Übung ET1-08.04 — RC-Glied Entladevorgang Kapazität (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-15)

Bezug zu ET1-08 Kapazität und Kondensator

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Aufgabe

Ein Kondensator mit der Kapazität $C=33\mu \mathrm{F}$ ist auf die Spannung $U_0=11\mathrm{V}$ aufgeladen. Nun wird er über einen Widerstand $R=8\mathrm{M\Omega }$ entladen.

a) Wie groß ist die Stromstärke $I_0=i(t=0)$ zu Beginn der Entladung?
(Geben Sie das gerundete Ergebnis ganzzahlig in $\mu \mathrm{A}$ an.)

b) Welche Energie $W$ ist zum Zeitpunkt $t=2\tau$ im Kondensator gespeichert?
(Geben Sie das gerundete Ergebnis ganzzahlig in $\mu \mathrm{J}$ an.)

c) Nach welcher Zeit $t$ ist der Kondensator praktisch entladen?
(Geben Sie das gerundete Ergebnis ganzzahlig in $\mathrm{s}$ an.)

Lösung

a) $I_0=1\mu \mathrm{A}$
b) $W=37\mu \mathrm{J}$
c) $t=1320\mathrm{s}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Explizit gegeben:

• Kapazität: $C=33\mu \mathrm{F}=33\cdot 10^{-6}\mathrm{F}$
• Anfangsspannung: $U_0=11\mathrm{V}$
• Entladewiderstand: $R=8\mathrm{M\Omega }=8\cdot 10^6\Omega$

Bekannt:

• Entladestrom: $i_{\mathrm{C}}(t)=-\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$
• Kondensatorspannung beim Entladen: $u_{\mathrm{C}}(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$
• Zeitkonstante: $\tau =R\cdot C$
• Energie im Kondensator: $W=\frac{1}{2}C{U}^2$
• Praktisch entladen: nach $t=5\tau$

Gesucht:
a) Anfangsstromstärke $I_0$ in $\mu \mathrm{A}$
b) Energie $W$ bei $t=2\tau$ in $\mu \mathrm{J}$
c) Zeit $t$ für praktische Entladung in $\mathrm{s}$

a) Anfangsstromstärke

Zu Beginn der Entladung ($t=0$) gilt für den Betrag der Stromstärke:

$$I_0=\left|i_{\mathrm{C}}(t=0)\right|=\left|-\frac{U_0}{R}\right|=\frac{U_0}{R}$$ $$I_0=\frac{11\mathrm{V}}{8\cdot 10^6\Omega }=1,375\cdot 10^{-6}\mathrm{A}=1,375\mu \mathrm{A}\approx \underline{1\mu \mathrm{A}}$$

b) Energie bei $t=2\tau$

Zeitkonstante:

$$\tau =R\cdot C=8\cdot 10^6\Omega \cdot 33\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=264\mathrm{s}$$

Spannung bei $t=2\tau$:

$$u_{\mathrm{C}}(t=2\tau )=U_0\cdot e^{-\frac{2\tau }{\tau }}=11\mathrm{V}\cdot e^{-2}$$ $$u_{\mathrm{C}}(t=2\tau )=11\mathrm{V}\cdot 0,1353=1,489\mathrm{V}$$

Gespeicherte Energie:

$$W=\frac{1}{2}C\cdot u_{\mathrm{C}}^2=\frac{1}{2}\cdot 33\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot (1,489\mathrm{V}{)}^2$$ $$W=0,5\cdot 33\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot 2,217{\mathrm{V}}^2=36,58\cdot 10^{-6}\mathrm{J}=\underline{37\mu \mathrm{J}}$$

c) Zeit für praktische Entladung

Ein Kondensator gilt als praktisch entladen, wenn $t=5\tau$ vergangen ist:

$$t=5\cdot \tau =5\cdot 264\mathrm{s}=\underline{1320\mathrm{s}}$$

Dies entspricht 22 Minuten.

Entladevorgang

Der Entladestrom ist zu Beginn maximal und nimmt dann exponentiell ab. Die im Kondensator gespeicherte Energie nimmt quadratisch mit der Spannung ab, da $W\sim U^2$.

Nach der Zeit $t=2\tau$ ist die Spannung auf etwa 13,5% des Anfangswerts gesunken. Die verbleibende Energie beträgt dann nur noch etwa $(0,135{)}^2\approx 1,8\%$ der Anfangsenergie.

Die lange Entladezeit von über 20 Minuten ergibt sich aus dem sehr hohen Widerstand von $8\mathrm{M\Omega }$ – dies entspricht dem Isolationswiderstand eines realen Kondensators.