ET1-02 Elektrotechnische Größen und Einheiten, Begriffe, Symbolik und Modelle

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02b)

Überblick über diese Lektion

Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfrage:

• Wie lassen sich elektrotechnische Zusammenhänge darstellen bzw. formulieren?
• Wie werden elektrotechnische Größen und Einheiten korrekt geschrieben?
• Mit welcher Genauigkeit wird gerechnet?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie erklären den Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke an einem Widerstand durch das Ohm’sche Gesetz fachsprachlich korrekt und bilden ihn mathematisch ab.
• Sie berechnen eine der drei Größen, wenn die anderen beiden gegeben sind. Sie nutzen sowohl die grafische Repräsentation in Form eines Diagramms als auch Gleichungen, um die Zusammenhänge zwischen den Größen zu erschließen und auszudrücken.
• Sie erkennen, beschreiben und analysieren einen einfachen Stromkreis aus den u. st. Bauelementen verbal, grafisch und rechnerisch. Sie identifizieren und lokalisieren die u. g. Größen im Stromkreis, tragen sie fachgerecht in den Schaltplan ein, können dazu Tabellen sowie Diagramme lesen und anfertigen. Sie berechnen unbekannte Größen aus den bekannten.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Sie kennen die folgenden elektrischen Größen mit deren Formelzeichen und Einheiten, können fachgerecht erklären, welche Phänomene sie beschreiben und wie sie miteinander in Beziehung stehen: Spannung, Stromstärke, Widerstand, Leitwert, Leistung, Energie, Wirkungsgrad und Kosten.
• Sie kennen die folgenden elektrischen Bauelemente mit deren grundlegenden Eigenschaften und Symbolen und können fachgerecht erklären, welche Funktionen sie im einfachen Stromkreis haben: Strom-/Spannungsquelle (z.B. Ladegerät, Batterie, Energieversorgungsnetz), Leiter, Schalter, Widerstand.

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:

• 1 Wrap-up elektrotechnische Grundlagen
• 2 Darstellungsformen elektrotechnischer Phänomene
• 3 Schreibweise elektrotechnischer Größen
• 4 Skalare, Vektoren und Tensoren
• 5 Vektorielle und skalare Größen in der Elektrotechnik

In der vorherigen Lektion ET-01 haben Sie die Ladung und die elektrische Feldstärke sowie das Coulomb’sche Gesetz kennengelernt, das den Zusammenhang von Ladungen und deren Kraftwirkung beschreibt. Sie haben auch das Modell der Feldlinien für das elektrische Feld und den Idealfall eines homogenen Feldes kennengelernt.

In dieser Lektion wird die Einführung der Ladung, der elektrischen Feldstärke und der Modellvorstellung der Feldlinien im homogenen Feld abgeschlossen. Außerdem geht es um die elektrotechnischen Größen Spannung, Stromstärke und Widerstand, Leistung, Wirkungsgrad und Energie mit deren Formelzeichen und Einheiten sowie um Leiter, Stecker, Buchsen und ein Heizgerät als elektrotechnisches System mit ihren Eigenschaften und Symbolen.

Um die neuen Größen nicht als reine Vokabeln im luftleeren Raum zu erlernen, werden sie in eine vereinfachte und verkürzte Beschreibung elektrotechnischer Gesetzmäßigkeiten eingebettet.

1 Wrap-up: elektrotechnische Grundlagen

Das meiste, um das es in dieser kurzen Einführung geht, sollte aus der Schule und der ersten Lektion bekannt sein. Ich greife hier auf das Vorwissen aus den Schulfächern Physik, Chemie und Mathematik zurück. In den weiteren Lektionen dieses Kurses sowie auf den Detailseiten zu den Größen werden die Themen, die hier nur angerissen werden, vertieft und präzisiert.

1.1 Unterschiedlich geladene Teilchen ziehen sich an

Ein bekanntes Phänomen: Reibt man einen Kunststoffstab z. B. an einem Tuch und bewegt ihn daraufhin über Papierschnipsel, so bewegen sich diese zum Kunststoffstab und haften daran – ganz ohne Klebstoff.

Grund dafür sind die unterschiedlichen Ladungen - unterschiedlich geladene Teilchen ziehen sich an (Coulombsches Gesetz), das aus dem Physikunterricht und der letzten Lektion bekannt ist. Ebenso bleiben dünne Plastikbeutel oder auch Luftballons an einer Wand haften, insbesondere wenn man sie zuvor durch Reiben auflädt.

☞ Ladungsansammlungen verursachen elektrische Felder, und eine Kraft wirkt auf einzelne Ladungen in diesem Feld.

1.2 Ausgleichsbestreben

In der Natur strebt jedes System nach Ausgleich, damit alle Elemente ein möglichst niedriges Energieniveau haben.
Befinden sich an einem Ort viele Elektronen, aber nur wenige Protonen, so sprechen wir von einem negativen Ladungsträgerüberschuss. An diesem Ort herrscht ein negatives Potenzial gegenüber einem Ort mit neutralem Potenzial („Erde“, „Masse“) und das System wird jede Möglichkeit nutzen, einen ausgeglichenen Zustand herbeizuführen, und zwar über den Weg des geringsten Widerstandes. Wir können den Ausgleich dieser Potenzialdifferenz steuern, indem wir den Elektronen einen solchen Weg bereiten, z. B. über Leitungen und Kabel, oder ihnen den Weg mittels Isolatoren versperren. Tun wir das nicht und das Potenzial wird zu groß, finden die Ladungen auch ungesteuert ihren Weg, z. B. bei einem Blitzeinschlag zwischen Wolken und Erdoberfläche.
Dabei spielen elektrische Felder eine wichtige Rolle, auf die wir später noch eingehen werden.

☞ Elektronenüberschuss auf der einen Seite, Elektronenmangel auf der anderen führt zum Bestreben nach Ladungsträgerausgleich zwischen den unterschiedlichen Potenzialen.

So entsteht die Spannung.

1.3 Spannung

In elektrotechnischen Systemen ist die Spannung die treibende Kraft, welche die Elektronen durch den elektrischen Leiter bewegt – analog zu einer Lautsprecherdurchsage, die Menschen dazu bringt, sich von einem Ort zum anderen zu bewegen (Beispiel: kurzfristiger Gleiswechsel eines Zuges am Bahnhof).

In der Wasseranalogie ist die Spannung der Druck, mit dem das Wasser durch ein Rohr gedrückt wird.

Physikalisch ist die Spannung die Energie pro Ladung, die aufgewendet wird, um Ladungsträger von einem Punkt zum anderen zu bewegen:

$$U=\frac{W}{Q}$$

Ein Volt bedeutet demnach, dass pro Coulomb Ladung ein Joule Energie übertragen wird ($1\mathrm{V}=1J/C$).

Das Formelzeichen der elektrischen Spannung ist $U$. Sie wird in der Einheit Volt mit dem Einheitszeichen $\mathrm{V}$ angegeben.

1.4 Widerstand

Auf ihrem Weg zum anderen Bahnsteig müssen die Menschen an Treppen, Türen und Kurven unvermeidbare Engpässe passieren. Auch die anderen Menschen bremsen die Bewegung: je mehr Menschen, desto langsamer kommen einzelne voran.

