Übung ET1-08.03 — Kapazitätsberechnung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-16)

Bezug zu ET1-08 Kapazität und Kondensator

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Aufgabe

Der skizzierte Plattenkondensator ist gegeben mit folgenden Daten:

• Fläche $A=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$
• Plattenabstand $d=400\mu \mathrm{m}$
• Permittivität $\epsilon ={\epsilon }_r\cdot {\epsilon }_0$ mit ${\epsilon }_0=8,8542\cdot 10^{-12}F/m$

Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
a) als Luftkondensator (${\epsilon }_r=1$)
b) mit Keramik-Dielektrikum (${\epsilon }_r=100$):

Lösung

a) $C\approx 11\mathrm{pF}$
b) $C\approx 1,1\mathrm{nF}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Explizit gegeben:

• Plattenfläche: $A=500\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=5,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$
• Plattenabstand: $d=400\mu \mathrm{m}=4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}$
• Elektrische Feldkonstante: ${\epsilon }_0=8,8542\cdot 10^{-12}F/m$
• Relative Permittivität Luft: ${\epsilon }_r=1$ (Teilaufgabe a)
• Relative Permittivität Keramik: ${\epsilon }_r=100$ (Teilaufgabe b)

Bekannt:

• Kapazität des Plattenkondensators: $C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$
• Permittivität: $\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r$

Gesucht:
a) Kapazität $C$ für Luftkondensator in $\mathrm{F}$
b) Kapazität $C$ für Keramikkondensator in $\mathrm{F}$

a) Kapazität als Luftkondensator

Mit ${\epsilon }_r=1$ ergibt sich:

$$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}=\frac{8,8542\cdot 10^{-12}F/m\cdot 1\cdot 5,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}}$$ $$C=\frac{44,271\cdot 10^{-16}\mathrm{F}\cdot \mathrm{m}}{4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}}=11,068\cdot 10^{-12}\mathrm{F}=\underline{11\mathrm{pF}}$$

b) Kapazität mit Keramik-Dielektrikum

Mit ${\epsilon }_r=100$ ergibt sich:

$$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}=\frac{8,8542\cdot 10^{-12}F/m\cdot 100\cdot 5,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}}$$ $$C=\frac{4427,1\cdot 10^{-16}\mathrm{F}\cdot \mathrm{m}}{4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{m}}=1106,8\cdot 10^{-12}\mathrm{F}=\underline{1,1\mathrm{nF}}$$

Alternativ:

$$C={\epsilon }_r\cdot C_{\mathrm{Luft}}=100\cdot 11\mathrm{pF}=\underline{1,1\mathrm{nF}}$$

Einfluss des Dielektrikums

Die relative Permittivität ${\epsilon }_r$ gibt an, um welchen Faktor sich die Kapazität gegenüber einem Vakuum bzw. Luft (${\epsilon }_r=1$) erhöht.

Durch das Keramik-Dielektrikum mit ${\epsilon }_r=100$ wird die Kapazität um den Faktor 100 erhöht. Dies ermöglicht bei gleichen Abmessungen deutlich höhere Kapazitätswerte, was Kondensatoren für praktische Anwendungen erst nutzbar macht.

Typische Werte für ${\epsilon }_r$:

• Vakuum/Luft: ${\epsilon }_r\approx 1$
• Papier: ${\epsilon }_r\approx 2,5$
• Keramik: ${\epsilon }_r\approx 10\text{ bis }10000$
• Wasser: ${\epsilon }_r\approx 80$