Übung ET1-09.04 — RL-Modell Magnetventil (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-24)

Bezug zu ET1-09 Magnetisches Feld und Induktivität

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Aufgabe

Die Spule eines Magnetventils in einer mechatronischen Steuerung wird näherungsweise als Reihenschaltung aus Induktivität und Wicklungswiderstand modelliert (RL-Glied). Sie wird an einer $24\mathrm{V}$-Gleichspannungsversorgung betrieben.

Gegeben:

• Induktivität: $L=45\mathrm{mH}$
• Wicklungswiderstand: $R=15\Omega$
• Versorgungsspannung: $U_0=24\mathrm{V}$
• magnetische Feldkonstante: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}}$ (hier nur der Vollständigkeit halber)
• natürlicher Logarithmus: $\ln (10)\approx 2,30$

a) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau$ der RL-Schaltung und den Endstrom $I_{\mathrm{end}}$ im eingeschwungenen Zustand.

b) Geben Sie die Zeitfunktionen des Spulenstroms $i_L(t)$ und der Spulenspannung $u_L(t)$ für den Einschaltvorgang bei einem Spannungssprung von $0$ auf $U_0$ an. Berechnen Sie die Werte von $i_L(t)$ und $u_L(t)$ für

• $t=\tau$
• $t=3\tau$.

c) Berechnen Sie die im stationären Zustand in der Spule gespeicherte magnetische Energie $W=\frac{1}{2}L{I}_{\mathrm{end}}^2$.

d) Beim Abschalten wird die Spule über einen Freilaufwiderstand $R_F=100\Omega$ entladen. Der Wicklungswiderstand $R$ soll dabei vernachlässigt werden. Bestimmen Sie

• die maximale Abschaltspannung $u_{\max }$ an der Spule direkt nach dem Abschalten und
• die Zeit $t_{0,1}$, bis der Spulenstrom auf $10\%$ seines Anfangswerts abgefallen ist.

e) Erläutern Sie kurz, warum ohne Freilaufpfad sehr hohe Selbstinduktionsspannungen entstehen können und nennen Sie zwei typische Schutzmaßnahmen in der Leistungselektronik.

Lösung

a) $\tau =3,0\mathrm{ms}$, $I_{\mathrm{end}}=1,6\mathrm{A}$
b) $i_L(\tau )\approx 1,01\mathrm{A}$, $u_L(\tau )\approx 8,8\mathrm{V}$;
    $i_L(3\tau )\approx 1,52\mathrm{A}$, $u_L(3\tau )\approx 1,2\mathrm{V}$
c) $W\approx 5,76\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$
d) $u_{\max }\approx 160\mathrm{V}$, $t_{0,1}\approx 1,0\mathrm{ms}$
e) …

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

a) Zeitkonstante und Endstrom

Gegeben:

• $L=45\mathrm{mH}=45\cdot 10^{-3}\mathrm{H}$
• $R=15\Omega$
• $U_0=24\mathrm{V}$

Die Zeitkonstante eines RL-Gliedes lautet:

$$\tau =\frac{L}{R}$$

Einsetzen:

$$\tau =\frac{45\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}{15\Omega }=\frac{45\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}}}{15\Omega }=3,0\cdot 10^{-3}\mathrm{s}=3,0\mathrm{ms}$$

Der Endstrom (eingeschwungener Zustand) bei angelegter Gleichspannung ist:

$$I_{\mathrm{end}}=\frac{U_0}{R}=\frac{24\mathrm{V}}{15\Omega }=1,6\mathrm{A}$$

Ergebnis:

• $\tau =3,0\mathrm{ms}$
• $I_{\mathrm{end}}=1,6\mathrm{A}$

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b) Zeitverläufe von Strom und Spannung

Beim Einschalten (Sprung von $0$ auf $U_0$) gilt für den Strom durch die Induktivität:

$$i_L(t)=I_{\mathrm{end}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Die Spannung an der Induktivität ergibt sich aus:

$$u_L(t)=L\cdot \frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}=U_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}$$

(Alternative Sicht: In der Reihenschaltung $U_0=u_R(t)+u_L(t)$ und $u_R(t)=R\cdot i_L(t)$.)

Werte zum Zeitpunkt $t=\tau$

Strom:

$$i_L(\tau )=I_{\mathrm{end}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)=1,6\mathrm{A}\cdot \left(1-0,3679\right)\approx 1,6\mathrm{A}\cdot 0,6321\approx 1,01\mathrm{A}$$

Spannung an der Induktivität:

$$u_L(\tau )=U_0\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=24\mathrm{V}\cdot 0,3679\approx 8,83\mathrm{V}$$

Werte zum Zeitpunkt $t=3\tau$

Strom:

$$i_L(3\tau )=I_{\mathrm{end}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-3}\right)=1,6\mathrm{A}\cdot \left(1-0,0498\right)\approx 1,6\mathrm{A}\cdot 0,9502\approx 1,52\mathrm{A}$$

Spannung an der Induktivität:

$$u_L(3\tau )=U_0\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=24\mathrm{V}\cdot 0,0498\approx 1,20\mathrm{V}$$

Ergebnis (gerundet):

• $i_L(\tau )\approx 1,01\mathrm{A}$, $u_L(\tau )\approx 8,8\mathrm{V}$
• $i_L(3\tau )\approx 1,52\mathrm{A}$, $u_L(3\tau )\approx 1,2\mathrm{V}$

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c) Gespeicherte magnetische Energie

Die im magnetischen Feld einer Induktivität gespeicherte Energie ist:

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Im stationären Zustand fließt $I=I_{\mathrm{end}}=1,6\mathrm{A}$.

