ET2-08 Induktivität und Reale Spule

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Wie beeinflusst eine Spule die Spannung in einer benachbarten Spule – und wie beschreiben wir das quantitativ?
• Warum verhält sich eine reale Spule anders als das ideale Modell – und welche parasitären Effekte treten auf?
• Wie viel Energie steckt im Magnetfeld einer Spule?
• Wie reagiert ein Stromkreis mit Spule und Widerstand auf das plötzliche Anlegen einer Spannung?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie berechnen die Gegeninduktivität und den Kopplungsfaktor zweier magnetisch gekoppelter Spulen.
• Sie zeichnen und erklären das Ersatzschaltbild einer realen Spule mit allen relevanten parasitären Elementen.
• Sie bestimmen die im Magnetfeld einer Spule gespeicherte Energie.
• Sie berechnen den zeitlichen Verlauf von Strom und Spannung in einer LR-Schaltung nach einem Spannungssprung.
• Sie wenden die Zeitkonstante $\tau =L/R$ zur Analyse von Ein- und Ausschaltvorgängen an.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Gegeninduktivität und Kopplungsfaktor
• Ersatzschaltbild der realen Spule (Kupferwiderstand, parasitäre Kapazität, Eisenverlustwiderstand)
• Energiespeicherung im Magnetfeld
• LR-Sprungantwort und Zeitkonstante

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Rückgriff – Selbstinduktion und Induktionsgesetz
2 Gegeninduktivität und Kopplungsfaktor
3 Die reale Spule
4 Energiespeicherung im Magnetfeld
5 LR-Schaltung – Sprungantwort und Zeitkonstante

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

• Systematische Berechnung magnetischer Kreise
• Magnetischer Widerstand $R_m$ und Durchflutungssatz
• Analogie zum elektrischen Kreis: Durchflutung $\leftrightarrow$ Spannung, magnetischer Fluss $\leftrightarrow$ Strom
• Magnetischer Kreis mit und ohne Luftspalt
• Ferromagnetische Materialien: B-H-Kennlinie und Hysterese (Vertiefung)

1 Rückgriff – Selbstinduktion und Induktionsgesetz

In ET1-10 haben wir das Faradaysche Induktionsgesetz und die Lenzsche Regel kennengelernt. Die zentrale Aussage lautet: Jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife induziert eine Spannung, die ihrer Ursache entgegenwirkt. Für eine Spule mit $N$ Windungen gilt:

$$u_{\mathrm{ind}}(t)=-N\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

Ebenso haben wir die Selbstinduktion eingeführt: Ändert sich der Strom in einer Spule, ändert sich ihr eigenes Magnetfeld und damit der magnetische Fluss durch ihre Windungen. Die dabei induzierte Selbstinduktionsspannung ist:

$$u_L(t)=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$

Dabei ist:

• $L$ die Induktivität der Spule in Henry ($\mathrm{H}$)
• $i$ die Stromstärke durch die Spule in Ampere ($\mathrm{A}$)

Die Induktivität beschreibt also, wie stark eine Spule auf Stromänderungen „reagiert”. Eine hohe Induktivität bedeutet, dass schon eine geringe Stromänderung eine große Gegenspannung hervorruft. In ET2-07 haben wir darüber hinaus gelernt, magnetische Kreise systematisch zu berechnen. Dieses Werkzeug nutzen wir nun, um das Verhalten realer Spulen und die Kopplung zwischen Spulen quantitativ zu beschreiben.

Hinweis zur Notation

In dieser Lektion bezeichnen Kleinbuchstaben ($u$, $i$) zeitabhängige Größen, Großbuchstaben ($U$, $I$) stationäre Gleichgrößen oder Effektivwerte. Unterstrichene Größen ($\underline{U}$, $\underline{I}$) sind komplexe Wechselstromgrößen, wie in ET2-03 eingeführt.

2 Gegeninduktivität und Kopplungsfaktor

2.1 Das Prinzip der magnetischen Kopplung

In ET1-10 haben wir die Gegeninduktion (gegenseitige Induktion) bereits qualitativ kennengelernt: Zwei Spulen, die sich einen gemeinsamen magnetischen Fluss teilen, sind magnetisch gekoppelt. Ändert sich der Strom in der einen Spule, wird in der anderen eine Spannung induziert. Dieses Prinzip ist die Grundlage des Transformators, den wir in ET2-09 ausführlich behandeln werden.

(Quelle: Wikimedia Commons, Fred the Oyster, CC BY-SA 4.0)

Betrachten wir zwei Spulen mit den Induktivitäten $L_1$ und $L_2$, die auf einem gemeinsamen magnetischen Kern angeordnet sind. Der Strom $i_1$ in Spule 1 erzeugt einen magnetischen Fluss. Ein Teil dieses Flusses durchsetzt auch die Windungen von Spule 2 – wir sprechen vom verketteten Fluss ${\Phi }_{21}$. Analog erzeugt ein Strom $i_2$ in Spule 2 einen Fluss, von dem ein Teil als ${\Phi }_{12}$ die Windungen von Spule 1 durchsetzt.