In der Elektrotechnik stoßen die Elektronen auf ihrem Weg durch den Leiter auf Engstellen z. B. in Gestalt von extra zu diesem Zweck verbauten Widerständen oder auch an anderen Bauelementen, die einen unvermeidbaren Widerstand bilden, z. B. Kontaktstellen wie Stecker oder Schalter.

In der Wasseranalogie ist der Widerstand eine Engstelle, die z. B. durch das Rohr selbst, ein Ventil oder einen Knick entsteht.

Das Formelzeichen des elektrischen Widerstandes ist $R$.
Seine Einheit ist Ohm, abgekürzt mit dem griechischen Großbuchstaben $\Omega$ („Omega”).

Der Kehrwert des Widerstandes heißt Leitwert. Hoher Widerstand, niedriger Leitwert; niedriger Widerstand, hoher Leitwert. Sein Formelzeichen ist der Buchstabe $G$. Er hat die Einheit Siemens mit dem Einheitenzeichen $\mathrm{S}$.

1.5 Stromstärke

Je nachdem, wie hoch die Spannung ist, und wie groß die Widerstände sind, wird eine bestimmte Zahl von Elektronen pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Stelle im Leiter gedrückt. So entsteht der Stromfluss und es ergibt sich eine bestimmte Stromstärke. Konkreter: Je höher die Spannung, desto größer ist die Stromstärke. Je höher der Widerstand, desto niedriger die Stromstärke.

In der Wasseranalogie ist die Stromstärke der Volumenstrom, also die Menge an Wassermolekülen, die an einer bestimmten Stelle fließen.

Mathematisch ist die Stromstärke die Ladung pro Zeiteinheit, die durch einen Leiterquerschnitt fließt:

$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

Ein Ampere bedeutet, dass pro Sekunde ein Coulomb Ladung durch den Leiterquerschnitt fließt ($1\mathrm{A}=1C/s$).

Technische Stromrichtung

In der Elektrotechnik wird die technische Stromrichtung (auch: konventionelle Stromrichtung) verwendet. Sie verläuft vom Pluspol zum Minuspol – also entgegengesetzt zur tatsächlichen Bewegungsrichtung der Elektronen, die vom Minuspol zum Pluspol wandern (vgl. ET1-01).

Diese Konvention ist historisch begründet und in der Elektrotechnik weltweit verbindlich. Alle Strompfeile in diesem Skript zeigen in Richtung der technischen Stromrichtung.

Das Formelzeichen der elektrischen Stromstärke ist $I$.
Ihre Einheit ist Ampere und wird mit dem Einheitszeichen A abgekürzt.

1.6 Das Ohm’sche Gesetz

Die Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke ist proportional: je höher die Spannung, desto größer die Stromstärke.

$$U\sim I$$

Proportionalitätsfaktor ist der Widerstand. Diese Beziehung zwischen Spannung, Widerstand und Stromstärke kann, wie fast alles in der Elektrotechnik, durch eine Formel ausgedrückt werden, die auch schon aus dem Physikunterricht bekannt ist, das Ohm’sche Gesetz:

$$U=R\cdot I$$

(sprich: „$U$ ist gleich $R$ mal $I$.“ oder „$U$ ist gleich dem Produkt aus $R$ und $I$.“ )
Diese Formel (auch bekannt als „URI“-Formel) kommt vor allem für die Berechnung der Spannung bei gegebenem Widerstand und Strom zum Einsatz.

Dabei ist:

• $U$ die Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $R$ der Widerstand in Ohm ($\Omega$)
• $I$ die Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Details zu den Größen

Zu jeder Größe, die in diesem Skript vorkommt, gibt es eine eigene Seite, auf der sie detailliert mit Formelzeichen, Einheit, Einheitenzeichen und weiteren relevanten Details eingeführt wird. Diese Detailseiten sind jeweils verlinkt. Ich empfehle, sich diese Seite anzusehen, um Fragen zu klären, die sich ggf. beim Betrachten der Texte und Formeln hier in der Lektion ergeben.
🔗 Alle elektrotechnische Größen

Durch mathematische Umformung (Äquivalenzumformung) lässt sich das Ohm’sche Gesetz auch in dieser Form schreiben:

$$I=\frac{U}{R}$$

(sprich: „$I$ ist gleich $U$ durch $R$.“ oder „$I$ ist gleich dem Quotienten aus $U$ und $R$.“ )

Hier steht die Spannung im Zähler. Je größer die Spannung, desto größer die Stromstärke. Der Widerstand steht im Nenner. Je größer der Widerstand, desto kleiner die Stromstärke. Diese Formel kommt vor allem für die Berechnung der Stromstärke bei gegebenen Werten für Spannung und Widerstand zum Einsatz.

Eine weitere Umstellung führt zu dieser Formulierung, die vor allem für die Berechnung des Widerstandes bei gegebenen Werten für Spannung und Strom zum Einsatz kommt:

$$R=\frac{U}{I}$$

(sprich: „$R$ ist gleich $U$ durch $I$.“ oder „$R$ ist gleich dem Quotienten aus $U$ und $I$.“ )

Der Leitwert ergibt sich aus dem Kehrwert des Widerstandes:

$$G=R^{-1}=\frac{1}{R}=\frac{I}{U}$$

(sprich: „$G$ ist gleich $R$ hoch -1 oder gleich 1 durch $R$.“)

Theoretische Einbettung

In seiner allgemeinen Form lautet das Ohm’sche Gesetz:

$$\vec{E}=\sigma \cdot \vec{J}$$

Dabei ist:

• $\vec{E}$ die elektrische Feldstärke
• $\sigma$ der Leitfähigkeitstensor des stromdurchflossenen Mediums
• $\vec{J}$ die Stromdichte

In isotropen (nicht von der Richtung abhängigen) und linearen (nicht von Einflussgrößen abhängigen) Medien kann die elektrische Leitfähigkeit als Skalar (eindimensionale Größe) betrachtet werden. Dann ist die Stromleitung proportional zum elektrischen Feld, das den Stromfluss verursacht, und liegt in derselben Richtung. In diesem Fall gilt das einfache Ohm’sche Gesetz.

1.7 Leistung und Wirkungsgrad

Wir kennen die Leistungsangabe von Kraftfahrzeugen in Kilowatt (kW) und von früher auch in Pferdestärken (PS). Auch auf vielen Haushaltsgeräten findet sich eine Angabe zur Leistung, die das Gerät im Betrieb aufnimmt, z. B. „1000-1200 W“ auf einem Reisefön.

Das Formelzeichen der Leistung ist der Buchstabe $P$. In der Elektrotechnik ist sie allgemein als Produkt aus Strom und Spannung definiert:

$$P=U\cdot I$$

Die Einheit der elektrischen Leistung ist Watt mit dem Einheitenzeichen $\mathrm{W}$.

In Verbindung mit dem Ohm’schen Gesetz ($U=R\cdot I$ bzw. $I=\frac{U}{R}$) lässt sich die Leistung auch wie folgt formulieren:

$$P=I^2\cdot R$$ $$P=\frac{U^2}{R}$$

Auch hier gilt: Sind zwei der drei Größen in einer Gleichung gegeben, lässt sich die dritte berechnen.