Einsetzen:

$$W=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot (1,6\mathrm{A}{)}^2=0,5\cdot 45\cdot 10^{-3}\cdot 2,56\mathrm{J}$$ $$W=22,5\cdot 10^{-3}\cdot 2,56\mathrm{J}\approx 57,6\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=5,76\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$$

Ergebnis:

$$W\approx 5,76\cdot 10^{-2}\mathrm{J}$$

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d) Abschalten über Freilaufwiderstand

Beim Abschalten wird der Strompfad über den Freilaufwiderstand $R_F$ geschlossen. Beim Entladen über $R_F$ wird der Wicklungswiderstand $R$ gegenüber $R_F$ vernachlässigt ($R_{ges}\approx R_F$).

Gegeben:

• $R_F=100\Omega$
• $L=45\mathrm{mH}$
• Anfangsstrom beim Abschalten: $I_0=I_{\mathrm{end}}=1,6\mathrm{A}$

Die Zeitkonstante des Entladens lautet:

$${\tau }_{\mathrm{ab}}=\frac{L}{R_F}=\frac{45\cdot 10^{-3}\mathrm{H}}{100\Omega }=4,5\cdot 10^{-4}\mathrm{s}=0,45\mathrm{ms}$$

Maximale Abschaltspannung

Unmittelbar nach dem Abschalten ist der Strom durch die Induktivität noch $I_0$, und dieser Strom fließt durch den Freilaufwiderstand. Die maximale Spannung im Abschaltmoment ist:

$$u_{\max }\approx I_0\cdot R_F=1,6\mathrm{A}\cdot 100\Omega =160\mathrm{V}$$

Zeit bis auf $10\%$ des Anfangsstroms

Der Stromverlauf beim Abschalten (rein über $R_F$) lautet:

$$i_L(t)=I_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_{\mathrm{ab}}}}$$

Gesucht ist die Zeit $t_{0,1}$ mit $i_L(t_{0,1})=0,1\cdot I_0$:

$$0,1\cdot I_0=I_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{t_{0,1}}{{\tau }_{\mathrm{ab}}}}\Rightarrow 0,1={\mathrm{e}}^{-\frac{t_{0,1}}{{\tau }_{\mathrm{ab}}}}$$

Logarithmieren:

$$-\frac{t_{0,1}}{{\tau }_{\mathrm{ab}}}=\ln (0,1)=-\ln (10)\Rightarrow t_{0,1}={\tau }_{\mathrm{ab}}\cdot \ln (10)$$

Einsetzen:

$$t_{0,1}=0,45\mathrm{ms}\cdot 2,30\approx 1,04\mathrm{ms}$$

Ergebnis:

• $u_{\max }\approx 160\mathrm{V}$
• $t_{0,1}\approx 1,0\mathrm{ms}$

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e) Hohe Selbstinduktionsspannungen und Schutzmaßnahmen

Beim schnellen Abschalten eines induktiven Stromes gilt:

• Die Induktivität „wehrt sich“ gegen schnelle Stromänderungen ($u_L=L\cdot \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$).
• Wird der Strompfad plötzlich unterbrochen (kein Freilaufpfad), wird $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ sehr groß, sodass die Induktivität an ihren Anschlüssen eine hohe Spannung erzeugt, um den Stromfluss aufrechtzuerhalten.
• Diese Spannung kann die Isolationsfestigkeit von Bauteilen und Schaltern überschreiten und zu Lichtbögen, Störungen oder Zerstörung von Halbleitern führen.

Typische Schutzmaßnahmen:

• Freilaufdiode (bei rein ohmscher Last in Gleichstromanwendungen): begrenzt die Abschaltspannung auf etwa die Durchlassspannung der Diode, verlangsamt aber die Stromabklingzeit.
• Freilaufwiderstand oder RC-Schaltung: erlaubt eine höhere, aber kontrollierte Abschaltspannung und damit schnelleren Stromabfall, z. B. bei Magnetventilen oder Relais.
• Suppressor- oder Zenerdioden: begrenzen die Spannung auf einen definierten Maximalwert und schützen so empfindliche Halbleiterschalter (Transistoren, MOSFETs).

Kompromiss gesucht

In mechatronischen Systemen muss je nach Anwendung ein Kompromiss zwischen Bauteilschutz (begrenzte Spannung) und Schaltgeschwindigkeit (schnelle Stromänderung, kurzes Ausschaltverzugsverhalten) gefunden werden.