2.2 Definition der Gegeninduktivität

Die Gegeninduktivität $M$ (auch: gegenseitige Induktivität, engl. mutual inductance) quantifiziert die magnetische Kopplung zwischen zwei Spulen. Sie beschreibt, welche Spannung in der einen Spule induziert wird, wenn sich der Strom in der anderen ändert:

$$u_{21}(t)=M\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}\text{und}{u}_{12}(t)=M\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}$$

Dabei ist:

• $M$ die Gegeninduktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $u_{21}$ die in Spule 2 durch eine Stromänderung in Spule 1 induzierte Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $u_{12}$ die in Spule 1 durch eine Stromänderung in Spule 2 induzierte Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)

Die Gegeninduktivität ist eine symmetrische Größe: Es spielt keine Rolle, in welcher der beiden Spulen sich der Strom ändert – der Wert von $M$ ist in beiden Richtungen identisch. Dies folgt aus dem Reziprozitätsprinzip der Elektrodynamik.

Vorzeichen bei gekoppelten Spulen

Das Vorzeichen der in Spule 2 induzierten Spannung hängt vom Wicklungssinn beider Spulen ab. Gleichsinnige Wicklung (Stromfluss in gleicher Umlaufrichtung) erzeugt verstärkende Kopplung, gegensinnige Wicklung erzeugt abschwächende Kopplung. In Schaltplänen wird der Wicklungssinn durch Punkte an den Spulensymbolen gekennzeichnet.

2.3 Kopplungsfaktor

Nicht der gesamte magnetische Fluss einer Spule erreicht die andere – ein Teil geht als Streufluss ${\Phi }_{\sigma }$ am Kern vorbei oder schließt sich durch die Luft. Der Kopplungsfaktor $k$ beschreibt, welcher Anteil des Gesamtflusses tatsächlich beide Spulen verkettet:

$$M=k\cdot \sqrt{L_1\cdot L_2}$$

Dabei ist:

• $k$ der Kopplungsfaktor (dimensionslos), $0\le k\le 1$
• $L_1$ die Induktivität der Spule 1 in Henry ($\mathrm{H}$)
• $L_2$ die Induktivität der Spule 2 in Henry ($\mathrm{H}$)

Die Grenzfälle verdeutlichen die Bedeutung:

• $k=0$: Keine Kopplung – die Spulen sind magnetisch vollständig entkoppelt. Kein Fluss der einen Spule durchsetzt die andere.
• $k=1$: Ideale (vollständige) Kopplung – der gesamte Fluss jeder Spule durchsetzt auch die andere, es gibt keinen Streufluss. Dies ist der Idealfall des Transformators.

In der Praxis liegen die Werte zwischen diesen Extremen:

Anordnung	Typischer Kopplungsfaktor $k$
Spulen auf gemeinsamem geschlossenem Eisenkern	$0,95\dots 0,99$
Spulen auf gemeinsamem Kern mit Luftspalt	$0,80\dots 0,95$
Spulen auf getrennten Kernen, eng benachbart	$0,3\dots 0,6$
Luftspulen, eng benachbart	$0,01\dots 0,3$
Induktive Ladestation (Smartphone, E-Fahrzeug)	$0,5\dots 0,9$

Streufluss und Streuinduktivität

Der Anteil des Flusses, der nur eine Spule durchsetzt und nicht zur Kopplung beiträgt, heißt Streufluss. Er bestimmt die Streuinduktivität jeder Spule. Im Ersatzschaltbild des realen Transformators (ET2-09) werden wir die Streuinduktivitäten explizit berücksichtigen.

2.4 Rechenbeispiel: Gegeninduktivität zweier Spulen

Zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern haben die Induktivitäten $L_1=120\mathrm{mH}$ und $L_2=30\mathrm{mH}$. Der Kopplungsfaktor beträgt $k=0,95$.

Gesucht: Die Gegeninduktivität $M$

Lösung:

$$M=k\cdot \sqrt{L_1\cdot L_2}=0,95\cdot \sqrt{120\mathrm{mH}\cdot 30\mathrm{mH}}=0,95\cdot \sqrt{3600\mathrm{m}{\mathrm{H}}^2}=0,95\cdot 60\mathrm{mH}=\underline{57\mathrm{mH}}$$

Die Gegeninduktivität dieses Spulenpaares beträgt also $M=57\mathrm{mH}$. Bei einer Stromänderung von beispielsweise $\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=100A/s$ in Spule 1 wird in Spule 2 eine Spannung von:

$$u_{21}=M\cdot \frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=57\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot 100A/s=\underline{5,7\mathrm{V}}$$

induziert.

Reflexionsfrage

Zwei identische Spulen ($L_1=L_2=L$) sind ideal gekoppelt ($k=1$). Wie groß ist die Gegeninduktivität $M$ im Vergleich zu $L$?

