ET2-07 Magnetischer Kreis

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Wie lassen sich magnetische Kreise systematisch berechnen?
• Welche Analogie besteht zwischen elektrischem und magnetischem Kreis?
• Wie wirkt sich ein Luftspalt auf den magnetischen Kreis aus?
• Warum verhalten sich ferromagnetische Materialien nichtlinear und was bedeutet das für die Praxis?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie berechnen den magnetischen Widerstand für Kern- und Luftspaltabschnitte.
• Sie wenden den Durchflutungssatz auf magnetische Kreise mit mehreren Abschnitten an.
• Sie nutzen die Analogie zum elektrischen Kreis, um magnetische Kreise systematisch zu analysieren.
• Sie berücksichtigen die Nichtlinearität ferromagnetischer Materialien anhand der B-H-Kennlinie.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Durchflutungssatz für magnetische Kreise
• Magnetischer Widerstand (Reluktanz)
• Hopkinsonsches Gesetz (Analogie zum Ohmschen Gesetz)
• Magnetischer Kreis mit und ohne Luftspalt
• B-H-Kennlinie und Hysterese ferromagnetischer Werkstoffe (Vertiefung)

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Rückgriff – Magnetische Feldgrößen aus ET1
2 Der Durchflutungssatz
3 Der magnetische Widerstand
4 Analogie zum elektrischen Kreis
5 Magnetischer Kreis ohne Luftspalt
6 Magnetischer Kreis mit Luftspalt
7 Ferromagnetische Materialien – B-H-Kennlinie und Hysterese
8 Zusammenfassung der Berechnungsschritte

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

• Momentanleistung $p(t)=u(t)\cdot i(t)$ und mittlere Leistung durch Integration über eine Periode
• Leistung an R (nur Wirkleistung), an C und L (mittlere Leistung gleich null)
• Scheinleistung $S$, Wirkleistung $P$, Blindleistung $Q$ und ihr Zusammenhang im Leistungsdreieck
• Komplexe Scheinleistung $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$
• Leistungsfaktor $\cos \phi =P/S$
• Blindleistungskompensation durch Parallelkondensator

1 Rückgriff – Magnetische Feldgrößen aus ET1

Mit der Leistung im Wechselstromkreis haben wir den Wechselstrom-Block abgeschlossen. Wir kehren nun zum Magnetismus zurück und vertiefen die in ET1-09 eingeführten magnetischen Feldgrößen. Bevor wir mit der systematischen Berechnung magnetischer Kreise beginnen, fassen wir die wichtigsten Größen und Zusammenhänge zusammen.

1.1 Magnetische Feldstärke und Flussdichte

Die magnetische Feldstärke $H$ beschreibt die Ursache des Magnetfeldes. Sie wird durch den fließenden Strom und die Geometrie der Anordnung bestimmt. Die magnetische Flussdichte $B$ beschreibt die Wirkung des Feldes im Material. Zwischen beiden besteht der Zusammenhang:

$$B={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot H$$

Dabei ist:

• $B$ die magnetische Flussdichte in Tesla ($\mathrm{T}$)
• ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$ die magnetische Feldkonstante
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilität (dimensionslos, materialabhängig)
• $H$ die magnetische Feldstärke in Ampere pro Meter ($A/m$)

1.2 Magnetischer Fluss und Durchflutung

Der magnetische Fluss $\Phi$ ergibt sich aus der Flussdichte und der durchsetzten Fläche. Für ein homogenes Feld im Kernquerschnitt $A$ gilt (vgl. ET1-09):

$$\Phi =B\cdot A$$

Dabei ist:

• $\Phi$ der magnetische Fluss in Weber ($\mathrm{Wb}$)
• $A$ die magnetisch wirksame Querschnittsfläche in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)

Die magnetische Durchflutung $\Theta$ einer Spule mit $N$ Windungen und Strom $I$ beträgt:

$$\Theta =N\cdot I$$

Dabei ist:

• $\Theta$ die magnetische Durchflutung in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $N$ die Windungszahl (dimensionslos)
• $I$ die Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Übersicht der magnetischen Feldgrößen

Die folgende Tabelle fasst die wesentlichen Größen zusammen, die wir in ET1-09 eingeführt haben und in dieser Lektion zur systematischen Berechnung magnetischer Kreise verwenden:

Größe	Formelzeichen	Einheit
Magnetische Feldstärke	$H$	$A/m$
Magnetische Flussdichte	$B$	$\mathrm{T}$ (Tesla)
Magnetischer Fluss	$\Phi$	$\mathrm{Wb}$ (Weber)
Magnetische Durchflutung	$\Theta$	$\mathrm{A}$ (Ampere)
Permeabilität	$\mu ={\mu }_0\cdot {\mu }_r$	$H/m$

2 Der Durchflutungssatz

In ET1-09 wurde die Durchflutung $\Theta =N\cdot I$ bereits für die einfache Zylinder- und Kreisringspule eingeführt. Wir verallgemeinern nun diesen Zusammenhang zum Durchflutungssatz, der das zentrale Werkzeug zur Berechnung magnetischer Kreise darstellt.

Der Durchflutungssatz besagt: Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke $H$ entlang eines geschlossenen Weges ist gleich der gesamten eingeschlossenen Durchflutung. In der Integralform lautet er:

$$\Theta =N\cdot I=\oint \vec{H}\cdot d\vec{s}$$

Dabei ist:

• $\Theta$ die magnetische Durchflutung in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\oint \vec{H}\cdot d\vec{s}$ das geschlossene Linienintegral der Feldstärke entlang des magnetischen Weges

Dieser Satz ist das magnetische Pendant zur Maschenregel im elektrischen Kreis: Die Summe aller magnetischen Spannungsabfälle entlang eines geschlossenen magnetischen Weges ist gleich der Summe der Durchflutungen.

