Übung ET1-08.06 — RC-Glied Entlade-Ladevorgang Kapazität (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-16)

Bezug zu ET1-08 Kapazität und Kondensator

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Aufgabe

Die skizzierte Schaltung ist gegeben mit folgenden Werten:
$U=18\mathrm{V}$, $R=1\mathrm{k\Omega }$, $C=7000\mu \mathrm{F}$

a) In der gezeigten Schaltung hat sich der Schalter S minutenlang in der Stellung $1$ befunden. Wie hoch ist die Spannung $u_c$ (in $\mathrm{V}$)?

b) Nun wird der Schalter in die Stellung $2$ gebracht. Wie lange dauert es, bis sich an der Kapazität etwa die Hälfte der Ladespannung aufgebaut hat (in $\mathrm{s}$)?

c) Nach welcher Zeit $t$ ist der Kondensator praktisch voll geladen (in $\mathrm{s}$)?

Lösung

a) $u_c=0\mathrm{V}$
b) $t=5\mathrm{s}$
c) $t=35\mathrm{s}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Explizit gegeben:

• Quellenspannung: $U=18\mathrm{V}$
• Widerstand: $R=1\mathrm{k\Omega }=1000\Omega$
• Kapazität: $C=7000\mu \mathrm{F}=7\cdot 10^{-3}\mathrm{F}=7\mathrm{mF}$

Bekannt:

• Ladevorgang: $u_{\mathrm{C}}(t)=U\cdot (1-e^{-\frac{t}{\tau }})$
• Entladevorgang: $u_{\mathrm{C}}(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$
• Zeitkonstante: $\tau =R\cdot C$
• Praktisch vollständig: nach $t=5\tau$

Gesucht:
a) Kondensatorspannung $u_c$ nach vollständigem Entladen in $\mathrm{V}$
b) Zeit $t$ bis zur halben Ladespannung in $\mathrm{s}$
c) Zeit $t$ für vollständige Ladung in $\mathrm{s}$

a) Kondensatorspannung in Stellung 1

In Schalterstellung 1 entlädt sich der Kondensator über beide Widerstände $R$ (vgl. Schaltbild).

Zeitkonstante:

$$\tau =2R\cdot C=2\cdot 1000\Omega \cdot 7\cdot 10^{-3}\mathrm{F}=14\mathrm{s}$$

Zeit für praktische Entladung:

$$t_{\mathrm{entladen}}=5\tau =5\cdot 14\mathrm{s}=70\mathrm{s}$$

Da der Schalter minutenlang (also deutlich länger als $70\mathrm{s}$) in Stellung 1 war, ist der Kondensator praktisch vollständig entladen:

$$u_c=\underline{0\mathrm{V}}$$

b) Zeit bis zur halben Ladespannung

Beim Umschalten in Stellung 2 lädt sich der Kondensator auf. Die halbe Ladespannung beträgt:

$$u_{\mathrm{C}}(t)=\frac{U}{2}=9\mathrm{V}$$

Mit der Ladegleichung:

$$\frac{U}{2}=U\cdot \left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$ $$\frac{1}{2}=1-e^{-\frac{t}{\tau }}$$ $$e^{-\frac{t}{\tau }}=\frac{1}{2}$$ $$-\frac{t}{\tau }=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)$$ $$t=\tau \cdot \ln (2)=7\mathrm{s}\cdot 0,693=4,85\mathrm{s}\approx \underline{5\mathrm{s}}$$

c) Zeit für vollständige Ladung

Ein Kondensator gilt als praktisch vollständig geladen, wenn $t=5\tau$ vergangen ist:

$$t=5\cdot \tau =5\cdot 7\mathrm{s}=\underline{35\mathrm{s}}$$

Zu diesem Zeitpunkt hat der Kondensator 99,3% der Endspannung erreicht.

Ladevorgang

Beim Ladevorgang steigt die Spannung am Kondensator exponentiell an und nähert sich asymptotisch der Quellenspannung $U$.

Charakteristische Zeitpunkte beim Laden:

• Nach $t=0,69\tau \approx 5\mathrm{s}$: Spannung erreicht 50% der Endspannung (9 V)
• Nach $t=\tau =7\mathrm{s}$: Spannung erreicht 63% der Endspannung (11,3 V)
• Nach $t=5\tau =35\mathrm{s}$: Spannung erreicht 99,3% der Endspannung (17,9 V)

Die Zeit $t_{1/2}=\tau \cdot \ln (2)$ wird als Halbwertszeit bezeichnet und ist unabhängig von der Amplitude - eine fundamentale Eigenschaft exponentieller Prozesse.