Übung ET1-07.R1 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-08)

Bezug zu ET1-07 Analyse linearer Schaltungen

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Aufgabe

Eine Schaltung enthält sowohl eine Spannungsquelle als auch eine Stromquelle:

• Spannungsquelle: $U_0=24,0\mathrm{V}$ (ideal), in Reihe mit $R_1=120\Omega$
• Stromquelle: $I_0=50\mathrm{mA}$ (ideal), parallel zu $R_2=180\Omega$
• Beide Zweige sind parallel geschaltet und über $R_3=220\Omega$ verbunden

Die Schaltung ist so aufgebaut: Der linke Zweig enthält $U_0$ in Reihe mit $R_1$. Der rechte Zweig enthält die Stromquelle $I_0$ parallel zu $R_2$. Der Widerstand $R_3$ verbindet die oberen Knoten beider Zweige.

a) Skizzieren Sie die Schaltung!

b) Berechnen Sie den Strom $I_3$ durch $R_3$ mittels Superposition! (positive Richtung: von links nach rechts)

c) Berechnen Sie die Spannung $U_3$ über $R_3$ und überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Leistungsbilanz.

Lösung

a) Skizze
b) $I_3\approx 28,8\mathrm{mA}$
c) $U_3\approx 6,3\mathrm{V}$, Leistungsbilanz: $P_{\mathrm{Quellen}}=P_{\mathrm{Widerst}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{nde}}=1402\mathrm{mW}$ ✔

Vollständiger Lösungsweg

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungsquelle: $U_0=24,0\mathrm{V}$ (ideal)
• Stromquelle: $I_0=50\mathrm{mA}$ (ideal)
• Widerstände: $R_1=120\Omega$, $R_2=180\Omega$, $R_3=220\Omega$

Bekannt:

• Superpositionsprinzip: Einzelwirkungen aller Quellen werden addiert
• Deaktivierung: Spannungsquellen → Kurzschluss; Stromquellen → Leerlauf (entfernen)
• Parallelschaltung: $R_{\mathrm{parallel}}=\frac{R_a\cdot R_b}{R_a+R_b}$
• Ohmsches Gesetz: $U=R\cdot I$

Dabei ist:

• $U_0$ die Quellenspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $I_0$ der Quellenstrom in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $R_k$ der $k$-te Widerstand in Ohm ($\Omega$)

Gesucht

a) Schaltskizze
b) Strom $I_3$ durch $R_3$ in $\mathrm{mA}$
c) Spannung $U_3$ in $\mathrm{V}$, Leistungsbilanz

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a) Schaltskizze

         K_A ─────────────────────────────── K_B
          │            I₃ →                   │
         ┌┴┐      ┌───────────┐              ┌┴┐
         │ │ R₁   │           │              │ │ R₂
         │ │120Ω  │  R₃=220Ω  │     ↑        │ │180Ω
         └┬┘      │           │    I₀        └┬┘
          │       └───────────┘   50mA        │
         ─┬─           ↓                      │
          +                                   │
    U₀   24V                                  │
          −                                   │
         ─┴─                                  │
          │                                   │
         K_0 ─────────────────────────────── K_0

Schaltungsbeschreibung:

• Linker Zweig: $U_0$ in Reihe mit $R_1$ zwischen K_0 und K_A
• Rechter Zweig: Stromquelle $I_0$ parallel zu $R_2$ zwischen K_0 und K_B
• Verbindung: $R_3$ zwischen K_A und K_B
• Die Stromquelle $I_0$ treibt den Strom von K_0 nach K_B

b) Strom durch $R_3$ mittels Superposition

Nur $U_0$ aktiv (Stromquelle $I_0$ deaktiviert = Leerlauf)

Wenn die Stromquelle entfernt wird, bleibt $R_2$ im rechten Zweig:

         K_A ────────R₃────────── K_B
          │                        │
         ┌┴┐                      ┌┴┐
         │ │ R₁                   │ │ R₂
         └┬┘                      └┬┘
         ─┬─                       │
    U₀    +                        │
         ─┴─                       │
          │                        │
         K_0 ──────────────────── K_0

$R_3$ und $R_2$ liegen in Reihe, diese Reihenschaltung liegt parallel zu… – nein, hier ist die Topologie anders:

Der Strom von $U_0$ fließt durch $R_1$, teilt sich dann bei K_A auf: ein Teil fließt durch $R_3$ und $R_2$ zurück zu K_0.