2.1 Vereinfachung für stückweise homogene Felder

In der Praxis besteht ein magnetischer Kreis häufig aus mehreren Abschnitten mit jeweils näherungsweise homogenem Feld – zum Beispiel aus einem Kernabschnitt und einem Luftspalt. In jedem Abschnitt $k$ sind die Feldstärke $H_k$ und die Länge $l_k$ näherungsweise konstant. Das Integral vereinfacht sich dann zu einer Summe:

$$\Theta =N\cdot I=\oint \vec{H}\cdot d\vec{s}\approx \sum _k{H}_k\cdot l_k$$

Dabei ist:

• $H_k$ die magnetische Feldstärke im Abschnitt $k$ in $A/m$
• $l_k$ die Länge des Abschnitts $k$ entlang der mittleren Feldlinie in $\mathrm{m}$

Jedes Produkt $H_k\cdot l_k$ stellt einen magnetischen Spannungsabfall $V_{m,k}$ dar. Die Summe aller magnetischen Spannungsabfälle entlang des geschlossenen Weges ergibt die Durchflutung:

$$\Theta =\sum _k{V}_{m,k}=\sum _k{H}_k\cdot l_k$$

Durchflutungssatz – Kernaussage

Der Durchflutungssatz ist das Grundgesetz der magnetischen Kreisberechnung:

$$\Theta =N\cdot I=\sum _k{H}_k\cdot l_k$$

Er besagt: Die gesamte Durchflutung $\Theta$ verteilt sich als magnetische Spannungsabfälle auf die einzelnen Abschnitte des magnetischen Kreises. Das ist vollkommen analog zur Kirchhoffschen Maschenregel im elektrischen Kreis.

3 Der magnetische Widerstand

3.1 Herleitung

Wir betrachten einen einzelnen Abschnitt eines magnetischen Kreises mit der Länge $l$, dem Querschnitt $A$ und der Permeabilität $\mu ={\mu }_0\cdot {\mu }_r$. Das Feld sei homogen. Der magnetische Spannungsabfall über diesen Abschnitt beträgt:

$$V_m=H\cdot l$$

Mit $H=B/({\mu }_0\cdot {\mu }_r)$ und $B=\Phi /A$ folgt:

$$V_m=\frac{B}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}\cdot l=\frac{\Phi }{A}\cdot \frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}=\Phi \cdot \frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$$

Der Faktor $l/({\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A)$ hängt nur von der Geometrie und dem Material ab. Er beschreibt, wie stark der betrachtete Abschnitt den magnetischen Fluss „hemmt”. Wir definieren ihn als den magnetischen Widerstand $R_m$ (auch Reluktanz genannt, engl. reluctance):

$$R_m=\frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$$

Dabei ist:

• $R_m$ der magnetische Widerstand in $A/Wb$ oder $1/H$
• $l$ die Länge des Abschnitts entlang der mittleren Feldlinie in $\mathrm{m}$
• ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}H/m$ die magnetische Feldkonstante
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilität (dimensionslos)
• $A$ die magnetisch wirksame Querschnittsfläche in ${\mathrm{m}}^2$

Vergleich mit dem elektrischen Widerstand

Die Formel für den magnetischen Widerstand hat dieselbe Struktur wie die des elektrischen Leiterwiderstandes (vgl. ET1-04):

	Elektrisch	Magnetisch
Formel	$R=\rho \cdot \frac{l}{A}=\frac{l}{\sigma \cdot A}$	$R_m=\frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$
„Leitwert” des Materials	$\sigma$ (Leitfähigkeit)	${\mu }_0\cdot {\mu }_r$ (Permeabilität)
Länge	Leiterlänge $l$	Feldlinienlänge $l$
Querschnitt	Leiterquerschnitt $A$	Kernquerschnitt $A$

In beiden Fällen gilt: Je länger der Weg und je kleiner der Querschnitt, desto größer der Widerstand. Je besser das Material „leitet” ($\sigma$ bzw. $\mu$), desto kleiner der Widerstand.

3.2 Hopkinsonsches Gesetz

Mit der Definition des magnetischen Widerstands lässt sich der Zusammenhang zwischen Durchflutung und Fluss für einen einzelnen Abschnitt sehr kompakt schreiben:

$$V_m=\Phi \cdot R_m$$

Für den gesamten magnetischen Kreis mit der Durchflutung $\Theta$ als Antrieb ergibt sich das Hopkinsonsche Gesetz:

$$\Theta =\Phi \cdot R_m$$

Dabei ist:

• $\Theta$ die magnetische Durchflutung in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\Phi$ der magnetische Fluss in Weber ($\mathrm{Wb}$)
• $R_m$ der magnetische Gesamtwiderstand in $A/Wb$

Hopkinsonsches Gesetz – Ohmsches Gesetz des Magnetismus

$$\Theta =\Phi \cdot R_m$$

ist das direkte Pendant zum Ohmschen Gesetz $U=I\cdot R$. Die Durchflutung $\Theta$ „treibt” den Fluss $\Phi$ gegen den magnetischen Widerstand $R_m$.

