Übung ET1-09.03 — Magnetventil (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-24)

Bezug zu ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität

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Aufgabe

In einer mechatronischen Hydrauliksteuerung wird ein Magnetventil eingesetzt. Ein Eisenanker der Masse $m=0,50\mathrm{kg}$ soll beim Einschalten des Ventils sicher angezogen werden.

Gegeben sind:

• Masse des Ankers: $m=0,50\mathrm{kg}$
• wirksame Polfläche im Luftspalt: $A=3,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$
• Luftspalt (mittlere Feldlänge im Spalt): $\delta =1,5\mathrm{mm}$
• Windungszahl der Spule: $N=600$
• Sicherheitsfaktor: $S=2$
• Erdbeschleunigung: $g\approx 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$
• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}$

a) Berechnen Sie die notwendige Hubkraft $F_{\mathrm{Magnet}}$, die der Elektromagnet mindestens erzeugen muss, um den Anker mit Sicherheitsfaktor $S$ in jeder Einbausituation anzuheben.

b) Bestimmen Sie die erforderliche magnetische Flussdichte $B$ im Luftspalt.

c) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke $H_{\mathrm{Luft}}$ im Luftspalt (Luft: ${\mu }_r\approx 1$) und die dazu notwendige magnetische Durchflutung $\Theta$.

d) Bestimmen Sie daraus den erforderlichen Spulenstrom $I$.

e) Nennen Sie mindestens zwei praktische Einflüsse (z. B. Fertigung, Verschleiß, Temperatur), die in einer realen Auslegung zusätzlich berücksichtigt werden sollten, und erläutern Sie kurz deren Wirkung auf die dimensionierte Spule.

Lösung

a) $F_{\mathrm{Magnet}}\approx 9,81\mathrm{N}$
b) $B\approx 0,29\mathrm{T}$
c) $H_{\mathrm{Luft}}\approx 2,3\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$, $\Theta \approx 3,4\cdot 10^2\mathrm{A}$
d) $I\approx 0,57\mathrm{A}$
e) z. B. Fertigungstoleranzen, Verschmutzung/Luftspaltänderung, Erwärmung (Kupfer- und Eisenverluste), Werkstoffsättigung etc.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

a) Erforderliche Hubkraft

Da das Ventil in jeder Einbausituation sicher schalten muss, wird angenommen, dass der Anker vertikal entgegen der Erdbeschleunigung gehoben werden soll.

Die Gewichtskraft des Ankers beträgt:

$$F_{\mathrm{G}}=m\cdot g=0,50\mathrm{kg}\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=4,905\mathrm{N}$$

Mit Sicherheitsfaktor $S=2$ ergibt sich die notwendige magnetische Hubkraft:

$$F_{\mathrm{Magnet}}=S\cdot F_{\mathrm{G}}=2\cdot 4,905\mathrm{N}\approx 9,81\mathrm{N}$$

Ergebnis:

$$F_{\mathrm{Magnet}}\approx 9,8\mathrm{N}$$

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b) Erforderliche Flussdichte im Luftspalt

Zunächst wird die Polfläche in SI-Einheiten umgerechnet:

$$A=3,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=3,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$$

Reluktanzkraft-Formel (Luftspalt dominiert den magnetischen Kreis):

$$F=\frac{B^2\cdot A}{2{\mu }_0}\Rightarrow B=\sqrt{\frac{2{\mu }_{0}F}{A}}$$

Einsetzen:

$$B=\sqrt{\frac{2\cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}\cdot 9,81\mathrm{N}}{3,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}}$$

Ergibt (gerundet):

$$B\approx 0,287\mathrm{T}\approx 0,29\mathrm{T}$$

Ergebnis:

$$B\approx 0,29\mathrm{T}$$

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c) Feldstärke und Durchflutung

Im Luftspalt gilt näherungsweise (Luft: ${\mu }_r\approx 1$):

$$B={\mu }_0\cdot H_{\mathrm{Luft}}\Rightarrow H_{\mathrm{Luft}}=\frac{B}{{\mu }_0}$$

Einsetzen:

$$H_{\mathrm{Luft}}=\frac{0,287\mathrm{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}}\approx 2,28\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$

Die mittlere Feldlänge im Luftspalt ist:

$$\delta =1,5\mathrm{mm}=1,5\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$$

Die notwendige magnetische Durchflutung ergibt sich zu:

$$\Theta =H_{\mathrm{Luft}}\cdot \delta \approx 2,28\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}\mathrm{m}\approx 3,42\cdot 10^2\mathrm{A}$$

Ergebnis:

• $H_{\mathrm{Luft}}\approx 2,3\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$
• $\Theta \approx 3,4\cdot 10^2\mathrm{A}$

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d) Erforderlicher Spulenstrom

Zusammenhang zwischen Durchflutung, Windungszahl und Strom:

$$\Theta =N\cdot I\Rightarrow I=\frac{\Theta }{N}$$

Mit $N=600$:

$$I=\frac{3,42\cdot 10^2\mathrm{A}}{600}\approx 0,57\mathrm{A}$$

Ergebnis:

$$I\approx 0,57\mathrm{A}$$

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e) Praktische Einflussgrößen

In einer realen Auslegung eines Magnetventils müssen u. a. folgende Effekte berücksichtigt werden:

• Fertigungstoleranzen und Luftspaltänderungen
  Rauheit, Ungenauigkeiten und Verschleiß können den effektiven Luftspalt $\delta$ vergrößern. Dadurch sinken $B$ und die Kraft $F$. Die Spule muss daher mit Reserve ausgelegt werden.

• Verschmutzung, Korrosion, Ölschlamm
  Ablagerungen im Luftspalt vergrößern den magnetisch wirksamen Abstand oder führen zu zusätzlichen Luftspalten. Das reduziert die erreichbare Flussdichte und damit die Halte- und Hubkraft.

• Erwärmung der Spule
  Mit steigender Temperatur nimmt der Wicklungswiderstand zu, der Strom $I$ sinkt bei gleicher Versorgungsspannung. Das verringert die Durchflutung $\Theta$ und die Kraft.

• Sättigung des Eisenkreises
  Bei sehr hohen Flussdichten nähert sich der Eisenwerkstoff der magnetischen Sättigung, sodass eine weitere Erhöhung des Stroms nur noch wenig zusätzliche Kraft bringt. Dann ist eine reine „Stromreserve“ nicht beliebig wirksam.

Praktische Sicherheitsreserven

In der Praxis wird deshalb häufig mit Sicherheitsreserven bei Strom, Windungszahl und Geometrie gearbeitet und das Ventil zusätzlich im Versuch validiert.