Zurück zum Heizgerät.

Das Heizgerät nimmt elektrische Leistung auf (laut Typenschild max. 2000 W) und gibt sie hauptsächlich als Wärme (thermische Leistung) wieder ab. – Warum „hauptsächlich“? Wir spüren nicht nur die Wärme, sondern sehen auch, dass die Heizstäbe leuchten. Mit anderen Worten: Ein Großteil der Leistung ($\gg 99\%$) tritt in Form von wärmender, aber für das menschliche Auge unsichtbarer Infrarotstrahlung aus, während ein kleiner Teil der Leistung ($\ll 1\%$) als Strahlung im Bereich des sichtbaren Lichts austritt.

Der Anteil der Leistung, der nicht in die beabsichtigte Funktion geht, wird als Verlustleistung bezeichnet. Und das Verhältnis aus zugeführter Leistung und funktionsgemäß abgegebener Leistung wird als Wirkungsgrad bezeichnet.

In Formeln ausgedrückt:

$$\eta =\frac{P_{ab}}{P_{zu}}$$ $$P_{ab}=P_{zu}\cdot \eta$$ $$P_V=P_{zu}\cdot (1-\eta )$$ $$P_V=P_{zu}-P_{ab}$$

Dabei ist:

• $\eta$ der Wirkungsgrad als Dezimalzahl ($0<\eta <1$) oder in %
• $P_{ab}$ die funktionsgerecht abgegebene Leistung (am Heizstab die Wärme, an der Lampe das Licht, am Motor die Bewegung)
• $P_{zu}$ die zugeführte Leistung (die Leistung, die das Gerät aus dem Netz aufnimmt)
• $P_V$ die Verlustleistung (am Heizstab das sichtbare Licht, an der Lampe und am Motor die Wärme)

Im Falle des o. g. Heizstabes nehmen wir beispielsweise einen Wirkungsgrad $\eta =0,995=99,5\%$ an, dann beträgt die Verlustleistung auf Stufe II:

$$P_V=P_{zu}\cdot (1-\eta )=1762\mathrm{W}\cdot (1-0,995)=1762\mathrm{W}\cdot 0,005=8,81\mathrm{W}\approx \underline{9\mathrm{W}}$$

Sind 9 W viel?

$9\mathrm{W}$ ist hier prozentual nicht viel, und kann in diesem Kontext praktisch vernachlässigt werden. In anderen Kontexten sind $9\mathrm{W}$ allerdings nicht zu vernachlässigen, denn die Leistung reicht aus, um eine dunkle Einfahrt nachts mit einer LED-Lampe auszuleuchten oder ein kleineres Tablet zu laden.

Apropos „LED“ oder „Tablet laden“ – meist wird Verlustleistung in Form von Wärme abgegeben, zum Beispiel:

• Der Smartphone-Akku und das Ladegerät werden beim Laden warm oder sogar heiß.
• Eine Glühlampe wird im Betrieb super-heiß, eine LED-Leuchte wird ebenfalls warm bis heiß. (Hier ist es genau anders herum als beim Heizgerät, wo das Leuchten die Verluste ausmacht.)
• Der Motor eines Elektrofahrzeugs erhitzt sich im Betrieb mittel bis stark, ebenso der Akku – nicht nur beim Laden, sondern auch beim Entladen.

Auf die Ursache für die Wärmeentwicklung im Akku gehen wir in der Lektion ET1-03 Elektrische Quellen ein.

Werfen wir nun noch einen Blick auf die Energiekosten für den Betrieb des Heizgerätes aus dem Beispiel.

1.8 Energie und Kosten

Die Energie wird am Markt gehandelt. In der Elektrotechnik wird Energie auch als Arbeit bezeichnet. Der sog. Arbeitszähler (umgangssprachlich „Stromzähler“) registriert die im Haushalt aufgenommene Energie und der sog. Arbeitspreis ist die Grundlage für die Abrechnung mit dem Energieversorger.

Energie ist die von einem System über einen Zeitraum aufgenommene Leistung. Als Formel:

$$W=P\cdot t$$

Dabei ist:

• $W$ die Energie in Kilowattstunden ($\mathrm{kWh}$) oder Joule ($\mathrm{J}$)
• $P$ die Leistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $t$ die Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)

Lässt man das oben beschriebene Heizgerät eine Stunde auf Stufe 2 eingeschaltet, ergibt sich ein Energie„verbrauch“ von:

$$W=P\cdot t=1762\mathrm{W}\cdot 1\mathrm{h}=1762\mathrm{Wh}=\underline{1,762\mathrm{kWh}}$$

Bei einem Arbeitspreis von $0,29EUR/kWh$ betragen die Kosten $K$ für das einstündige Aufheizen:

$$K=W\cdot p=1,762\mathrm{kWh}\cdot 0,29EUR/kWh=1,762\cdot 0,29\frac{\mathrm{kWh}\cdot \mathrm{EUR}}{\mathrm{kWh}}\approx \underline{0,51\mathrm{EUR}}$$

Dabei sind:

• $W$ die Energie bzw. elektrische Arbeit in Kilowattstunden ($\mathrm{kWh}$)
• $K$ die Kosten in Euro ($\mathrm{EUR}$)
• $p$ der Arbeitspreis in Euro ($\mathrm{EUR}$)

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Nun kennen Sie zehn grundlegende elektrotechnische Größen und wissen, wofür sie stehen:

• Ladung
• Elektrische Feldstärke
• Spannung
• Widerstand
• Leitwert
• Stromstärke
• Leistung
• Energie
• Wirkungsgrad
• Kosten

In den folgenden Lektionen werden die teilweise vereinfachten Vorstellungen noch vertieft, die physikalischen Phänomene sowie die mathematische Repräsentation präzisiert und ergänzt.

Diese zehn Größen können nun als Beispiele dienen, um die allgemeinen Regeln vorzustellen, die für die fachgerechte (vor allem schriftliche) Kommunikation in der Elektrotechnik gelten.

2 Darstellungsformen elektrotechnischer Phänomene

Elektrotechnische Phänomene können auf sieben verschiedene Arten beschrieben werden:

• Verbale Beschreibung
• Foto
• Simulationsmodell
• Skizze/Ersatzschaltbild
• Graph/Diagramm
• Gleichung/Formel
• Tabelle

Als Beispiel dient ein elektrisches Heizgerät. Im Folgenden lässt sich gut erkennen, dass jede Darstellungsform bestimmte Informationen über das System beinhaltet. Nicht alle Informationen sind in allen Darstellungsformen enthalten.

2.1 Verbale Beschreibung

„Eine Elektroheizung mit zwei separat schaltbaren Heizstäben ist über eine ca. $1\mathrm{m}$ lange Zuleitung mit Schutzkontakt-Stecker an eine haushaltsübliche Steckdose angeschlossen. Sind beide Heizstäbe eingeschaltet (Stufe 2), fließt durch die Zuleitung ein Strom von ca. $7,66\mathrm{A}$ (gemessen). Auf Stufe 1 ist nur ein Heizstab eingeschaltet, dann ist in der Zuleitung ein Strom von $3,83\mathrm{A}$ messbar.“

2.2 Foto

Das Foto zeigt ein Heizgerät mit zwei rotglühenden Heizstäben. Am unteren Rand sind die Zuleitung und der Schnurschalter zu sehen, der auf Stufe 2 eingestellt ist.