4 Analogie zum elektrischen Kreis

Die im vorherigen Abschnitt hergeleiteten Zusammenhänge zeigen eine weitreichende Analogie zwischen elektrischem und magnetischem Kreis. Diese Analogie ist kein Zufall, sondern eine strukturelle Eigenschaft der zugrunde liegenden Feldgleichungen. In ET1-09 wurde diese Analogie bereits in einer Übersicht angedeutet. Hier systematisieren wir sie für die Kreisberechnung:

Elektrischer Kreis		Magnetischer Kreis
Spannung $U$	$\mathrm{V}$	Durchflutung $\Theta =N\cdot I$	$\mathrm{A}$
Strom $I$	$\mathrm{A}$	Magnetischer Fluss $\Phi$	$\mathrm{Wb}$
Widerstand $R$	$\Omega$	Magnetischer Widerstand $R_m$	$A/Wb$
Leitwert $G=1/R$	$\mathrm{S}$	Magnetischer Leitwert $\Lambda =1/R_m$	$Wb/A=\mathrm{H}$
Ohmsches Gesetz: $U=R\cdot I$		Hopkinson: $\Theta =R_m\cdot \Phi$
Maschenregel: $\sum U_k=0$		Durchflutungssatz: $\Theta =\sum H_k\cdot l_k$
Knotenregel: $\sum I_k=0$		Flussknoten: $\sum {\Phi }_k=0$
$R=\rho \cdot l/A$		$R_m=l/({\mu }_0{\mu }_r\cdot A)$

Gegenüberstellung elektrischer und magnetischer Kreis (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Nutzen der Analogie

Die Analogie erlaubt es, alle Methoden der elektrischen Netzwerkanalyse sinngemäß auf magnetische Kreise zu übertragen:

• Reihen- und Parallelschaltung magnetischer Widerstände
• Magnetische Spannungsteiler
• Ersatzschaltbilder für komplexe Kernanordnungen

In der Praxis wird diese Analogie insbesondere beim Entwurf von Transformatoren, Drosseln und Elektromotoren intensiv genutzt.

[!CAUTION] Grenzen der Analogie

Die Analogie zwischen elektrischem und magnetischem Kreis hat Grenzen:

• Im elektrischen Kreis fließt ein realer Strom (Ladungstransport). Der magnetische Fluss $\Phi$ ist dagegen kein Materiestrom.
• Im elektrischen Kreis gibt es gute Isolatoren ($\rho \to \infty$). Im magnetischen Kreis ist selbst Luft kein perfekter „Isolator” – sie hat ${\mu }_r=1$, nicht ${\mu }_r=0$. Magnetische Feldlinien „streuen” daher leichter als elektrischer Strom.
• Ferromagnetische Materialien zeigen eine stark nichtlineare Permeabilität ${\mu }_r(H)$, die zudem von der Vorgeschichte abhängt (Hysterese). Ein elektrischer Widerstand ist dagegen in vielen Fällen linear.

4.1 Reihenschaltung magnetischer Widerstände

Wenn der magnetische Fluss $\Phi$ nacheinander durch mehrere Abschnitte geführt wird – wie in einem geschlossenen Eisenkern –, liegen die magnetischen Widerstände in Reihe. Wie beim elektrischen Kreis addieren sich die Einzelwiderstände:

$$R_{m,\mathrm{ges}}=\sum _k{R}_{m,k}=R_{m,1}+R_{m,2}+\dots +R_{m,n}$$

Der magnetische Fluss $\Phi$ ist in allen Abschnitten gleich (sofern kein Streufluss auftritt). Die magnetischen Spannungsabfälle teilen sich proportional zu den Einzelwiderständen auf:

$$V_{m,k}=\Phi \cdot R_{m,k}$$

4.2 Parallelschaltung magnetischer Widerstände

Verzweigt sich der magnetische Fluss an einem Knoten auf mehrere parallele Pfade, so teilt sich der Fluss auf. Die Knotenregel $\sum {\Phi }_k=0$ gilt analog zur Kirchhoffschen Knotenregel. Der Gesamtwiderstand berechnet sich wie bei einer elektrischen Parallelschaltung:

$$\frac{1}{R_{m,\mathrm{ges}}}=\sum _k\frac{1}{R_{m,k}}$$

Parallelschaltung in der Praxis

Parallele magnetische Pfade treten z. B. bei E-Kernen auf, deren Mittelschenkel sich am Joch in zwei Außenschenkel verzweigt. Auch im Luftspalt eines Elektromotors verteilt sich der Fluss auf mehrere parallele Pfade.

5 Magnetischer Kreis ohne Luftspalt

Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall: einen geschlossenen Kern (Ringkern) ohne Luftspalt, um den eine Spule mit $N$ Windungen gewickelt ist. Diesen Fall haben wir als Kreisringspule bereits in ET1-09 behandelt. Nun berechnen wir ihn systematisch über den magnetischen Widerstand.

Ringkernspule ohne Luftspalt mit Wicklung, mittlerer Feldlinie und Querschnitt (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Der Kern hat die mittlere Feldlinienlänge $l_{\mathrm{Fe}}$, den Querschnitt $A$ und die relative Permeabilität ${\mu }_r$. Der magnetische Kreis besteht aus einem einzigen Abschnitt. Sein magnetischer Widerstand beträgt:

$$R_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$$

Mit dem Hopkinsonschen Gesetz $\Theta =\Phi \cdot R_m$ ergibt sich der magnetische Fluss:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{m,\mathrm{Fe}}}=\frac{N\cdot I}{R_{m,\mathrm{Fe}}}$$

5.1 Rechenbeispiel: Ringkern ohne Luftspalt

Eine Kreisringspule hat:

• $N=400$ Windungen
• mittleren Kerndurchmesser $D=0,20\mathrm{m}$
• Kernquerschnitt $A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• Stromstärke $I=0,10\mathrm{A}$
• Eisenkern mit ${\mu }_r=1500$

Gesucht: Magnetischer Widerstand $R_{m,\mathrm{Fe}}$, magnetischer Fluss $\Phi$ und magnetische Flussdichte $B$.