Antwort
Bei k = 1 und L_1 = L_2 = L gilt:

$$M=1\cdot \sqrt{L\cdot L}=L$$

Die Gegeninduktivität ist dann gleich der Einzelinduktivität. Jede Stromänderung in der einen Spule induziert in der anderen exakt die gleiche Spannung wie in sich selbst. Dies ist der theoretische Idealfall – in der Praxis stets $M<L$.

3 Die reale Spule

3.1 Vom idealen zum realen Modell

In den bisherigen Betrachtungen haben wir die Spule als ideales Bauelement behandelt: eine reine Induktivität $L$ ohne Verluste und ohne parasitäre Effekte. Eine ideale Spule speichert Energie ausschließlich im Magnetfeld und gibt sie vollständig wieder ab. Die Impedanz der idealen Spule im Wechselstromkreis ist, wie in ET2-04 hergeleitet, rein imaginär:

$${\underline{Z}}_L=j\omega L$$

In der Praxis weicht das Verhalten einer realen Spule jedoch vom idealen Modell ab. Die Abweichungen haben physikalisch greifbare Ursachen, die wir im Folgenden systematisch untersuchen. Um sie in Berechnungen zu berücksichtigen, entwickeln wir ein Ersatzschaltbild (ESB), das die reale Spule durch eine Kombination idealer Bauelemente nachbildet.

3.2 Kupferwiderstand der Wicklung

Die Wicklung einer Spule besteht aus einem Leiter – in der Regel Kupferdraht – der einen endlichen Widerstand besitzt. Diesen Kupferwiderstand $R_{\mathrm{Cu}}$ haben wir bereits in ET1-04 für einen Leiter der Länge $l$ und des Querschnitts $A$ berechnet:

$$R_{\mathrm{Cu}}={\rho }_{\mathrm{Cu}}\frac{l}{A}$$

Dabei ist:

• ${\rho }_{\mathrm{Cu}}$ der spezifische Widerstand von Kupfer (${\rho }_{\mathrm{Cu}}\approx 0,017\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}$ bei $20°C$)
• $l$ die Gesamtlänge des Wicklungsdrahtes in Metern ($\mathrm{m}$)
• $A$ der Leiterquerschnitt in Quadratmillimetern ($\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$)

Die Drahtlänge einer Spule mit $N$ Windungen ergibt sich aus dem mittleren Windungsumfang multipliziert mit der Windungszahl. Bei einer zylindrischen Spule mit dem mittleren Spulendurchmesser $d_{\mathrm{m}}$ gilt näherungsweise:

$$l\approx N\cdot \pi \cdot d_{\mathrm{m}}$$

Der Kupferwiderstand verursacht Verluste: Fließt der Strom $I$ durch die Wicklung, wird die Verlustleistung $P_{\mathrm{Cu}}=R_{\mathrm{Cu}}\cdot I^2$ in Wärme umgesetzt. Diese Kupferverluste sind bei jeder realen Spule vorhanden – unabhängig davon, ob sie einen Kern besitzt oder nicht.

Im Ersatzschaltbild wird der Kupferwiderstand als ohmscher Widerstand $R_{\mathrm{Cu}}$ in Reihe mit der idealen Induktivität $L$ modelliert, da der gesamte Spulenstrom durch den Wicklungsdraht fließen muss.

Praxishinweis

Bei Hochleistungsinduktivitäten (Drosseln in Schaltnetzteilen, Netzfilter) ist der Kupferwiderstand ein zentrales Auslegungskriterium. Zu hoher Widerstand führt zu unzulässiger Erwärmung. Daher werden für hohe Ströme Leiter mit großem Querschnitt, verdrillte Litzen (HF-Litze) oder sogar flache Kupferbänder eingesetzt.

3.3 Parasitäre Kapazität

Zwischen benachbarten Windungen der Spule besteht eine Potenzialdifferenz, da die Spannung über der Spule von Windung zu Windung zunimmt. Jedes Windungspaar bildet mit der dazwischenliegenden Isolierung einen kleinen Kondensator. Die Summe all dieser verteilten Einzelkapazitäten wird zu einer einzigen parasitären Kapazität $C_P$ (auch: Wicklungskapazität, engl. stray capacitance) zusammengefasst.

Diese parasitäre Kapazität ist keine beabsichtigte Eigenschaft der Spule, sondern eine unvermeidliche Folge ihres physikalischen Aufbaus. Im Ersatzschaltbild wird $C_P$ parallel zur Reihenschaltung aus $R_{\mathrm{Cu}}$ und $L$ modelliert, da die kapazitiven Verschiebungsströme zwischen den Windungen einen Pfad parallel zum induktiven Strom bilden.

Die parasitäre Kapazität hat bei niedrigen Frequenzen kaum Einfluss – dort dominiert das induktive Verhalten der Spule. Mit steigender Frequenz sinkt jedoch der kapazitive Blindwiderstand $X_C=\frac{1}{\omega C_P}$, und der Strom durch die parasitäre Kapazität nimmt zu. Bei einer bestimmten Frequenz – der Eigenresonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}$ – kompensieren sich der induktive und der kapazitive Blindwiderstand:

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C_P}}$$

Dabei ist:

• $f_{\mathrm{res}}$ die Eigenresonanzfrequenz in Hertz ($\mathrm{Hz}$)
• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $C_P$ die parasitäre Kapazität in Farad ($\mathrm{F}$)

Oberhalb dieser Eigenresonanzfrequenz verhält sich die Spule nicht mehr induktiv, sondern kapazitiv – sie „hört auf, eine Spule zu sein”.