2.3 Simulationsmodell

Das Simulationsmodell zeigt die Parallelschaltung zweier Widerstände $R_1$ und $R_2$, die jeweils in Reihe mit einem geschlossenen Schalter ($S_1$ und $S_2$) liegen. Die Schaltung wird von einer Wechselspannungsquelle versorgt. Es fließt ein Gesamtstrom $I=7,66\mathrm{A}$.

2.4 Skizze

Die Skizze zeigt ein Ersatzschaltbild des Heizgerätes mit:

• dem Energieversorgungsnetz als Spannungsquelle mit der Spannung $U$,
• den beiden Heizstäben als Ohm’sche Widerstände (hier: Heizwiderstände $R_1$ und $R_2$) in Parallelschaltung, über denen die Spannungen $U_{R1}$ und $U_{R2}$ abfallen
• jeweils in Reihe mit den Heizstäben liegenden Schaltern ($S_1$, $S_2$), über denen die Spannungen $U_{S1}$ und $U_{S2}$ abfallen,
• den Stromstärken $I$ (Gesamtstrom) sowie $I_1$ und $I_2$, die in den Zweigen der Parallelschaltung fließen,
• den Leistungen $P_1$ und $P_2$, die von den Heizwiderständen aufgenommen und in Wärme abgegeben werden.

Konventionsgemäß sind die Bauelemente und Verbindungen in schwarz, die Spannungen als Spannungspfeile in blau und die Ströme als Strompfeile in rot skizziert.
(Auf die Darstellung der einzelnen Komponenten wird im weiteren Verlauf noch detailliert eingegangen.)

Zählpfeilsysteme

Strom- und Spannungspfeile in Schaltplänen zeigen nicht die physikalische Bewegungsrichtung der Ladungsträger, sondern legen eine Bezugsrichtung (auch: Zählrichtung) fest. Ob der tatsächliche Wert positiv oder negativ ausfällt, ergibt sich aus der Rechnung.

Für Bauelemente gibt es zwei Konventionen für die Zuordnung von Strom- und Spannungspfeil:

Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):
Strom- und Spannungspfeil zeigen in dieselbe Richtung (gleichsinnig). Diese Konvention wird für Verbraucher (Widerstände, Kondensatoren, Spulen) verwendet. Im VZS ergibt sich bei einem Ohm’schen Widerstand: $U=R\cdot I$ (positives Vorzeichen).

Erzeugerzählpfeilsystem (EZS):
Strom- und Spannungspfeil zeigen in entgegengesetzte Richtungen (gegensinnig). Diese Konvention wird für Quellen (Spannungs- und Stromquellen) verwendet.

Merkregel

• VZS (Verbraucher): Strom fließt in den Pluspol → Bauelement nimmt Leistung auf ($P=U\cdot I>0$).
• EZS (Erzeuger): Strom fließt aus dem Pluspol → Quelle gibt Leistung ab ($P=U\cdot I>0$).

In diesem Skript wird – sofern nicht anders angegeben – das Verbraucherzählpfeilsystem verwendet.

2.5 Graph

Der Graph zeigt die Strom-Spannungs-Kennlinien des Heizgerätes. Jeder Heizstab ist ein ohm’scher Widerstand.

• Die untere Gerade gehört zu einem einzelnen Heizstab mit dem Widerstand $R$. Der Anstieg der Kennlinie entspricht dem Leitwert $G=\frac{1}{R}$.
• Die obere Gerade repräsentiert beide Heizstäbe in Parallelschaltung.

Allgemein gilt: Je größer der Leitwert (also je kleiner der Widerstand), desto steiler verläuft die $I(U)$-Kennlinie.

2.6 Gleichung

In Gleichungen werden die physikalischen Größen, nicht ausgeschrieben, sondern durch sog. Formelzeichen repräsentiert. Den Detailseiten zu den Größen können jeweils die Formelzeichen, Einheiten usw. entnommen werden. In den nachfolgenden Rechenbeispielen nutze ich die Formelzeichen „einfach so“ und setze darauf, dass das Vorgehen aus dem Mathematik- und Physikunterricht bekannt ist.

Gegeben:
Netzspannung $U=230\mathrm{V}$
Gemessene Stromstärke $I=7,66\mathrm{A}$

Berechnungen:
Widerstand beider Heizstäbe in Parallelschaltung:

$$R_{ges}=\frac{U}{I}=\frac{230\mathrm{V}}{7,66\mathrm{A}}\approx \underline{30,0\Omega }$$

Der Leitwert (s. auch Graph):

$$G_{\text{ges}}=\frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{30,0\Omega }\approx \underline{33,3\mathrm{mS}}$$

Leistung auf Stufe I (ein Heizstab):

$$P_1=U\cdot I_1=230\mathrm{V}\cdot \frac{7,66\mathrm{A}}{2}\approx \underline{881\mathrm{W}}$$

Leistung auf Stufe II (zwei Heizstäbe):

$$P=P_{12}=U\cdot I=U\cdot 2\cdot I_1=230\mathrm{V}\cdot 7,66\mathrm{A}\approx \underline{1762\mathrm{W}}$$

Kosten

2.7 Tabelle

In der Tabelle sind die verbal beschriebenen Messergebnisse (Stromstärken) zusammen mit errechneten Werten (Leistungen) zusammengefasst:

	Stab 1 EIN	Stab 2 EIN	Beide Stäbe EIN
Spannung	$230\mathrm{V}$	$230\mathrm{V}$	$230\mathrm{V}$
Strom Zuleitung	$3,83\mathrm{A}$	$3,83\mathrm{A}$	$7,66\mathrm{A}$
Widerstand	$60\Omega$	$60\Omega$	$30\Omega$
Leitwert	$16,7\mathrm{mS}$	$16,7\mathrm{mS}$	$33,3\mathrm{mS}$
Leistung	$881\mathrm{W}$	$881\mathrm{W}$	$1762\mathrm{W}$

☞ Aus den verschiedenen Darstellungsformen lassen sich verschiedene Informationen über das Phänomen bzw. das System entnehmen. In diesem Skript kommt in den Aufgaben meist die Kombination aus verbaler Beschreibung (ggf. mit Foto), Skizze und Gleichungen zum Einsatz. Graphen oder Tabellen ergänzen die Aufgabe oder deren Lösung gelegentlich.

3 Schreibweise elektrotechnischer Größen

In diesem Skript werden 37 Größen aus der Elektrotechnik neben einigen physikalischen und materialabhängigen Größen und Konstanten verwendet. In dieser und der vorherigen Lektion wurden die folgenden zehn Größen eingeführt:

• Ladung (ET1-01)
• Elektrische Feldstärke (ET1-01)
• Spannung
• Widerstand
• Leitwert
• Stromstärke
• Leistung
• Energie
• Wirkungsgrad
• Kosten

Zu jeder Größe gibt es eine eigene Seite, auf der sie detailliert mit Formelzeichen, Einheit und weiteren relevanten Details eingeführt wird. Diese Detailseiten sind jeweils verlinkt. Ich empfehle, dass Sie sich diese Seiten ansehen, um Fragen zu klären, die sich ggf. beim Betrachten der Texte und Formeln in den Lektionen ergeben.