Lösung:

1. Mittlere Feldlinienlänge:

$$l_{\mathrm{Fe}}=\pi \cdot D=\pi \cdot 0,20\mathrm{m}=0,628\mathrm{m}$$

2. Magnetischer Widerstand des Kerns:

$$R_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,628\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 1500\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}\approx \underline{2,22\cdot 10^{6}A/Wb}$$

3. Durchflutung:

$$\Theta =N\cdot I=400\cdot 0,10\mathrm{A}=40\mathrm{A}$$

4. Magnetischer Fluss:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{m,\mathrm{Fe}}}=\frac{40\mathrm{A}}{2,22\cdot 10^{6}A/Wb}=\underline{1,80\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}}$$

5. Magnetische Flussdichte:

$$B=\frac{\Phi }{A}=\frac{1,80\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}}{1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}=\underline{0,12\mathrm{T}}$$

Das Ergebnis stimmt mit der Berechnung in ET1-09 überein, in der wir denselben Ringkern über die Feldgrößen $H$ und $B$ direkt berechnet hatten. Der Weg über den magnetischen Widerstand liefert dasselbe Ergebnis, bietet aber bei komplexeren Anordnungen – insbesondere mit Luftspalt – deutliche Vorteile.

Reflexionsfrage

Warum liefert der Weg über den magnetischen Widerstand dasselbe Ergebnis wie die direkte Berechnung über $H$ und $B$?

Antwort
Beide Wege basieren auf denselben physikalischen Gesetzen (Durchflutungssatz, Materialgesetz B = \mu_0 \mu_r H). Der magnetische Widerstand R_m = l/(\mu_0 \mu_r A) fasst lediglich Geometrie und Material in einer einzigen Größe zusammen. Bei einem einzigen homogenen Abschnitt ist der Vorteil gering. Bei mehreren Abschnitten (z. B. Kern + Luftspalt) ermöglicht die Widerstandsmethode jedoch eine übersichtliche, systematische Berechnung – genau wie die Netzwerkanalyse im elektrischen Kreis.

6 Magnetischer Kreis mit Luftspalt

In der Praxis enthalten magnetische Kreise fast immer einen Luftspalt – sei es konstruktionsbedingt (z. B. zwischen Ständer und Läufer eines Motors) oder gewollt (z. B. zur Linearisierung der Induktivität in Drosseln). Ein solcher magnetischer Kreis mit Luftspalt war bereits als Ausblick in ET1-09 gezeigt worden. Jetzt berechnen wir ihn systematisch.

Elektromagnet mit Luftspalt – magnetischer Kreis und Ersatzschaltbild (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

6.1 Modell: Reihenschaltung aus Kern und Luftspalt

Der magnetische Kreis besteht nun aus zwei in Reihe geschalteten Abschnitten: dem Eisenkern (Länge $l_{\mathrm{Fe}}$, Permeabilität ${\mu }_r$) und dem Luftspalt (Länge $l_{\mathrm{Luft}}$, Permeabilität ${\mu }_r=1$). Wir vernachlässigen Streuflüsse und nehmen an, dass der gesamte Fluss $\Phi$ durch beide Abschnitte fließt.

Der Gesamtwiderstand ergibt sich als Reihenschaltung:

$$R_{m,\mathrm{ges}}=R_{m,\mathrm{Fe}}+R_{m,\mathrm{Luft}}$$

mit den Einzelwiderständen:

$$R_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$$ $$R_{m,\mathrm{Luft}}=\frac{l_{\mathrm{Luft}}}{{\mu }_0\cdot A}$$

Dabei ist:

• $l_{\mathrm{Fe}}$ die mittlere Feldlinienlänge im Eisen in $\mathrm{m}$
• $l_{\mathrm{Luft}}$ die Luftspaltlänge in $\mathrm{m}$
• $A$ die Querschnittsfläche (hier vereinfachend für Kern und Luftspalt gleich angenommen)

Der Luftspalt dominiert den magnetischen Widerstand

Da in Luft ${\mu }_r=1$ gilt, während im Eisen ${\mu }_r$ typischerweise einige Hundert bis einige Tausend beträgt, ist der magnetische Widerstand des Luftspalts um ein Vielfaches größer als der des Eisenkerns – selbst wenn der Luftspalt viel kürzer ist als der Eisenweg. Ein Luftspalt von wenigen Millimetern kann den Gesamtwiderstand des magnetischen Kreises dominieren.