(Quelle: Wikimedia Commons, Ea91b3dd, CC BY-SA 3.0)

Eigenresonanz beachten!

Bei der Dimensionierung von Spulen für Filterschaltungen, Schwingkreise oder EMV-Maßnahmen muss die Eigenresonanzfrequenz weit oberhalb der Betriebsfrequenz liegen. Andernfalls zeigt die Spule unerwartetes kapazitives Verhalten, und die Schaltung funktioniert nicht wie berechnet.

3.4 Eisenverluste bei Spulen mit ferromagnetischem Kern

Viele Spulen besitzen einen Kern aus ferromagnetischem Material (z. B. Eisen, Ferrit), um die Induktivität zu erhöhen – das haben wir in ET1-09 im Zusammenhang mit der relativen Permeabilität ${\mu }_r$ gesehen. Dieser Kern bringt jedoch zusätzliche Verluste mit sich, die wir als Eisenverluste $P_{\mathrm{Fe}}$ bezeichnen. Sie setzen sich aus zwei Anteilen zusammen.

Wirbelstromverluste

Ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluss induziert nicht nur in der Spulenwicklung eine Spannung, sondern auch im elektrisch leitfähigen Kernmaterial selbst. Dort fließen kreisförmige Ströme – die Wirbelströme (eddy currents) –, die nach dem Ohmschen Gesetz Verlustleistung erzeugen. Die Wirbelstromverluste sind proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Flussdichteamplitude:

$$P_{\mathrm{W}}\propto f^2\cdot {\hat{B}}^2$$

Um Wirbelströme zu reduzieren, wird der Eisenkern nicht massiv ausgeführt, sondern aus dünnen, voneinander isolierten Blechen geschichtet. Jede Isolationsschicht unterbricht die Wirbelstrompfade und begrenzt die Ausdehnung der induzierten Ströme.

Alltagsbeispiel

Wenn Sie einen Netztransformator in der Hand halten und von der Seite betrachten, erkennen Sie die einzelnen Blechlamellen des Kerns. Die dünnen Isolationsschichten (Lack oder Oxidschicht) zwischen den Blechen sind der Grund für diese Bauweise – sie sind der Preis für geringere Wirbelstromverluste.

Hystereseverluste

Beim zyklischen Ummagnetisieren eines ferromagnetischen Kerns – wie es bei Wechselstrombetrieb in jeder Periode geschieht – durchläuft die Magnetisierung die Hystereseschleife, die wir in ET1-09 kennengelernt haben. Die Fläche der Hystereseschleife im $B$-$H$-Diagramm entspricht der pro Ummagnetisierungszyklus in Wärme umgesetzten Energiedichte. Pro Volumeneinheit und Zeiteinheit ergibt sich daraus eine Verlustleistungsdichte.

Die Hystereseverluste werden häufig durch die Steinmetz-Gleichung beschrieben:

$$P_{\mathrm{Hyst}}=k_H\cdot f\cdot {\hat{B}}^n\cdot V_{\mathrm{Fe}}$$

Dabei ist:

• $P_{\mathrm{Hyst}}$ die Hystereseverlustleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $k_H$ ein materialabhängiger Koeffizient (Steinmetz-Koeffizient)
• $f$ die Frequenz in Hertz ($\mathrm{Hz}$)
• $\hat{B}$ die Amplitude der magnetischen Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)
• $n$ der Steinmetz-Exponent, typisch $n\approx 1,6\dots 2,0$ (materialabhängig)
• $V_{\mathrm{Fe}}$ das Kernvolumen in Kubikmetern (${\mathrm{m}}^3$)

Hintergrund: Charles Proteus Steinmetz

Charles Proteus Steinmetz (1865–1923), geboren als Karl August Rudolf Steinmetz in Breslau, emigrierte 1889 in die USA und wurde einer der bedeutendsten Elektroingenieure seiner Zeit. Er arbeitete bei General Electric und leistete Pionierarbeit in der Wechselstromtechnik. Die nach ihm benannte Steinmetz-Gleichung ermöglicht die ingenieurmäßige Berechnung von Hystereseverlusten, ohne die Hysteresekurve im Detail zu kennen – eine für die Praxis enorm wichtige Vereinfachung.