In den Rechenbeispielen oben sind implizit zahlreiche Regeln zur Schreibweise elektrotechnischer Größen erkennbar. Damit Sie zukünftig alles richtig machen können, erkläre ich die Regeln im Folgenden ausführlich und explizit.

3.1 Werte

Wie bei allen physikalischen Größen werden auch elektrotechnische Werte als Produkt eines Zahlenwertes und einer Einheit oder Dimension angegeben.

Mathematisch gilt für eine Größe $G$, dass sie als Produkt aus dem Zahlenwert $\{G\}$ und der Dimension $[G]$ geschrieben wird:

$G=\{G\}\cdot [G]$z. B. für die elektrische Spannung:

$U=\{U\}\cdot [U]=230\cdot \mathrm{V}=230\mathrm{V}$ mit $\{U\}=230$ und $[U]=V$.

Die geschweiften Klammern stehen für die mathematische Funktion „Wert von“.
Die eckigen Klammern stehen für die mathematische Funktion „Dimension von“ bzw. „Einheit von“.

HINWEIS

Zwar sieht man oft in technischen Fächern, dass die Einheit selbst in eckigen Klammern steht, z. B. als Achsbeschriftung an einem Diagramm, aber das ist genau genommen mathematisch nicht korrekt.

Die Einheit wird durch ein Einheitszeichen abgekürzt, z.B. $230\mathrm{V}$ für die Spannung, die an der haushaltsüblichen Steckdose anliegt. Hierbei ist $230$ der Zahlenwert und $\mathrm{V}$ das Einheitszeichen für die Einheit Volt. Das Multiplikationszeichen zwischen dem Zahlenwert und dem Einheitszeichen wird weggelassen – das ist in den Ingenieurwissenschaften üblich. Am Computer wird statt des Multiplikationszeichens ein geschütztes Leerzeichen gesetzt, so dass kein Zeilenumbruch zwischen Wert und Einheitenzeichen entstehen kann.

3.2 Formelzeichen

Wenn mit den Größen gerechnet wird, werden in Gleichungen Formelzeichen anstelle der ausgeschriebenen Größe genutzt, z. B. $U$ für die elektrische Spannung in der Gleichung des Ohm’schen Gesetzes $U=R\cdot I$.

Im Unterschied zu den Einheitenzeichen werden Formelzeichen kursiv gesetzt.

Da deutlich mehr Formelzeichen für technische Größen benötigt werden, als das deutsche Alphabet Buchstaben hat, bedient sich die Elektrotechnik auch der Buchstaben des griechischen Alphabets, wie für die Kreisfrequenz $\omega$ („omega“).

Griechisches Alphabet

Weil wir in den Ingenieurwissenschaften mehr als 26 Buchstaben benötigen, um Formelzeichen und Einheitenzeichen zu schreiben, kommen auch griechische Buchstaben zum Einsatz.

Name	Groß	Klein	Klein (alternativ)
Alpha	$A$	$\alpha$
Beta	$B$	$\beta$
Gamma	$\Gamma$	$\gamma$
Delta	$\Delta$	$\delta$
Epsilon	$E$	$ϵ$	$\epsilon$
Zeta	$Z$	$\zeta$
Eta	$H$	$\eta$
Theta	$\Theta$	$\theta$	$\vartheta$
Iota	$I$	$\iota$
Kappa	$K$	$\kappa$	$\varkappa$
Lambda	$\Lambda$	$\lambda$
Mü	$M$	$\mu$
Nü	$N$	$\nu$
Xi	$\Xi$	$\xi$
Omicron	$O$	$o$
Pi	$\Pi$	$\pi$	$\varpi$
Rho	$P$	$\rho$	$\varrho$
Sigma	$\Sigma$	$\sigma$	$\varsigma$
Tau	$T$	$\tau$
Ypsilon	${\rm Y}$	$\upsilon$
Phi	$\Phi$	$\varphi$	$\phi$
Chi	$X$	$\chi$
Psi	$\Psi$	$\psi$
Omega	$\Omega$	$\omega$

Groß- und Kleinbuchstaben

Wenn die Größe konstant ist, sich also über die Zeit nicht verändert, wird in der Elektrotechnik der Großbuchstabe als Formelzeichen genutzt, z.B. $I$ für die Stromstärke des Gleichstroms und auch für den Effektivwert des Wechselstroms.

Für zeitabhängige Größen kommen Kleinbuchstaben zum Einsatz,
z.B. $i(t)=\hat{i}\cdot \sin (\omega t)$  für die zeitlich veränderliche, sinusförmige Stromstärke mit dem Scheitelwert $\hat{i}$ und der Kreisfrequenz $\omega$.

Komplexe Größen mit Phasenverschiebung („Phasoren“) werden durch unterstrichene Formelzeichen repräsentiert, z. B. $\underline{U}=20\mathrm{V}+j5\mathrm{V}$ für die komplexe Spannung in einem Wechselstromkreis.

3.3 Genauigkeit

Die Genauigkeit, mit der Werte angegeben werden, richtet sich nach der Genauigkeit der Quelldaten. Bei Messungen hängt die Genauigkeit von der Auflösung der Messgeräte ab. Bei Rechnungen hängt sie davon ab, wie genau die Werte gegeben sind in welcher Größenordnung sie liegen.

Es geht nicht primär um Nachkommastellen, sondern um signifikante Stellen. Signifikante Stellen sind die Ziffern einer Zahl, die aussagekräftige Informationen über ihre Genauigkeit liefern.

$U=12,3\mathrm{V}$ hat drei signifikante Stellen, aber nur eine Nachkommastelle.
$R=42\Omega$ hat zwei signifikante Stellen bei null Nachkommastellen.

Berechnungen sollen so durchgeführt werden, dass das Endergebnis nicht mehr signifikante Stellen aufweist, als es der am wenigsten genaue Wert in der Aufgabenstellung zulässt. Zudem gelten die allgemeinen Gesetzmäßigkeiten zum Runden.

Vorsicht!

Taschenrechner zeigen Nachkommastellen an, welche über die Genauigkeit der eingegebenen Werte hinausgehen und deshalb nicht als signifikant anzusehen sind. Mit anderen Worten: Taschenrechner „erfinden“ Nachkommastellen.
Rechnen Sie ruhig mit allen Nachkommastellen im Speicher weiter, aber geben Sie das Ergebnis zum Schluss sinnvollerweise nur mit den signifikanten Stellen an.

In den Aufgaben zu diesem Skript sind die Werte i.d.R. genau mit ihren signifikanten Stellen gegeben.

Beispiel

Gegeben sind die Spannung $U=11,8\mathrm{V}$, die an einem Bauelement anliegt, und dessen Widerstand $R=470\Omega$.
Gesucht ist die Stromstärke $I$, die durch das Bauelement fließt.

