Übung ET1-02.01 – Ladung, Spannung und Energie eines Akkus (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-10-21)

Bezug zu ET1-02 Elektrotechnische Größen und Einheiten, Begriffe, Symbolik und Modelle

Aufgabe

Ein Akkumulator („Akku“) trägt folgende Herstellerangaben: AA (Mignon), NiMH, 1600 mAh, Spannung 1,2 V.

a) Welche Ladung $Q$ hat der voll aufgeladene Akku gespeichert?

b) Wie groß ist die theoretische Aufladezeit des Akkus bei einem Ladestrom von $I=400\mathrm{mA}$?

c) Wie lange dauert es bei einem Entladestrom von $I=80\mathrm{mA}$, bis der Akku sich um $70\%$ entladen hat?

d) Wie viele Elektronen sind dann noch im Akku gespeichert?

e) Welche mechanische Arbeit könnte ein ferngesteuertes Auto mit einem Wirkungsgrad von $50\%$ verrichten, das von einem Akku-Pack mit der Nennspannung von $4\cdot 1,2\mathrm{V}=4,8\mathrm{V}$ und vier voll aufgeladenen Akkus der o.g. Bauart gespeist wird, wenn die gesamte gespeicherte Energie abgegeben würde?

◀️ zur Aufgabe

---

Lösung

Gegeben:

• Kapazität $C=1600\mathrm{mAh}=1,6\mathrm{Ah}$
• Zellspannung $U=1,2\mathrm{V}$

Bekannt:

• Elementarladung $e=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$

a) Gespeicherte Ladung $Q$

$$Q=C\cdot 3600s/h=1,6\mathrm{Ah}\cdot 3600s/h=\underline{5760\mathrm{C}}$$

Im voll aufgeladenen Akku ist die Ladung von $5760\mathrm{C}$ gespeichert.

b) Theoretische Aufladezeit

Die Aufladung dauert 4 Stunden.

c) Entladedauer für 70 % Entladung

Gesuchte Ladung: $Q_{70}=0,7\cdot 5760\mathrm{C}=4032\mathrm{C}=4032\mathrm{A}\mathrm{s}$.

$$t=\frac{Q_{70}}{I}=\frac{4032\mathrm{A}\mathrm{s}}{80\cdot 10^{-3}\mathrm{A}}=50400\mathrm{s}=14\mathrm{h}$$

Die Entladung von $100\%$ auf $30\%$ Restladung dauert 14 Stunden.

Alternativ könnte unter der Annahme, dass Auf- und Entladen demselben Zeitverhalten folgen, mit Blick auf das Ergebnis zu b) die Zeit auch so ermittelt werden:

$$t_{70\%,80mA}=t_{100\%,400mA}\cdot \frac{400\mathrm{mA}}{80\mathrm{mA}}\cdot 0,7=4\mathrm{h}\cdot 5\cdot 0,7=\underline{14\mathrm{h}}$$

Das wäre zwar unsauber, aber in diesem Fall nicht falsch. Verlässlicher ist jedoch die obere Rechnung.

d) Verbleibende Elektronen

Verbleibende Ladung: $Q_{30}=0,3\cdot 5760\mathrm{C}=1728\mathrm{C}$.

$$n=\frac{Q_{30}}{e}=\frac{1728\mathrm{C}}{1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}}\approx 1,08\cdot 10^{22}\text{Elektronen}$$

Bei einer Restladung von $30\%$ verbleiben ca. 10 Trilliarden Elektronen im Akku.

e) Mechanische Arbeit

Akku-Pack: 4 Zellen in Reihe → $U_{\mathrm{Pack}}=4\cdot 1,2\mathrm{V}=4,8\mathrm{V}$.
Gespeicherte Energie:

$$W_{\mathrm{Akku}}=Q\cdot U_{\mathrm{Pack}}=5760\mathrm{C}\cdot 4,8\mathrm{V}=27648\mathrm{J}$$

Mechanische Arbeit:

$$W_{\mathrm{mech}}=\eta \cdot W_{\mathrm{Akku}}=0,5\cdot 27648\mathrm{J}=13824\mathrm{J}\approx \underline{13,8\mathrm{kJ}}$$

Das Gerät kann $13,8\mathrm{kJ}$ Arbeit verrichten.

Energiedichte von Akkus

Mit dem Akku-Pack könnte ein 1 kg schweres ferngesteuertes Auto auf ebener Strecke mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h knapp 15 km weit fahren.
Das ist die Energie von 1-2 Gummibärchen oder einem halben ml Benzin. Der Vergleich zeigt die geringere Energiedichte von Akkus ggü. anderen Energieträgern. Deshalb nimmt der Akku im Elektroauto bei geringerer Reichweite deutlich mehr Volumen ein als ein Benzin-Tank.