Der Durchflutungssatz für den Kreis mit Luftspalt lautet:

$$\Theta =N\cdot I=H_{\mathrm{Fe}}\cdot l_{\mathrm{Fe}}+H_{\mathrm{Luft}}\cdot l_{\mathrm{Luft}}$$

Die Durchflutung teilt sich also in einen magnetischen Spannungsabfall am Kern und einen am Luftspalt auf. Da der Fluss $\Phi$ überall gleich ist, lässt sich dies kompakt schreiben als:

$$\Theta =\Phi \cdot (R_{m,\mathrm{Fe}}+R_{m,\mathrm{Luft}})=\Phi \cdot R_{m,\mathrm{ges}}$$

6.2 Rechenbeispiel: Ringkern mit Luftspalt

Wir verwenden denselben Ringkern wie im vorherigen Beispiel, nun aber mit einem Luftspalt:

• $N=400$ Windungen
• mittlerer Kerndurchmesser $D=0,20\mathrm{m}$
• Kernquerschnitt $A=1,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• Stromstärke $I=0,10\mathrm{A}$
• Eisenkern mit ${\mu }_r=1500$
• Luftspaltlänge $l_{\mathrm{Luft}}=0,50\mathrm{mm}=5,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}$

Streuflüsse werden vernachlässigt. Der Querschnitt im Luftspalt entspricht dem Kernquerschnitt.

Gesucht: Magnetischer Fluss $\Phi$ und magnetische Flussdichte $B$ im Kern und im Luftspalt.

Lösung:

1. Mittlere Eisenweglänge (um den Luftspalt verkürzt):

$$l_{\mathrm{Fe}}=\pi \cdot D-l_{\mathrm{Luft}}=0,628\mathrm{m}-0,0005\mathrm{m}\approx 0,628\mathrm{m}$$

Die Verkürzung ist bei diesen Abmessungen vernachlässigbar.

2. Magnetischer Widerstand des Kerns:

$$R_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,628\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 1500\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}\approx 2,22\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

3. Magnetischer Widerstand des Luftspalts:

$$R_{m,\mathrm{Luft}}=\frac{l_{\mathrm{Luft}}}{{\mu }_0\cdot A}=\frac{5,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}\approx 2,65\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

4. Gesamtwiderstand:

$$R_{m,\mathrm{ges}}=R_{m,\mathrm{Fe}}+R_{m,\mathrm{Luft}}\approx 2,22\cdot 10^6+2,65\cdot 10^6=\underline{4,87\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

5. Magnetischer Fluss:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{m,\mathrm{ges}}}=\frac{40\mathrm{A}}{4,87\cdot 10^{6}A/Wb}=\underline{8,21\cdot 10^{-6}\mathrm{Wb}}$$

6. Magnetische Flussdichte:

$$B=\frac{\Phi }{A}=\frac{8,21\cdot 10^{-6}\mathrm{Wb}}{1,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}=\underline{0,055\mathrm{T}}$$

Vergleich mit und ohne Luftspalt:

Größe	Ohne Luftspalt	Mit Luftspalt ($0,5\mathrm{mm}$)
$R_{m,\mathrm{ges}}$	$2,22\cdot 10^{6}A/Wb$	$4,87\cdot 10^{6}A/Wb$
$\Phi$	$1,80\cdot 10^{-5}\mathrm{Wb}$	$8,21\cdot 10^{-6}\mathrm{Wb}$
$B$	$0,12\mathrm{T}$	$0,055\mathrm{T}$

Obwohl der Luftspalt nur $0,5\mathrm{mm}$ lang ist – also weniger als ein Tausendstel der gesamten Eisenweglänge –, mehr als verdoppelt er den magnetischen Gesamtwiderstand und halbiert damit den magnetischen Fluss. Der Luftspalt dominiert mit $R_{m,\mathrm{Luft}}\approx 2,65\cdot 10^{6}A/Wb$ den Gesamtwiderstand sogar stärker als der gesamte Eisenkern.

Der Luftspalt als „Engpass" im magnetischen Kreis

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass ein kleiner Luftspalt vernachlässigbar sei. Das Gegenteil ist der Fall: Bereits ein Luftspalt von Bruchteilen eines Millimeters kann den magnetischen Widerstand erheblich erhöhen. Der Grund liegt im Faktor ${\mu }_r$: Im Eisen beträgt er z. B. 1500, in Luft nur 1. Ein Millimeter Luft hat also denselben magnetischen Widerstand wie $1500\mathrm{mm}=1,5\mathrm{m}$ Eisen.

6.3 Rechenbeispiel: Erforderlicher Strom bei vorgegebener Flussdichte

In vielen praktischen Aufgaben ist nicht der Fluss gesucht, sondern der Strom, der eine bestimmte Flussdichte im Luftspalt erzeugen soll – zum Beispiel beim Entwurf eines Elektromagneten oder eines Relais.

Aufgabenstellung: Ein Elektromagnet mit E-Kern soll in seinem Luftspalt ($l_{\mathrm{Luft}}=1,0\mathrm{mm}$) eine Flussdichte von $B=0,80\mathrm{T}$ erzeugen. Die mittlere Eisenweglänge beträgt $l_{\mathrm{Fe}}=0,30\mathrm{m}$, der Kernquerschnitt $A=4,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, die relative Permeabilität des Kernmaterials ${\mu }_r=2000$. Die Spule hat $N=500$ Windungen. Streuflüsse werden vernachlässigt.

Gesucht: Erforderliche Stromstärke $I$.

Lösung:

1. Magnetischer Fluss:

$$\Phi =B\cdot A=0,80\mathrm{T}\cdot 4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=3,2\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}$$

2. Magnetischer Widerstand des Kerns:

$$R_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{l_{\mathrm{Fe}}}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}=\frac{0,30\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 2000\cdot 4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}\approx 2,98\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

3. Magnetischer Widerstand des Luftspalts:

$$R_{m,\mathrm{Luft}}=\frac{l_{\mathrm{Luft}}}{{\mu }_0\cdot A}=\frac{1,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}H/m\cdot 4,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}\approx 1,99\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

Auch hier dominiert der Luftspalt: $R_{m,\mathrm{Luft}}$ ist knapp siebenmal so groß wie $R_{m,\mathrm{Fe}}$.