Ersatzwiderstand:
$R_3$ und $R_2$ liegen in Reihe:

$$R_{32}=R_3+R_2=220\Omega +180\Omega =400\Omega$$

Diese Reihenschaltung liegt parallel zu… – da kein weiterer Pfad existiert, ist der Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges},\mathrm{U}}=R_1+R_{32}=120\Omega +400\Omega =520\Omega$$

Gesamtstrom:

$$I_{\mathrm{ges},\mathrm{U}}=\frac{U_0}{R_{\mathrm{ges},\mathrm{U}}}=\frac{24,0\mathrm{V}}{520\Omega }=46,15\mathrm{mA}$$

Strom durch $R_3$ (= Gesamtstrom, da Reihenschaltung):

$$I_{3,U}=I_{\mathrm{ges},\mathrm{U}}=46,15\mathrm{mA}$$

Der Strom fließt von K_A nach K_B, also in positive Richtung.

Nur $I_0$ aktiv (Spannungsquelle $U_0$ deaktiviert = Kurzschluss)

Wenn die Spannungsquelle kurzgeschlossen wird:

         K_A ────────R₃────────── K_B
          │                        │
         ┌┴┐                      ┌┴┐
         │ │ R₁                   │ │ R₂    ↑ I₀
         └┬┘                      └┬┘
          │                        │
         K_0 ──────────────────── K_0

Die Stromquelle $I_0$ speist den Strom in den Knoten K_B. Dieser Strom teilt sich auf:

• Teil durch $R_2$ nach K_0
• Teil durch $R_3$ und $R_1$ nach K_0

Parallelschaltung von $R_2$ und $(R_3+R_1)$:

$$R_{31}=R_3+R_1=220\Omega +120\Omega =340\Omega$$

Die Stromaufteilung erfolgt nach der Stromteilerregel. Der Strom durch den Zweig mit $R_3$ und $R_1$:

$$I_{3,I}=I_0\cdot \frac{R_2}{R_2+R_{31}}=50\mathrm{mA}\cdot \frac{180\Omega }{180\Omega +340\Omega }$$ $$I_{3,I}=50\mathrm{mA}\cdot \frac{180}{520}=50\mathrm{mA}\cdot 0,346=17,31\mathrm{mA}$$

Dieser Strom fließt von K_B nach K_A (zur Masse über $R_1$), also in negative Richtung bezüglich unserer Konvention.

$$I_{3,I}=-17,31\mathrm{mA}$$

Überlagerung

$$I_3=I_{3,U}+I_{3,I}=46,15\mathrm{mA}+(-17,31\mathrm{mA})$$ $$I_3=46,15\mathrm{mA}-17,31\mathrm{mA}=28,85\mathrm{mA}\approx \underline{28,8\mathrm{mA}}$$

Der positive Wert bedeutet: Der resultierende Strom fließt von links nach rechts (K_A → K_B).

c) Spannung über $R_3$ und Leistungsbilanz

Spannung über $R_3$:

$$U_3=R_3\cdot I_3=220\Omega \cdot 28,85\mathrm{mA}=220\Omega \cdot 0,02885\mathrm{A}=6,35\mathrm{V}\approx \underline{6,3\mathrm{V}}$$

Berechnung aller Ströme für die Leistungsbilanz:

Spannung am Knoten K_A (gegen K_0):

$$U_{\mathrm{A}}=U_0-R_1\cdot I_1$$

Zunächst brauchen wir $I_1$. Der Strom durch $R_1$ ist:

$$I_1=I_3+I_{R2,\mathrm{von}\mathrm{A}}$$

Da die Schaltung komplex ist, berechnen wir die Spannungen direkt:

Alternative: Knotenspannungen berechnen

Aus der Superposition kennen wir $I_3=28,85\mathrm{mA}$.