Gesamte Eisenverluste

Die gesamten Eisenverluste sind die Summe aus Wirbelstrom- und Hystereseverlusten:

$$P_{\mathrm{Fe}}=P_{\mathrm{W}}+P_{\mathrm{Hyst}}$$

Im Ersatzschaltbild werden die Eisenverluste durch einen Widerstand $R_{\mathrm{Fe}}$ parallel zur Induktivität $L$ modelliert. Die Parallelschaltung ist physikalisch begründet: Die Eisenverluste hängen vom magnetischen Fluss im Kern ab, der wiederum von der Spannung über der Induktivität bestimmt wird. Die Verlustleistung im Widerstand $R_{\mathrm{Fe}}$ repräsentiert die im Kern dissipierte Leistung:

$$P_{\mathrm{Fe}}=\frac{U_L^2}{R_{\mathrm{Fe}}}$$

Warum R_\mathrm{Fe} parallel?

Im Gegensatz zum Kupferwiderstand, der den gesamten Strom durch die Spule „sieht” und daher in Reihe liegt, hängen die Eisenverluste von der Spannung über der Induktivität ab (da sie durch den sich ändernden Fluss verursacht werden). Ein Parallelwiderstand modelliert genau dieses Verhalten: Sein Strom (und damit seine Verlustleistung) wird durch die anliegende Spannung bestimmt.

3.5 Ersatzschaltbild der realen Spule

Alle beschriebenen Effekte lassen sich in einem einzigen Ersatzschaltbild zusammenfassen:

(Quelle: Wikimedia Commons, Public Domain)

Das vollständige Ersatzschaltbild der realen Spule besteht aus:

1. $R_{\mathrm{Cu}}$ (in Reihe): Kupferwiderstand der Wicklung – modelliert die ohmschen Verluste im Leiter.
2. $L$ (parallel zu $R_{\mathrm{Fe}}$ und $C_P$): Ideale Induktivität – modelliert die Energiespeicherung im Magnetfeld.
3. $R_{\mathrm{Fe}}$ (parallel zu $L$): Eisenverlustwiderstand – modelliert die Wirbelstrom- und Hystereseverluste im Kern. Dieser Widerstand entfällt bei Luftspulen.
4. $C_P$ (parallel zu $L$ und $R_{\mathrm{Fe}}$): Parasitäre Kapazität – modelliert die kapazitive Kopplung zwischen den Windungen.

Zusammenfassung: Ersatzschaltbild

Die Gesamtimpedanz einer realen Eisenkernspule lässt sich aus dem ESB ableiten. Im einfachsten Fall (ohne $C_P$, bei niedrigen Frequenzen) ergibt sich die Reihenschaltung von $R_{\mathrm{Cu}}$ und $L$ parallel zu $R_{\mathrm{Fe}}$. Für viele Berechnungen im Frequenzbereich $f\ll f_{\mathrm{res}}$ genügt das vereinfachte Modell:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{Spule}}\approx R_{\mathrm{Cu}}+j\omega L$$

Dabei werden $R_{\mathrm{Fe}}$ (dominiert erst bei höheren Frequenzen und starker Aussteuerung) und $C_P$ (dominiert erst nahe der Eigenresonanz) vernachlässigt.

Rechenbeispiel: Impedanz einer realen Spule

Eine Eisenkernspule hat die folgenden Kennwerte: $L=100\mathrm{mH}$, $R_{\mathrm{Cu}}=5,0\Omega$, $R_{\mathrm{Fe}}=10\mathrm{k\Omega }$, $C_P=20\mathrm{pF}$.

Gesucht: Die Impedanz bei der Netzfrequenz $f=50\mathrm{Hz}$ im vereinfachten Modell ($C_P$ vernachlässigt)

Lösung:

Die Kreisfrequenz beträgt:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=314,2{\mathrm{s}}^{-1}$$

Der induktive Blindwiderstand:

$$X_L=\omega L=314,2{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 100\cdot 10^{-3}\mathrm{H}=31,4\Omega$$

Im vereinfachten Modell ($R_{\mathrm{Fe}}\gg X_L$, daher $R_{\mathrm{Fe}}$ vernachlässigbar):

$${\underline{Z}}_{\mathrm{Spule}}\approx R_{\mathrm{Cu}}+j{X}_L=5,0\Omega +j\cdot 31,4\Omega$$

Der Betrag der Impedanz:

$$|{\underline{Z}}_{\mathrm{Spule}}|=\sqrt{R_{\mathrm{Cu}}^2+X_L^2}=\sqrt{(5,0{)}^2+(31,4{)}^2}\Omega =\underline{31,8\Omega }$$

Die Eigenresonanzfrequenz liegt bei:

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L\cdot C_P}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{100\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot 20\cdot 10^{-12}\mathrm{F}}}\approx \underline{113\mathrm{kHz}}$$

Da $f=50\mathrm{Hz}\ll f_{\mathrm{res}}=113\mathrm{kHz}$, ist die Vernachlässigung von $C_P$ bei Netzfrequenz gerechtfertigt.

Reflexionsfrage

Warum liegt $R_{\mathrm{Fe}}$ parallel zur Induktivität, der Kupferwiderstand $R_{\mathrm{Cu}}$ aber in Reihe?

