berechnung:

$$B_{\mathrm{Kern}}={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot H={\mu }_r\cdot B_{\mathrm{Luft}}=300\cdot 3,35\cdot 10^{-3}\mathrm{T}$$ $$B_{\mathrm{Kern}}=1005\cdot 10^{-3}\mathrm{T}\approx 1,01\mathrm{T}$$

Ergebnis:

• $B_{\mathrm{Kern}}\approx 1,01\mathrm{T}$

(Die so berechnete Flussdichte liegt in einem typisch realistischen Bereich für einen nicht gesättigten Eisenkern.)

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d) Interpretation: Einfluss auf die Kraft

Die mechanische Kraft, die ein Elektromagnet z. B. auf einen Eisenanker ausüben kann, hängt näherungsweise vom Quadrat der Flussdichte im Luftspalt ab (Reluktanzkraft):

$$F\propto B^2$$

• Im Luftkern: $B_{\mathrm{Luft}}\approx 3,35\mathrm{mT}$
• Mit Eisenkern: $B_{\mathrm{Kern}}\approx 1,01\mathrm{T}$

Damit steigt die Flussdichte um den Faktor ${\mu }_r$:

$$\frac{B_{\mathrm{Kern}}}{B_{\mathrm{Luft}}}\approx \frac{1,01}{3,35\cdot 10^{-3}}\approx 300,$$

also ungefähr um den Faktor ${\mu }_r$.

Da die Kraft proportional zu $B^2$ ist, würde die theoretisch mögliche Kraft idealisiert um ungefähr den Faktor

$${\left(\frac{B_{\mathrm{Kern}}}{B_{\mathrm{Luft}}}\right)}^2\approx 300^2=90.000$$

ansteigen.

Praktische Grenzen

In der Praxis wird dieser enorme theoretische Faktor jedoch stark begrenzt durch

• die Sättigung des Eisenkerns (ab ca. $1,5\dots 2\mathrm{T}$ steigt $B$ kaum noch),
• Streufelder und Luftspalte,
• Verluste (Wirbelströme, Hystereseverluste),
• thermische Grenzen (Erwärmung durch Kupferverluste in der Spule).

Trotzdem zeigt die Rechnung deutlich:
Der Einsatz eines weichmagnetischen Eisenkerns erhöht bei gleichen elektrischen Betriebsdaten ($N$, $I$, $l$) die magnetische Flussdichte und damit die potenzielle Antriebskraft eines Elektromagneten in mechatronischen Systemen ganz erheblich.