Rechnung:
Aus dem Ohm’schen Gesetz folgt:

$$I=\frac{U}{R}=\frac{11,8\mathrm{V}}{470\Omega }=0,0251\mathrm{A}\approx \underline{25,1\mathrm{mA}}$$

Das korrekte Ergebnis (unterstrichen) hat drei signifikante Stellen, ebenso wie die gegebenen Werte. Um diese Genauigkeit zu erreichen müssen bei Verwendung der Einheit Ampere ($\mathrm{A}$) – ohne den Vorsatz „milli“ ($\mathrm{m}$) – vier Nachkommastellen angegeben werden. Durch die Nutzung des Präfix „milli“ ($10^{-3}$) kann die Angabe in der Einheit $\mathrm{mA}$ praxisgerecht und lesefreundlich mit einer Nachkommastelle erfolgen.

Das Beispiel zeigt, dass nicht die Zahl der Nachkommastellen entscheidend ist, sondern die Genauigkeit von der Zahl der signifikanten Ziffern abhängt.

Mit mindestens dieser Genauigkeit soll weitergerechnet werden. Es ist sinnvoll, mit dem Speicherwert des Taschenrechners weiter zu rechnen (hier: $0,02510638298$). Jedoch soll die Lösung nicht genauer angegeben werden, als die Quelldaten es erlauben.

3.4 Einheiten

In allen Rechnungen dieses Skriptes wird immer mit den Einheiten gerechnet. Ich erlebe oft, dass dieser aus ingenieurwissenschaftlicher Sicht wichtige Aspekt des Rechnens im Mathematikunterricht zu kurz kommt. Dabei ist das Rechnen mit Einheiten ein so wichtiges Instrument, um die Korrektheit der eigenen Rechnungen – und übrigens auch der Berechnungen durch KI-Modelle!!! – abschätzen zu können. Sehr viele konzeptionelle und rechnerische Fehler beim Bearbeiten von Aufgaben fallen auf, wenn man die Einheitengleichung aufstellt.

HINWEIS:

Um Fehler zu vermeiden, immer mit den Einheiten rechnen!

Beispiel

Die Rechnung aus ET1-01 zur Coulomb-Kraftliefert ein gutes Beispiel für den Nutzen des Rechnens mit Einheiten:

$$F=8,988\cdot 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{C}}^2}\cdot \frac{1\cdot 10^{-18}}{25\cdot 10^{-8}}\frac{{\mathrm{C}}^2}{{\mathrm{m}}^2}=35,96\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{C}}^2}{{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{C}}^2}=35,96\cdot 10^{-3}\mathrm{N}\approx \underline{36\mathrm{mN}}$$

Weil alle Größen mit Einheiten in der Rechnung stehen, sieht man sehr schön, wie durch Kürzung der Einheiten über und unter dem Bruchstrich am Ende Newton als Einheit der Kraft stehen bleibt. So kann man sicher sein, die richtige Konstante eingesetzt und alle Faktoren berücksichtigt zu haben.

HINWEIS

Für Angabe von Werten mit der richtigen Einheit vergebe ich in der Prüfung Punkte. Fehlt die richtige Einheit, fehlen Punkte. Ich empfehle daher, sich von Anfang an daran zu gewöhnen, die Einheiten hinzuschreiben und mit Einheiten zu rechnen.

Das Ergebnis $F=36\mathrm{mN}$ enthält den Einheitenvorsatz „milli“. Einheitenvorsätze sind im SI-System als Präfixe standardisiert, wie ich im nächsten Abschnitt zeige.

3.5 Präfixe

Die Zehnerpotenzen werden ingenieurwissenschaftlich auch als Größenordnungen bezeichnet. Viele Taschenrechner bieten die Eingabe von Werten mit diesen Zehnerpotenzen an. Jeder Größenordnung ist ein Einheitenvorsatzzeichen (Präfix) zugeordnet, das vor die Einheit gesetzt wird.

Präfix	Name	Potenz	Zahlwort	Zahl
Y	Yotta	$10^{24}$	Quadrillion	1 000 000 000 000 000 000 000 000
Z	Zetta	$10^{21}$	Trilliarde	1 000 000 000 000 000 000 000
E	Exa	$10^{18}$	Trillion	1 000 000 000 000 000 000
P	Peta	$10^{15}$	Billiarde	1 000 000 000 000 000
T	Tera	$10^{12}$	Billion	1 000 000 000 000
G	Giga	$10^9$	Milliarde	1 000 000 000
M	Mega	$10^6$	Million	1 000 000
k	kilo	$10^3$	Tausend	1 000
–	–	$10^0$	Eins	1
m	milli	$10^{-3}$	Tausendstel	0,001
µ	mikro	$10^{-6}$	Millionstel	0,000 001
n	nano	$10^{-9}$	Milliardstel	0,000 000 001
p	piko	$10^{-12}$	Billionstel	0,000 000 000 001
f	femto	$10^{-15}$	Billiardstel	0,000 000 000 000 001
a	atto	$10^{-18}$	Trillionstel	0,000 000 000 000 000 001
z	zepto	$10^{-21}$	Trilliardstel	0,000 000 000 000 000 000 001
y	yokto	$10^{-24}$	Quadrillionstel	0,000 000 000 000 000 000 000 001
Präfixe werden ohne Zwischenraum zum Einheitenzeichen ebenso wie dieses in aufrechter, nicht kursiver Schrift geschrieben, z. B. $63\mathrm{k}\Omega =63\cdot 10^3\Omega =63000\Omega$.

Um Verwechslungen zwischen der Einheit Meter (m) und dem Präfix für milli (m) zu vermeiden, wird das Meter stets an das Ende der Einheiten gestellt, das Präfix für milli (10-3) steht vorne (PRÄfix eben). Demnach steht $\mathrm{mV}$ für Millivolt und $\mathrm{Vm}$ für Voltmeter (genau genommen $\mathrm{V}\cdot \mathrm{m}$).

Der Mikrometer ($\mu \mathrm{m}$) wird auch kurz als Mü [myː] bezeichnet, im Englischen wird der griechische Buchstabe $\mu$ [mju:] ausgesprochen. Daneben ist im Englischen auch micron (mc) für Mikrometer üblich.

Die Detailseiten zu den Größen enthalten stets auch die typischen Größenordnungen und Beispiele für die entsprechenden Präfixe.

HINWEIS

Die Angabe von Größen mit Einheit in der falschen Größenordnung (mit dem falschen Präfix) werte ich in Prüfungen als falsch und ziehe Punkte dafür ab.

4 Skalare, Vektoren und Tensoren

In der Elektrotechnik begegnen uns drei Kategorien mathematischer Größen, die sich in ihrer Komplexität unterscheiden: Skalare, Vektoren und Tensoren. Diese bilden eine Hierarchie, wobei jede Kategorie ein Spezialfall der nächsthöheren ist.

4.1 Skalare (Tensoren 0. Stufe)

Ein Skalar ist eine Größe, die vollständig durch eine einzige Zahl mit Einheit beschrieben wird. Skalare haben keine Richtung – sie sind in allen Koordinatensystemen gleich.

Beispiele aus der Elektrotechnik:

• Spannung: $U=230\mathrm{V}$
• Widerstand: $R=47\mathrm{k\Omega }$
• Leistung: $P=100\mathrm{W}$
• Temperatur: $T=25°C$
• Energie: $W=3,6\mathrm{kJ}$

4.2 Vektoren (Tensoren 1. Stufe)

Ein Vektor ist eine Größe mit Betrag und Richtung. In 3D benötigen wir drei Komponenten zur vollständigen Beschreibung. Vektoren transformieren sich bei Koordinatenwechsel nach bestimmten Regeln.