Antwort
Der Kupferwiderstand wird vom gesamten Spulenstrom durchflossen – jede Ladung, die durch die Spule fließt, muss den Wicklungsdraht passieren. Daher liegt R_\mathrm{Cu} in Reihe.
Die Eisenverluste hingegen werden durch die Spannung über der Induktivität (also die Flussänderung im Kern) getrieben, nicht durch den Spulenstrom direkt. Ein Parallelwiderstand modelliert genau diese spannungsgesteuerte Verlustleistung: P_\mathrm{Fe} = U_L^2 / R_\mathrm{Fe}.

4 Energiespeicherung im Magnetfeld

4.1 Herleitung der gespeicherten Energie

Eine stromdurchflossene Spule speichert Energie in ihrem Magnetfeld. Um diese Energie zu berechnen, betrachten wir den Aufbauvorgang: Wird der Strom durch die Spule von null auf den Endwert $I$ erhöht, muss gegen die Selbstinduktionsspannung $u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ Arbeit verrichtet werden. Die momentan zugeführte Leistung beträgt:

$$p(t)=u_L(t)\cdot i(t)=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\cdot i(t)$$

Die insgesamt gespeicherte Energie ergibt sich durch Integration über die Zeit vom Anfangswert $i=0$ bis zum Endwert $i=I$:

$$E_L={\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{I}L\cdot i\mathrm{d}i=L{\int }_0^{I}i\mathrm{d}i=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Herleitung im Detail

$$E_L={\int }_0^{T}L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\cdot i\mathrm{d}t$$

Mit der Substitution $\mathrm{d}i=\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ wird das Zeitintegral zum Stromintegral:

$$E_L=L{\int }_0^{I}i\mathrm{d}i=L{\left[\frac{i^2}{2}\right]}_0^I=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Diese Herleitung ist völlig analog zur Energiespeicherung im Kondensator $E_C=\frac{1}{2}C{U}^2$, die wir aus ET1 kennen. Dort wurde gegen das elektrische Feld Arbeit verrichtet, hier gegen das Magnetfeld.

Die im Magnetfeld einer Spule gespeicherte Energie beträgt:

$$E_L=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Dabei ist:

• $E_L$ die gespeicherte Energie in Joule ($\mathrm{J}$)
• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $I$ die Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Analogie: Induktivität und Kapazität als Energiespeicher

Eigenschaft	Induktivität	Kapazität
Gespeicherte Energie	$E_L=\frac{1}{2}L{I}^2$	$E_C=\frac{1}{2}C{U}^2$
Zustandsgröße	Strom $I$	Spannung $U$
Speicherort	Magnetfeld	Elektrisches Feld
Einheit der Speichergröße	Henry ($\mathrm{H}$)	Farad ($\mathrm{F}$)

4.2 Rechenbeispiel: Energie im Magnetfeld eines Kran-Elektromagneten

Ein Lasthebemagnet (Kran-Elektromagnet) zum Heben von Stahlplatten hat eine Induktivität von $L=15\mathrm{H}$ und wird mit einem Gleichstrom von $I=8,0\mathrm{A}$ betrieben.

Gesucht: Die im Magnetfeld gespeicherte Energie

Lösung:

$$E_L=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\cdot 15\mathrm{H}\cdot (8,0\mathrm{A}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 64\mathrm{J}=\underline{480\mathrm{J}}$$

Diese Energie von $480\mathrm{J}$ ist im Magnetfeld des Elektromagneten gespeichert. Zum Vergleich: Die potenzielle Energie einer Stahlplatte der Masse $m=500\mathrm{kg}$ in einer Höhe von $h=0,1\mathrm{m}$ beträgt $E_{\mathrm{pot}}=mgh\approx 490\mathrm{J}$ – eine ähnliche Größenordnung. Beim Abschalten des Magneten muss die gespeicherte magnetische Energie kontrolliert abgebaut werden; andernfalls entstehen gefährliche Spannungsspitzen.

Abschaltspannung bei Induktivitäten

Wird der Strom durch eine Induktivität abrupt unterbrochen (z. B. durch Öffnen eines Schalters), strebt $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\to -\infty$. Die Selbstinduktionsspannung $u_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ kann dadurch sehr hohe Werte annehmen – bei Kran-Elektromagneten oder großen Schützen durchaus mehrere Kilovolt. Diese Spannungsspitzen können Isolationen durchschlagen, Halbleiterbauelemente zerstören oder Lichtbögen an Schaltkontakten erzeugen. Schutzmaßnahmen (Freilaufdiode, Varistor, Schutzbeschaltung) sind daher bei geschalteten Induktivitäten Pflicht.

5 LR-Schaltung – Sprungantwort und Zeitkonstante

5.1 Einschalten einer LR-Reihenschaltung

Die Sprungantwort einer LR-Reihenschaltung beschreibt, wie der Strom auf das plötzliche Anlegen einer Gleichspannung reagiert. Dieses Verhalten ist für viele praktische Anwendungen zentral – vom Einschalten eines Relais bis zur Ansteuerung eines Elektromagneten.