Spannung $U_3=6,35\mathrm{V}$ (von K_A nach K_B).

Strom durch $R_1$ (von $U_0$ nach K_A):
Der Strom $I_1$ ergibt sich aus der Maschengleichung links:

$$U_0=U_{R1}+U_{\mathrm{A}}$$

wobei $U_{\mathrm{A}}$ die Spannung am Knoten K_A ist.

Strom durch $R_2$:

$$U_{\mathrm{B}}=U_{\mathrm{A}}-U_3$$ $$I_{R2}=\frac{U_{\mathrm{B}}}{R_2}$$

Knotengleichung bei K_B:

$$I_3+I_0=I_{R2}$$ $$I_{R2}=I_3+I_0=28,85\mathrm{mA}+50\mathrm{mA}=78,85\mathrm{mA}$$

Spannung $U_{\mathrm{B}}$:

$$U_{\mathrm{B}}=R_2\cdot I_{R2}=180\Omega \cdot 78,85\mathrm{mA}=14,19\mathrm{V}$$

Spannung $U_{\mathrm{A}}$:

$$U_{\mathrm{A}}=U_{\mathrm{B}}+U_3=14,19\mathrm{V}+6,35\mathrm{V}=20,54\mathrm{V}$$

Strom $I_1$:

$$I_1=\frac{U_0-U_{\mathrm{A}}}{R_1}=\frac{24,0\mathrm{V}-20,54\mathrm{V}}{120\Omega }=\frac{3,46\mathrm{V}}{120\Omega }=28,85\mathrm{mA}$$

Kontrolle Knotengleichung K_A:

$$I_1=I_3\Rightarrow 28,85\mathrm{mA}=28,85\mathrm{mA}✓$$

Leistungsbilanz:

Abgegebene Leistung der Quellen:

Spannungsquelle $U_0$:

$$P_{U_0}=U_0\cdot I_1=24,0\mathrm{V}\cdot 28,85\mathrm{mA}=692\mathrm{mW}$$

Stromquelle $I_0$ (Spannung über der Stromquelle = $U_{\mathrm{B}}$):

$$P_{I_0}=U_{\mathrm{B}}\cdot I_0=14,19\mathrm{V}\cdot 50\mathrm{mA}=710\mathrm{mW}$$ $$P_{\mathrm{Quellen}}=P_{U_0}+P_{I_0}=692+710=1402\mathrm{mW}$$

Umgesetzte Leistung in den Widerständen:

$$P_{R_1}=I_1^2\cdot R_1=(28,85\mathrm{mA}{)}^2\cdot 120\Omega =100\mathrm{mW}$$ $$P_{R_2}=I_{R2}^2\cdot R_2=(78,85\mathrm{mA}{)}^2\cdot 180\Omega =1119\mathrm{mW}$$ $$P_{R_3}=I_3^2\cdot R_3=(28,85\mathrm{mA}{)}^2\cdot 220\Omega =183\mathrm{mW}$$ $$P_{\mathrm{Widerst}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{nde}}=100+1119+183=1402\mathrm{mW}$$

Bilanz:

$$P_{\mathrm{Quellen}}=1402\mathrm{mW}=P_{\mathrm{Widerst}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{nde}}✓$$

Superposition mit Stromquellen

Bei der Superposition mit Stromquellen ist zu beachten:

1. Deaktivierung: Stromquellen werden durch Leerlauf (Entfernen) deaktiviert, nicht durch Kurzschluss!
2. Stromteiler: Bei aktiver Stromquelle teilt sich der eingeprägte Strom auf die parallelen Zweige auf
3. Richtung beachten: Die Stromrichtungen der Teilbeiträge können entgegengesetzt sein – Vorzeichen sorgfältig berücksichtigen!