Übung ET1-09.04 — RL-Modell Magnetventil

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-24)

Bezug zu ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität

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Aufgabe

Die Spule eines Magnetventils in einer mechatronischen Steuerung wird näherungsweise als Reihenschaltung aus Induktivität und Wicklungswiderstand modelliert (RL-Glied). Sie wird an einer $24\mathrm{V}$-Gleichspannungsversorgung betrieben.

Gegeben:

• Induktivität: $L=45\mathrm{mH}$
• Wicklungswiderstand: $R=15\Omega$
• Versorgungsspannung: $U_0=24\mathrm{V}$
• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}$ (hier nur der Vollständigkeit halber)
• natürlicher Logarithmus: $\ln (10)\approx 2,30$

a) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau$ der RL-Schaltung und den Endstrom $I_{\mathrm{end}}$ im eingeschwungenen Zustand.

b) Geben Sie die Zeitfunktionen des Spulenstroms $i_L(t)$ und der Spulenspannung $u_L(t)$ für den Einschaltvorgang bei einem Spannungssprung von $0$ auf $U_0$ an. Berechnen Sie die Werte von $i_L(t)$ und $u_L(t)$ für

• $t=\tau$
• $t=3\tau$.

c) Berechnen Sie die im stationären Zustand in der Spule gespeicherte magnetische Energie $W=\frac{1}{2}L{I}_{\mathrm{end}}^2$.

d) Beim Abschalten wird die Spule über einen Freilaufwiderstand $R_F=100\Omega$ entladen. Der Wicklungswiderstand $R$ soll dabei vernachlässigt werden. Bestimmen Sie

• die maximale Abschaltspannung $u_{\max }$ an der Spule direkt nach dem Abschalten und
• die Zeit $t_{0,1}$, bis der Spulenstrom auf $10\%$ seines Anfangswerts abgefallen ist.

e) Erläutern Sie kurz, warum ohne Freilaufpfad sehr hohe Selbstinduktionsspannungen entstehen können und nennen Sie zwei typische Schutzmaßnahmen in der Leistungselektronik.

Lösung

a) $\tau =3,0\mathrm{ms}$, $I_{\mathrm{end}}=1,6\mathrm{A}$
b) $i_L(\tau )\approx 1,01\mathrm{A}$, $u_L(\tau )\approx 8,8\mathrm{V}$;
    $i_L(3\tau )\approx 1,52\mathrm{A}$, $u_L(3\tau )\approx 1,2\mathrm{V}$
c) $W\approx 5,76\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$
d) $u_{\max }\approx 160\mathrm{V}$, $t_{0,1}\approx 1,0\mathrm{ms}$
e) …

▶️ Vollständiger Lösungsweg