Betrachten wir eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand $R$ und einer idealen Induktivität $L$, die zum Zeitpunkt $t=0$ an eine Gleichspannung $U$ angeschlossen wird. Der Maschenansatz nach Kirchhoff ergibt:

$$U=u_R(t)+u_L(t)=R\cdot i(t)+L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$$

Diese gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreibt den Einschaltvorgang vollständig.

Lösung der Differentialgleichung

Wir lösen die Differentialgleichung $U=R\cdot i+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ mit der Anfangsbedingung $i(0)=0$ (die Spule war vor dem Einschalten stromlos).

Schritt 1: Separation der Variablen

$$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=U-Ri$$ $$\frac{\mathrm{d}i}{U-Ri}=\frac{1}{L}\mathrm{d}t$$

Schritt 2: Integration beider Seiten

$${\int }_0^{i(t)}\frac{\mathrm{d}{i}^{\prime }}{U-R{i}^{\prime }}={\int }_0^t\frac{1}{L}\mathrm{d}{t}^{\prime }$$ $$-\frac{1}{R}\ln \left(\frac{U-Ri(t)}{U}\right)=\frac{t}{L}$$

Schritt 3: Auflösen nach $i(t)$

$$\frac{U-Ri(t)}{U}=e^{-\frac{R}{L}t}$$ $$i(t)=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$$

Mit der Abkürzung $\tau =\frac{L}{R}$:

$$i(t)=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung $i(0)=0$ lautet:

$$\boxed{i(t)=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)}\text{mit}\tau =\frac{L}{R}$$

Dabei ist:

• $i(t)$ der zeitliche Verlauf der Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $U$ die angelegte Gleichspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $R$ der ohmsche Widerstand in Ohm ($\Omega$)
• $\tau$ die Zeitkonstante in Sekunden ($\mathrm{s}$)
• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)

(Quelle: Wikimedia Commons, Ea91b3dd, CC BY-SA 3.0)

(Quelle: Wikimedia Commons, CC0 / Public Domain)

5.2 Bedeutung der Zeitkonstante

Die Zeitkonstante $\tau =\frac{L}{R}$ ist die zentrale Kenngröße des Ein- und Ausschaltverhaltens einer LR-Schaltung. Sie gibt an, wie schnell der Strom seinen stationären Endwert erreicht:

Zeitpunkt	Strom $i(t)$	Anteil des Endwertes
$t=\tau$	$\frac{U}{R}(1-e^{-1})\approx 0,632\cdot \frac{U}{R}$	$63,2\%$
$t=2\tau$	$\frac{U}{R}(1-e^{-2})\approx 0,865\cdot \frac{U}{R}$	$86,5\%$
$t=3\tau$	$\frac{U}{R}(1-e^{-3})\approx 0,950\cdot \frac{U}{R}$	$95,0\%$
$t=5\tau$	$\frac{U}{R}(1-e^{-5})\approx 0,993\cdot \frac{U}{R}$	$99,3\%$

Als Faustregel gilt: Nach $5\tau$ hat der Strom praktisch seinen Endwert erreicht. Der Einschaltvorgang ist dann abgeschlossen.

Vergleich mit RC-Glied

Die LR-Zeitkonstante $\tau =\frac{L}{R}$ verhält sich invers zur RC-Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$:

• RC: Ein größerer Widerstand $R$ verlangsamt das Laden (langsamer Stromfluss zum Kondensator).
• LR: Ein größerer Widerstand $R$ beschleunigt das Erreichen des Endwerts (die Spannung $u_L$ wird schneller abgebaut, der stationäre Strom $U/R$ ist kleiner).

In beiden Fällen gilt: $\tau$ hat die Dimension einer Zeit ($\mathrm{s}$).

5.3 Spannungsverläufe beim Einschalten

Aus dem Stromverlauf $i(t)$ lassen sich die Spannungsverläufe an $R$ und $L$ direkt ableiten:

Spannung am Widerstand:

$$u_R(t)=R\cdot i(t)=U\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Die Spannung am Widerstand steigt mit dem Strom – im stationären Zustand ($t\to \infty$) fällt die gesamte Spannung am Widerstand ab: $u_R=U$.

Spannung an der Induktivität:

$$u_L(t)=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=U\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Die Spannung an der Induktivität springt zum Zeitpunkt $t=0$ auf den vollen Wert $U$ und klingt dann exponentiell auf null ab. Im stationären Zustand fließt ein konstanter Strom, und die Induktivität wirkt wie ein Kurzschluss.

Physikalische Deutung

Im Moment des Einschaltens „sieht” die Induktivität die gesamte Spannung, weil sie jede Stromänderung zunächst „blockiert” (Lenzsche Regel). Mit der Zeit baut sich der Strom auf, immer mehr Spannung fällt am Widerstand ab, und die treibende Kraft für weiteren Stromanstieg nimmt ab. Der Vorgang klingt daher exponentiell ab – wie ein Radfahrer, der auf ebener Strecke beschleunigt und dessen Antriebskraft mit zunehmender Geschwindigkeit durch den Luftwiderstand aufgezehrt wird.