4. Gesamtwiderstand:

$$R_{m,\mathrm{ges}}=R_{m,\mathrm{Fe}}+R_{m,\mathrm{Luft}}\approx 2,98\cdot 10^5+1,99\cdot 10^6=2,29\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

5. Erforderliche Durchflutung:

$$\Theta =\Phi \cdot R_{m,\mathrm{ges}}=3,2\cdot 10^{-4}\mathrm{Wb}\cdot 2,29\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}=733\mathrm{A}$$

6. Erforderlicher Strom:

$$I=\frac{\Theta }{N}=\frac{733\mathrm{A}}{500}=\underline{1,47\mathrm{A}}$$

Um die gewünschte Flussdichte von $0,80\mathrm{T}$ im Luftspalt zu erzeugen, muss durch die 500-Windungen-Spule ein Strom von etwa $1,5\mathrm{A}$ fließen. Der weitaus größte Teil der Durchflutung (rund 87 %) wird dabei allein vom Luftspalt „verbraucht”.

6.4 Induktivität aus dem magnetischen Widerstand

Die Berechnung magnetischer Kreise über den magnetischen Widerstand eröffnet einen eleganten Weg, die Induktivität einer Spule direkt aus dem magnetischen Kreis zu bestimmen. In ET1-09 hatten wir die Induktivität über die Geometrie der Spule berechnet: $L={\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A/l$. Dieser Ausdruck lässt sich mit der Definition des magnetischen Widerstands $R_m=l/({\mu }_0{\mu }_{r}A)$ kompakt zusammenfassen.

Wir setzen den magnetischen Widerstand in die Induktivitätsformel ein. Aus $L={\mu }_0{\mu }_r{N}^{2}A/l$ und $R_m=l/({\mu }_0{\mu }_{r}A)$ folgt unmittelbar:

$$L=\frac{N^2}{R_m}$$

Dabei ist:

• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $N$ die Windungszahl (dimensionslos)
• $R_m$ der magnetische Gesamtwiderstand in $A/Wb$

Alternativ lässt sich die Induktivität auch über den Flussverkettungsansatz herleiten. Der gesamte verkettete Fluss einer Spule beträgt $\Psi =N\cdot \Phi$, und mit $\Phi =\Theta /R_m=N\cdot I/R_m$ ergibt sich:

$$L=\frac{\Psi }{I}=\frac{N\cdot \Phi }{I}=N\cdot \frac{\Phi }{I}$$

Beide Ausdrücke sind äquivalent und liefern dasselbe Ergebnis. Die Darstellung $L=N^2/R_m$ ist besonders praktisch, weil sie die Induktivität direkt aus dem magnetischen Widerstand berechnet – auch für komplexe Kreise mit mehreren Abschnitten und Luftspalten. Der Gesamtwiderstand $R_{m,\mathrm{ges}}$ wird dabei als Reihen- oder Parallelschaltung der Teilwiderstände gebildet, und die Induktivität ergibt sich zu $L=N^2/R_{m,\mathrm{ges}}$.

Induktivität der Ringkernspule aus Abschnitt 5.1

Für die Ringkernspule ohne Luftspalt hatten wir $R_{m,\mathrm{Fe}}=2,22\cdot 10^{6}A/Wb$ berechnet. Mit $N=400$ folgt:

$$L=\frac{N^2}{R_{m,\mathrm{Fe}}}=\frac{400^2}{2,22\cdot 10^{6}A/Wb}=\frac{160000}{2,22\cdot 10^6}\mathrm{H}=\underline{72\mathrm{mH}}$$

Das Ergebnis stimmt exakt mit der Berechnung in ET1-09 überein, wo wir $L=72\mathrm{mH}$ über die Geometrieformel erhalten hatten.

[!EXAMPLE] Induktivität der Ringkernspule mit Luftspalt aus Abschnitt 6.2

Für denselben Ringkern mit $0,5\mathrm{mm}$ Luftspalt war $R_{m,\mathrm{ges}}=4,87\cdot 10^{6}A/Wb$:

$$L=\frac{N^2}{R_{m,\mathrm{ges}}}=\frac{400^2}{4,87\cdot 10^{6}A/Wb}=\underline{33\mathrm{mH}}$$

Der Luftspalt reduziert die Induktivität von $72\mathrm{mH}$ auf $33\mathrm{mH}$ – weniger als die Hälfte. Dies ist die quantitative Bestätigung der Beobachtung, dass ein Luftspalt die Induktivität senkt.

[!attention] Induktivität aus dem magnetischen Kreis

$$L=\frac{N^2}{R_m}=N\cdot \frac{\Phi }{I}$$

Diese Beziehung ist der direkte Zusammenhang zwischen der magnetischen Kreisberechnung und der elektrischen Kenngröße Induktivität. Sie gilt für beliebig komplexe magnetische Kreise, sofern der Gesamtwiderstand $R_m$ bekannt ist. In der nächsten Lektion ET2-08 Induktivität und Reale Spule werden wir diesen Zusammenhang vertiefen.

