Übung ET1-07.01 — Superposition 2U 3R (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-09)

Bezug zu ET1-07 Analyse linearer Schaltungen

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Aufgabe

Eine Schaltung besteht aus zwei Spannungsquellen und drei Widerständen:

• $U_1=15\mathrm{V}$, in Reihe mit $R_1=180\Omega$ (linker Zweig)
• $U_2=12\mathrm{V}$, in Reihe mit $R_2=120\Omega$ (rechter Zweig)
• $R_3=330\Omega$ im Mittelzweig, parallel zu beiden Quellen

Alle drei Zweige sind zwischen denselben zwei Knoten parallel geschaltet.

a) Skizzieren Sie die Schaltung!
b) Berechnen Sie den Strom $I_3$ durch $R_3$ mittels Superposition! (positive Richtung: von oben nach unten)
c) Berechnen Sie die Spannung $U_3$ am Widerstand $R_3$!

Lösung

a) Skizze
b) $I_3\approx 33\mathrm{mA}$
c) $U_3\approx 11\mathrm{V}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungsquellen: $U_1=15\mathrm{V}$, $U_2=12\mathrm{V}$
• Widerstände: $R_1=180\Omega$, $R_2=120\Omega$, $R_3=330\Omega$

Bekannt:

• Superpositionsprinzip: Einzelwirkungen aller Quellen werden addiert
• Parallelschaltung: $R_{\mathrm{parallel}}=\frac{R_a\cdot R_b}{R_a+R_b}$
• Ohmsches Gesetz: $U=R\cdot I$, $I=\frac{U}{R}$

Gesucht

a) Schaltskizze
b) Strom $I_3$ durch $R_3$ in $\mathrm{A}$
c) Spannung $U_3$ in $\mathrm{V}$

a) Schaltskizze

b) Strom durch $R_3$ mittels Superposition

Nur $U_1$ aktiv ($U_2$ kurzgeschlossen, d.h. $U_2=0$):

Wenn $U_2$ kurzgeschlossen ist, liegt $R_2$ parallel zu $R_3$ zwischen oberem und unterem Knoten. Die errechneten Größen erhalten den Index „1”.

Parallelwiderstand:

$$R_{23}=\frac{R_2\cdot R_3}{R_2+R_3}=\frac{120\Omega \cdot 330\Omega }{120\Omega +330\Omega }=\frac{39600{\Omega }^2}{450\Omega }=88\Omega$$

Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges},1}=R_1+R_{23}=180\Omega +88\Omega =268\Omega$$

Gesamtstrom:

$$I_{\mathrm{ges},1}=\frac{U_1}{R_{\mathrm{ges},1}}=\frac{15\mathrm{V}}{268\Omega }\approx 55,97\mathrm{mA}$$

Spannung an $R_{23}$:

$$U_{23}=U_1-I_{\mathrm{ges},1}\cdot R_1=15\mathrm{V}-0,05597\mathrm{A}\cdot 180\Omega \approx 4,925\mathrm{V}$$

Strom durch $R_3$:

$$I_{3,1}=\frac{U_{23}}{R_3}=\frac{4,925\mathrm{V}}{330\Omega }\approx 14,92\mathrm{mA}$$

Nur $U_2$ aktiv ($U_1$ kurzgeschlossen, d.h. $U_1=0$):

Wenn $U_1$ kurzgeschlossen ist, liegt $R_1$ parallel zu $R_3$ zwischen oberem und unterem Knoten. Die errechneten Größen erhalten den Index „2”.

Parallelwiderstand:

$$R_{13}=\frac{R_1\cdot R_3}{R_1+R_3}=\frac{180\Omega \cdot 330\Omega }{180\Omega +330\Omega }=\frac{59400{\Omega }^2}{510\Omega }\approx 116,47\Omega$$

Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges},2}=R_2+R_{13}=120\Omega +116,47\Omega =236,47\Omega$$

Gesamtstrom:

$$I_{\mathrm{ges},2}=\frac{U_2}{R_{\mathrm{ges},2}}=\frac{12\mathrm{V}}{236,47\Omega }\approx 50,75\mathrm{mA}$$

Spannung an $R_{13}$:

$$U_{13}=U_2-I_{\mathrm{ges},2}\cdot R_2=12\mathrm{V}-0,05075\mathrm{A}\cdot 120\Omega \approx 5,910\mathrm{V}$$

Strom durch $R_3$:

$$I_{3,2}=\frac{U_{13}}{R_3}=\frac{5,910\mathrm{V}}{330\Omega }\approx 17,91\mathrm{mA}$$

Überlagerung:

Beide Teilströme fließen in dieselbe Richtung (von oben nach unten) durch $R_3$:

$$I_3=I_{3,1}+I_{3,2}=14,92\mathrm{mA}+17,91\mathrm{mA}\approx \underline{33\mathrm{mA}}$$

c) Spannung an $R_3$

Nach dem Ohm’schen Gesetz:

$$U_3=R_3\cdot I_3=330\Omega \cdot 0,0328\mathrm{A}\approx \underline{11\mathrm{V}}$$

Superposition bei parallelen Zweigen

Bei der Superposition von parallelen Zweigen mit Spannungsquellen ist es wichtig:

1. Deaktivierung: Spannungsquellen werden durch Kurzschlüsse ersetzt
2. Parallelwiderstände: Die zur deaktivierten Quelle gehörigen Widerstände liegen dann parallel zum gesuchten Widerstand
3. Stromrichtung: Bei parallelen Zweigen haben die Teilströme oft dieselbe Richtung
4. Verifikation: Das Ergebnis kann durch direkte Anwendung der Kirchhoff’schen Regeln überprüft werden