Darstellung:

$$\vec{E}=\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right)=E_x\cdot {\vec{e}}_x+E_y\cdot {\vec{e}}_y+E_z\cdot {\vec{e}}_z$$

Dabei sind ${\vec{e}}_{x,y,z}$ die Einheitsvektoren und x-, y- und z-Richtung.

Beispiele aus der Elektrotechnik:

• Elektrische Feldstärke: $\vec{E}$ in $V/m$
• Stromdichte: $\vec{J}$ in $A/{\mathrm{m}}^2$
• Kraft: $\vec{F}$ in $\mathrm{N}$

Anschaulich: 

• Ein Vektor ist wie ein Pfeil im Raum – er zeigt in eine bestimmte Richtung und hat eine bestimmte Länge.
• Wenn Sie jemand schubst, hat Ihre Bewegung eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Intensität (Kraft).

4.3 Tensoren (2. und höherer Stufe)

Ein Tensor 2. Stufe verknüpft zwei Vektoren miteinander. In 3D wird er durch eine 3×3-Matrix mit 9 Komponenten dargestellt. Tensoren beschreiben richtungsabhängige Eigenschaften von Materialien.

Darstellung als Matrix:

$$\overleftrightarrow{\epsilon }=\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right)$$

Beispiele aus der Elektrotechnik:

• Permittivitätstensor $\overleftrightarrow{\epsilon }$ in anisotropen Kristallen: $\vec{D}=\overleftrightarrow{\epsilon }\cdot \vec{E}$
• Leitfähigkeitstensor $\overleftrightarrow{\sigma }$ in Halbleitern: $\vec{J}=\overleftrightarrow{\sigma }\cdot \vec{E}$
• Piezoelektrischer Tensor $\overleftrightarrow{d}$ in Piezokristallen: $\vec{D}=\overleftrightarrow{d}\cdot \overleftrightarrow{T}$

Dabei ist:

• $\vec{D}$ die elektrische Flussdichte in $C/{\mathrm{m}}^2$
• $\vec{E}$ die elektrische Feldstärke in $V/m$
• $\vec{J}$ die Stromdichte in $A/{\mathrm{m}}^2$
• $\overleftrightarrow{T}$ der mechanische Spannungstensor in $N/{\mathrm{m}}^2$ (beschreibt Zug-, Druck- und Scherkräfte im Material)
• $\overleftrightarrow{\epsilon }$ der Permittivitätstensor in $F/m$ (dielektrische Eigenschaft)
• $\overleftrightarrow{\sigma }$ der Leitfähigkeitstensor in $S/m$ (elektrische Leitfähigkeit)
• $\overleftrightarrow{d}$ der piezoelektrische Tensor in $C/N$ oder $m/V$ (Kopplung zwischen mechanischer Spannung und elektrischer Flussdichte)

Anschaulich: 

• Ein Tensor beschreibt, wie sich eine Eigenschaft je nach Richtung unterschiedlich verhält – wie ein Holzbrett, das längs zur Faser andere Eigenschaften hat als quer dazu.
• Wenn Sie ein einem Fluss schwimmen, erfahren Sie je nachdem an welcher Stelle Sie schwimmen, unterschiedliche Strömungskräfte:
  • die Stelle im Flussverlauf (x),
  • der Abstand zum Ufer (y) und
  • die Wassertiefe (z) entscheiden über die Strömungskräfte.

4.4 Die Hierarchie im Überblick

Stufe	Bezeichnung	Komponenten (3D)	Beispiel	Anwendungsfall
0	Skalar	1	$R=100\mathrm{\Omega }$	Isotrope Materialien
1	Vektor	3	$\vec{E}=(0,0,5)V/m$	Felder im Raum
2	Tensor	9	$\overleftrightarrow{\epsilon }$	Anisotrope Materialien

4.5 Praktische Bedeutung in der ET

In den Grundlagen (isotrope Materialien, homogene Felder):

$$D=\epsilon \cdot E$$

Die Permittivität $\epsilon$ ist ein Skalar – das Material verhält sich in alle Richtungen gleich.

In fortgeschrittenen Anwendungen (anisotrope Kristalle, inhomogene Felder):

$$\vec{D}=\overleftrightarrow{\epsilon }\cdot \vec{E}$$

Die Permittivität $\overleftrightarrow{\epsilon }$ ist ein Tensor – das elektrische Feld in x-Richtung kann eine Verschiebung in y-Richtung verursachen!

4.6 Merkregel

Skalar: “Wieviel?” – Eine Zahl
Vektor: “Wieviel und wohin?” – Pfeil im Raum
Tensor: “Wieviel wohin bei Anregung woher?” – Richtungsabhängige Verknüpfung

In den ET-Grundlagen arbeiten wir hauptsächlich mit Skalaren und vereinfachten Vektoren. Tensoren werden erst bei speziellen Materialien (Kristalle, Ferrite, vorgespannte Materialien) relevant, oder wenn wir den allgemeinen Fall (keinen vereinfachten Spezialfall) abbilden.

5 Vektorielle und skalare Größen in der Elektrotechnik

In der Natur sind viele elektrotechnische Größen Vektorgrößen mit Betrag und Richtung, einige sogar Tensoren, wie oben gezeigt. In den Grundlagenvorlesungen der Elektrotechnik rechnen wir jedoch meist mit skalaren Größen. Ich erkläre hier, warum und wann diese Vereinfachung zulässig ist.

5.1 Die physikalische Realität

Elektrische und magnetische Felder sind in der Natur immer vektoriell. Ein Elektron in einem elektrischen Feld “spürt” nicht nur, wie stark es gezogen wird, sondern auch wohin. Die vollständige Beschreibung erfordert daher Vektorgrößen:

• Elektrische Feldstärke: $\vec{E}(\vec{r})$
• Elektrische Flussdichte: $\vec{D}(\vec{r})$
• Magnetische Feldstärke: $\vec{H}(\vec{r})$
• Magnetische Flussdichte: $\vec{B}(\vec{r})$
• Stromdichte: $\vec{J}(\vec{r})$
• Kraft: $\vec{F}$

5.2 Übersicht der vektoriellen Größen in den ET-Grundlagen

Primär vektorielle Größen

Diese Größen sind von Natur aus Vektoren, werden aber in den Grundlagen oft skalar behandelt:

Größe	Vektorform	Skalarform	Typische Anwendung
Elektrische Feldstärke	$\vec{E}$	$E$	Plattenkondensator
Elektrische Flussdichte	$\vec{D}$	$D$	Dielektrikum
Magnetische Feldstärke	$\vec{H}$	$H$	Lange Spule
Magnetische Flussdichte	$\vec{B}$	$B$	Luftspalt
Stromdichte	$\vec{J}$	$J$	Gerader Leiter
Kraft	$\vec{F}$	$F$	Coulomb-Kraft

Skalare aus Vektoroperationen

Diese Größen sind Skalare, die durch Integration von Vektorfeldern entstehen:

• Spannung: $U=\int \vec{E}\cdot d\vec{s}$ (Wegintegral der Feldstärke)
• Elektrischer Fluss: $\Psi =\int \vec{D}\cdot d\vec{A}$ (Flächenintegral der elektrischen Flussdichte)
• Magnetischer Fluss: $\Phi =\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$ (Flächenintegral der magnetischen Flussdichte)
• Stromstärke: $I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$ (Flächenintegral der Stromdichte)

5.3 Bedingungen für die skalare Vereinfachung

Die Vereinfachung von Vektor- zu Skalargrößen ist kein Mogeln, sondern eine begründete Reduktion für spezielle Geometrien. Sie ist zulässig, wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Eindimensionale Geometrie

Die Feldrichtung ist durch die Anordnung vorgegeben:

• Plattenkondensator: Feld zeigt immer von der positiven zur negativen Platte
• Koaxialkabel: Feld zeigt radial nach außen
• Lange Spule: Magnetfeld parallel zur Spulenachse

Parallelität gewährleistet

Alle relevanten Vektoren zeigen in dieselbe Richtung:

• $\vec{E}$ und $\vec{D}$ sind parallel (in homogenen Medien)
• Feldlinien und Flächennormale sind parallel
• Das Skalarprodukt wird dann zum einfachen Produkt: $\vec{D}\cdot \vec{A}=D\cdot A$

Nur Beträge relevant

Die Richtungsinformation wird für die Berechnung nicht benötigt:

• Energieberechnungen: $W=\frac{1}{2}C{U}^2$
• Kapazitätsbestimmungen: $C=\epsilon \cdot A_C/d$
• Widerstandsberechnungen: $R=\rho \cdot l/A_L$

Dabei ist:

• $W$ die gespeicherte elektrische Energie in $\mathrm{J}$ (Joule)
• $C$ die Kapazität des Kondensators in $\mathrm{F}$ (Farad)
• $U$ die Spannung am Kondensator in $\mathrm{V}$ (Volt)
• $\epsilon$ die Permittivität des Dielektrikums in $F/m$ (Farad pro Meter), mit $\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r$
  • ${\epsilon }_0$ die Permittivität des Vakuums (elektrische Feldkonstante) ${\epsilon }_0\approx 8,8542\cdot 10^{-12}\text{F/m}$
  • ${\epsilon }_r$ die Permittivitätszahl (relative Permittivität des Materials) ${\epsilon }_r$ 
    • Vakuum/Luft: ${\epsilon }_r\approx 1$
    • einfache Dielektrika: ${\epsilon }_r\approx 3\text{–}7$
• $A_C$ die Plattenfläche des Kondensators in ${\mathrm{m}}^2$ (Quadratmeter)
• $d$ der Plattenabstand des Kondensators in $\mathrm{m}$ (Meter)
• $R$: Elektrischer Widerstand in $\mathrm{\Omega }$ (Ohm)
• $\rho$: Spezifischer Widerstand des Materials in $\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$ (Ohm mal Meter)
• $l$: Länge des Leiters in $\mathrm{m}$ (Meter)
• $A_L$: Querschnittsfläche des Leiters in ${\mathrm{m}}^2$ (Quadratmeter)

Wir sprechen dann von homogenen Feldern (vgl. ET1-01).

5.4 Die Vereinfachungs-Hierarchie

Vollständig vektoriell: $\vec{D}(\vec{r})=\epsilon \cdot \vec{E}(\vec{r})$
↓ (homogenes Feld)
Richtung bekannt: $D=\epsilon \cdot E$ (mit Vorzeichen)
↓ (nur Beträge relevant)
Rein skalar: $D=\epsilon \cdot E$ (nur positive Werte)

5.5 Konkrete Beispiele

Beispiel Plattenkondensator (Vereinfachung erlaubt)

Vollständige vektorielle Beschreibung:

$$\vec{E}=-\frac{U}{d}\cdot {\vec{e}}_x$$ $$\vec{D}=\epsilon \cdot \vec{E}=-\epsilon \cdot \frac{U}{d}\cdot {\vec{e}}_x$$

Vereinfachte skalare Rechnung:

$$E=\frac{U}{d}$$ $$D=\epsilon \cdot E=\epsilon \cdot \frac{U}{d}$$

Die Vereinfachung ist zulässig, weil:

• das Feld homogen zwischen den Platten ist.
• die Richtung durch die Geometrie festgelegt ist.
• wir nur mit Beträgen rechnen.

Gegenbeispiel (Vektorrechnung notwendig)

Bei der Überlagerung zweier Punktladungen müssen wir vektoriell rechnen:

$${\vec{E}}_{ges}={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=\frac{Q_1}{4\pi \epsilon r_1^2}\cdot {\vec{e}}_{r1}+\frac{Q_2}{4\pi \epsilon r_2^2}\cdot {\vec{e}}_{r2}$$

Hier ist keine Vereinfachung möglich, da sich zwei unterschiedliche elektrische Felder überlagern und die Feldrichtungen demnach unterschiedlich sind.

5.6 Sonderfälle – Tensorielle Größen

In anisotropen Materialien können Materialeigenschaften sogar zu Tensoren werden:

• Permittivität $\epsilon$ → $\overleftrightarrow{\epsilon }$ (in Kristallen)
• Permeabilität $\mu$ → $\overleftrightarrow{\mu }$ (in Ferriten)
• Leitfähigkeit $\sigma$ → $\overleftrightarrow{\sigma }$ (in Halbleitern)

In den Grundlagen behandeln wir diese jedoch als skalare Materialkonstanten.

5.7 Die didaktische Botschaft

Wir vereinfachen hier nicht, weil die Physik einfach ist, sondern weil wir geschickte Geometrien wählen, in denen die Vektoreigenschaft keine Rolle spielt. Das ist ingenieurtechnische Eleganz, die das Erlernen der Grundlagen erleichtert.

Die skalare Behandlung in den Grundlagen ist eine bewusste didaktische Entscheidung:

1. Sie ermöglicht den Fokus auf die physikalischen Zusammenhänge.
2. Sie reduziert die mathematische Komplexität.
3. Sie deckt die häufigsten praktischen Anwendungsfälle ab.

5.8 Grenzen der vereinfachenden Betrachtung

Im weiteren Studienverlauf wird die volle Vektorrechnung unverzichtbar bei:

• den Maxwell’schen Gleichungen in differentieller Form,
• der Berechnung elektromagnetischer Wellen,
• der Antennenabstrahlung,
• numerischen Feldberechnungen (FEM-Simulationen),
• mehrphasensystemen (Drehstrom).

Die in den Grundlagen erlernten skalaren Zusammenhänge bleiben dabei als Spezialfälle gültig und bilden das Fundament für das tiefere Verständnis der vektoriellen Feldtheorie.

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Übungen zu diesem Kapitel

Übung ET1-02.01 – Ladung, Spannung und Energie eines Akkus
Übung ET1-02.02 – Potenziale und Spannung
Übung ET1-02.03 – Pflanzenbeleuchtung Leistung und Wirkungsgrad
Übung ET1-02.04 – PC-Lüfter Schaltplan, Symbole, Rechnung
Übung ET1-02.05 – Stromstärke Kühlschrank

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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