7 Ferromagnetische Materialien – B-H-Kennlinie und Hysterese

In den bisherigen Berechnungen haben wir die relative Permeabilität ${\mu }_r$ als konstanten Wert angenommen. Für eine erste Näherung ist das zulässig, doch in der Realität zeigen ferromagnetische Materialien ein deutlich komplexeres Verhalten, das wir bereits in ET1-09 kennengelernt haben. Wir vertiefen dieses Thema nun im Kontext der magnetischen Kreisberechnung.

7.1 Die B-H-Kennlinie (Neukurve)

Wird ein ferromagnetischer Werkstoff erstmals magnetisiert, durchläuft er die sogenannte Neukurve. Dabei steigt die Flussdichte $B$ zunächst steil und dann immer flacher mit zunehmender Feldstärke $H$ an, bis der Werkstoff in die Sättigung geht. In der Sättigung bringt eine weitere Erhöhung von $H$ kaum noch Zuwachs an $B$ – nahezu alle Weißschen Bezirke sind bereits ausgerichtet.

Magnetisierungskurven (B-H-Kennlinien) verschiedener ferromagnetischer Werkstoffe (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Aus dieser Kennlinie lässt sich für jeden Arbeitspunkt eine zugehörige Permeabilität ablesen:

$${\mu }_r(H)=\frac{B}{{\mu }_0\cdot H}$$

Die relative Permeabilität ${\mu }_r$ ist also keine Materialkonstante, sondern hängt vom Arbeitspunkt ab. Im linearen Bereich der Neukurve ist ${\mu }_r$ groß (typisch einige Hundert bis mehrere Tausend); in der Sättigung nähert sich ${\mu }_r$ dem Wert 1. Für die Kreisberechnung bedeutet das: Die angenommene Permeabilität muss zum tatsächlichen Arbeitspunkt passen.

Typische Permeabilitätswerte ferromagnetischer Werkstoffe

Werkstoff	Typisches ${\mu }_r$ (im linearen Bereich)	Sättigungsflussdichte $B_{\mathrm{sat}}$
Weicheisen	$300\dots 5000$	$\approx 2,1\mathrm{T}$
Siliziumstahl (kornorientiert)	$5000\dots 30000$	$\approx 2,0\mathrm{T}$
Ferrit (MnZn)	$1000\dots 10000$	$\approx 0,5\mathrm{T}$
Permalloy (NiFe)	$10000\dots 100000$	$\approx 0,8\mathrm{T}$

In der Praxis werden häufig Hersteller-Datenblätter mit der gemessenen B-H-Kennlinie des konkreten Kernmaterials verwendet.

7.2 Hysterese

Wird ein ferromagnetischer Werkstoff zyklisch magnetisiert – also abwechselnd in positiver und negativer Richtung –, so durchläuft die Flussdichte $B$ nicht die Neukurve, sondern folgt einer geschlossenen Schleife: der Hystereseschleife. Dieses Verhalten wurde in ET1-09 anhand der Magnetisierungskennlinie eingeführt.

(Quelle: FLEGEL 2016, S. 54)

Die wesentlichen Kenngrößen der Hystereseschleife sind:

• Remanenzflussdichte $B_r$: Die Flussdichte, die im Material verbleibt, wenn das äußere Feld ($H=0$) abgeschaltet wird.
• Koerzitivfeldstärke $H_c$: Die Feldstärke, die erforderlich ist, um die Flussdichte auf $B=0$ zu bringen.
• Sättigungsflussdichte $B_{\mathrm{sat}}$: Die maximal erreichbare Flussdichte bei sehr hohen Feldstärken.

7.3 Bedeutung für die magnetische Kreisberechnung

Die Hysterese und die Nichtlinearität der B-H-Kennlinie haben unmittelbare Konsequenzen für die Berechnung magnetischer Kreise:

Sättigung begrenzt den nutzbaren Fluss. Im Sättigungsbereich steigt ${\mu }_r$ nicht mehr – im Gegenteil, die effektive Permeabilität sinkt. Ein Magnetkern, der in die Sättigung getrieben wird, verhält sich zunehmend wie Luft. Die Induktivität der Spule sinkt, der magnetische Widerstand steigt. In Transformatoren und Drosseln wird die Sättigung daher gezielt vermieden, weil sie zu einem unkontrollierten Anstieg des Magnetisierungsstroms führt.

Die Hysterese verursacht Verluste. Bei jedem Durchlaufen der Hystereseschleife wird Energie in Wärme umgewandelt. Die pro Umlauf dissipierte Energiedichte ist proportional zur Fläche der Hystereseschleife. In Wechselstromanwendungen (Transformatoren, Motoren) werden diese Hystereseverluste mit jedem Zyklus erneut aufgewendet. Deshalb werden dort weichmagnetische Kernmaterialien mit schmaler Hystereseschleife eingesetzt – genau wie in ET1-09 erläutert.

Linearisierung durch Luftspalt. Ein gezielt eingebrachter Luftspalt hat neben der Erhöhung des magnetischen Widerstands einen weiteren wichtigen Effekt: Er linearisiert das Verhalten des magnetischen Kreises. Da der Luftspalt den Gesamtwiderstand dominiert und Luft eine konstante Permeabilität ${\mu }_r=1$ hat, wird der Einfluss der nichtlinearen Eisenpermeabilität auf den Gesamtkreis unterdrückt. Die Induktivität der Spule wird dadurch weniger abhängig vom Arbeitspunkt und damit berechenbarer. Dieser Effekt wird in Speicherdrosseln gezielt genutzt.