5.4 Ausschalten einer LR-Reihenschaltung

Wird die Spannungsquelle zum Zeitpunkt $t=0$ abgetrennt und ein Freilaufpfad (z. B. über eine Freilaufdiode oder den ohmschen Widerstand $R$) bereitgestellt, klingt der Strom exponentiell ab:

$$i(t)=I_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}\text{mit}\tau =\frac{L}{R}$$

Dabei ist $I_0=\frac{U}{R}$ der Strom unmittelbar vor dem Abschalten. Die Zeitkonstante $\tau$ ist dieselbe wie beim Einschalten. Die im Magnetfeld gespeicherte Energie wird im Widerstand $R$ in Wärme umgesetzt.

5.5 Rechenbeispiel: Einschaltvorgang eines Gleichstrom-Relais

Ein Gleichstrom-Relais hat eine Spuleninduktivität von $L=50\mathrm{mH}$ und einen Wicklungswiderstand von $R=250\Omega$. Es wird an eine Gleichspannung von $U=24\mathrm{V}$ angeschlossen.

Gesucht:
a) Die Zeitkonstante $\tau$
b) Der stationäre Endstrom $I_{\infty }$
c) Der Strom nach $t=0,1\mathrm{ms}$
d) Die Zeit, bis $95\%$ des Endstroms erreicht sind
e) Die im Magnetfeld gespeicherte Energie im stationären Zustand

Lösung:

Zu a):

$$\tau =\frac{L}{R}=\frac{50\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}{250\Omega }=\underline{0,2\mathrm{ms}}$$

Zu b):

$$I_{\infty }=\frac{U}{R}=\frac{24\mathrm{V}}{250\Omega }=\underline{96\mathrm{mA}}$$

Zu c):

$$i(0,1\mathrm{ms})=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)=96\mathrm{mA}\cdot \left(1-e^{-\frac{0,1}{0,2}}\right)=96\mathrm{mA}\cdot (1-e^{-0,5})=96\mathrm{mA}\cdot 0,3935=\underline{37,8\mathrm{mA}}$$

Zu d):
Der Strom hat $95\%$ seines Endwertes erreicht, wenn $1-e^{-t/\tau }=0,95$, also $e^{-t/\tau }=0,05$:

$$t=-\tau \cdot \ln (0,05)=-0,2\mathrm{ms}\cdot (-3,0)=\underline{0,6\mathrm{ms}}=3\tau$$

Das Relais benötigt also nur $0,6\mathrm{ms}$ bzw. $3\tau$ bis zum Erreichen von $95\%$ des Endstroms. Bei einem mechanischen Relais bestimmt allerdings nicht allein der elektrische Einschaltvorgang die Schaltzeit – die Trägheit des Ankers und der Kontakte kommt hinzu.

Zu e):

$$E_L=\frac{1}{2}L{I}_{\infty }^2=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot (96\cdot 10^{-3}\mathrm{A}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 10^{-3}\cdot 9,22\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=\underline{0,23\mathrm{mJ}}$$

Praktikumsbezug

Im Praktikum 3 werden Sie die LR-Sprungantwort einer realen Spule am Oszilloskop aufnehmen und die Zeitkonstante $\tau$ aus der Messkurve bestimmen. Aus $\tau$ und dem bekannten Widerstand $R$ lässt sich dann die Induktivität $L=\tau \cdot R$ experimentell ermitteln. Außerdem werden Sie das Ersatzschaltbild der realen Spule durch Messungen bei verschiedenen Frequenzen verifizieren.

5.6 Zusammenfassung der LR-Schaltung

Größe	Einschalten	Ausschalten
Strom $i(t)$	$\frac{U}{R}(1-e^{-t/\tau })$	$I_0\cdot e^{-t/\tau }$
Spannung $u_R(t)$	$U(1-e^{-t/\tau })$	$R\cdot I_0\cdot e^{-t/\tau }$
Spannung $u_L(t)$	$U\cdot e^{-t/\tau }$	$-R\cdot I_0\cdot e^{-t/\tau }$
Zeitkonstante	$\tau =L/R$	$\tau =L/R$
Stationärer Endwert	$i=U/R$, $u_L=0$	$i=0$, $u_L=0$

Häufiger Fehler

Die Zeitkonstante $\tau =L/R$ wird gelegentlich mit der RC-Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$ verwechselt oder fälschlicherweise als $\tau =L\cdot R$ angesetzt. Prüfen Sie stets die Einheit: $\frac{L}{R}=\frac{\mathrm{H}}{\Omega }=\frac{\mathrm{V}\cdot s/A}{V/A}=\mathrm{s}$ – das Ergebnis muss die Dimension einer Zeit haben.

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET2-08.01 – Gegeninduktivität und Kopplungsfaktor
Übung ET2-08.02 – Ersatzschaltbild reale Spule
Übung ET2-08.03 – Energiespeicherung im Magnetfeld
Übung ET2-08.04 – LR-Schaltung Einschaltvorgang
Übung ET2-08.05 – LR-Schaltung Ausschaltvorgang

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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