Praktische Konsequenz: Warum Drosseln einen Luftspalt haben

Speicherdrosseln in Schaltnetzteilen müssen auch bei hohen Strömen eine definierte Induktivität beibehalten. Ohne Luftspalt würde der Kern bei hohem Strom in die Sättigung gehen und die Induktivität schlagartig einbrechen. Der Luftspalt verhindert dies, indem er den Arbeitspunkt des Kerns weit vom Sättigungsbereich fernhält. Gleichzeitig nimmt die Gesamtinduktivität durch den Luftspalt ab (weil $R_m$ steigt und $L=N^2/R_m$ gilt) – dies wird durch eine höhere Windungszahl kompensiert.

7.4 Berechnung mit gegebener B-H-Kennlinie

Liegt die B-H-Kennlinie des Kernmaterials vor, kann der magnetische Kreis auch ohne einen festen Wert für ${\mu }_r$ berechnet werden. Das Vorgehen unterscheidet sich je nach Fragestellung:

Gesucht: Durchflutung $\Theta$ bei gegebenem Fluss $\Phi$ (direktes Problem)

1. Aus $\Phi$ und der Querschnittsfläche $A$ die Flussdichte $B=\Phi /A$ berechnen.
2. Aus der B-H-Kennlinie die zugehörige Feldstärke $H_{\mathrm{Fe}}$ ablesen.
3. Den magnetischen Spannungsabfall im Eisen berechnen: $V_{m,\mathrm{Fe}}=H_{\mathrm{Fe}}\cdot l_{\mathrm{Fe}}$.
4. Den magnetischen Spannungsabfall im Luftspalt berechnen: $V_{m,\mathrm{Luft}}=H_{\mathrm{Luft}}\cdot l_{\mathrm{Luft}}$ mit $H_{\mathrm{Luft}}=B/{\mu }_0$.
5. Die Durchflutung ergibt sich aus dem Durchflutungssatz: $\Theta =V_{m,\mathrm{Fe}}+V_{m,\mathrm{Luft}}$.
6. Den erforderlichen Strom berechnen: $I=\Theta /N$.

Gesucht: Fluss $\Phi$ bei gegebener Durchflutung $\Theta$ (inverses Problem)

Dieses Problem ist schwieriger, weil $H_{\mathrm{Fe}}$ von $B$ abhängt und $B$ wiederum von $\Phi$ – es handelt sich um ein nichtlineares Problem. In der Praxis löst man es iterativ oder grafisch (Arbeitspunktbestimmung auf der B-H-Kennlinie).

Iteratives Lösungsverfahren

1. Einen Startwert für ${\mu }_r$ schätzen (z. B. aus dem linearen Bereich der Kennlinie).
2. Damit $R_m$, $\Phi$ und $B$ berechnen.
3. Aus der B-H-Kennlinie den zugehörigen Wert $H_{\mathrm{Fe}}$ ablesen und daraus ${\mu }_r=B/({\mu }_0\cdot H_{\mathrm{Fe}})$ bestimmen.
4. Falls der neue Wert von ${\mu }_r$ wesentlich vom angenommenen abweicht: Rechnung mit dem neuen ${\mu }_r$ wiederholen.
5. Solange iterieren, bis die Werte konvergieren.

In der Regel genügen 2–3 Iterationsschritte für eine ausreichende Genauigkeit.

8 Zusammenfassung der Berechnungsschritte

Zum Abschluss fassen wir das systematische Vorgehen zur Berechnung eines magnetischen Kreises zusammen:

1. Magnetischen Kreis identifizieren: Welche Abschnitte durchläuft der Fluss? (Kern, Luftspalt, evtl. weitere Abschnitte)
2. Geometrie bestimmen: Für jeden Abschnitt die mittlere Feldlinienlänge $l_k$ und die Querschnittsfläche $A_k$ ermitteln.
3. Materialparameter zuordnen: Für jeden Abschnitt ${\mu }_r$ bestimmen (aus Datenblatt oder B-H-Kennlinie). Für Luft gilt ${\mu }_r=1$.
4. Magnetische Widerstände berechnen: $R_{m,k}=l_k/({\mu }_0\cdot {\mu }_{r,k}\cdot A_k)$ für jeden Abschnitt.
5. Gesamtwiderstand bilden: Reihen- und/oder Parallelschaltung der Teilwiderstände.
6. Hopkinsonsches Gesetz anwenden: $\Theta =\Phi \cdot R_{m,\mathrm{ges}}$ nach der gesuchten Größe auflösen.
7. Ergebnis prüfen: Liegt die Flussdichte $B$ im linearen Bereich der B-H-Kennlinie? Falls nicht: Iteration mit korrigiertem ${\mu }_r$ durchführen.

Checkliste magnetischer Kreis

• Durchflutungssatz: $\Theta =N\cdot I={\sum }_k{H}_k\cdot l_k$
• Magnetischer Widerstand: $R_m=\frac{l}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot A}$
• Hopkinsonsches Gesetz: $\Theta =\Phi \cdot R_m$
• Luftspalt (${\mu }_r=1$): $R_{m,\mathrm{Luft}}=\frac{l_{\mathrm{Luft}}}{{\mu }_0\cdot A}$
• Reihenschaltung: $R_{m,\mathrm{ges}}=R_{m,\mathrm{Kern}}+R_{m,\mathrm{Luft}}$
• Induktivität: $L=\frac{N^2}{R_m}$

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET2-07.01 – Magnetischer Kreis mit Luftspalt

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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