Übung ET1-08.05 — RC-Glied Lade-Entladevorgang Kapazität (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-18)

Bezug zu ET1-08 Kapazität und Kondensator

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Aufgabe

Die skizzierte Schaltung ist gegeben mit folgenden Werten:
$U=18\mathrm{V}$, $R=700\Omega$, $C=10.000\mu \mathrm{F}$

a) In der gezeigten Schaltung hat sich der Schalter S minutenlang in der Stellung $2$ befunden. Wie hoch ist die Spannung $u_c$ (in $\mathrm{V}$)?

b) Nun wird der Schalter in die Stellung $1$ gebracht. Wie hoch ist der maximale Strom $i$, der durch die Schaltung fließt (in $\mathrm{mA}$)?

c) Nach welcher Zeit $t$ hat sich die Spannung an der Kapazität halbiert (in $\mathrm{s}$)?

Lösung

a) $u_c=18\mathrm{V}$
b) $i_{\max }=13\mathrm{mA}$
c) $t=10\mathrm{s}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Explizit gegeben:

• Quellenspannung: $U=18\mathrm{V}$
• Widerstand: $R=700\Omega$
• Kapazität: $C=10.000\mu \mathrm{F}=10\cdot 10^{-3}\mathrm{F}=10\mathrm{mF}$

Bekannt:

• Entladevorgang: $u_{\mathrm{C}}(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$, $i_{\mathrm{C}}(t)=-\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$
• Ladevorgang: $u_{\mathrm{C}}(t)=U\cdot (1-e^{-\frac{t}{\tau }})$
• Zeitkonstante: $\tau =R\cdot C$
• Praktisch vollständig: nach $t=5\tau$

Gesucht:
a) Kondensatorspannung $u_c$ im voll geladenen Zustand in $\mathrm{V}$
b) Maximaler Strom $i_{\max }$ beim Entladevorgang in $\mathrm{mA}$
c) Zeit $t$ bis zur Halbierung der Anfangsspannung in $\mathrm{s}$

a) Kondensatorspannung in Stellung 2

In Schalterstellung 2 ist der Kondensator mit der Spannungsquelle verbunden und wird geladen.

Zeitkonstante:

$$\tau =R\cdot C=700\Omega \cdot 10\cdot 10^{-3}\mathrm{F}=7\mathrm{s}$$

Zeit für praktisch vollständige Ladung:

$$t_{\mathrm{laden}}=5\tau =5\cdot 7\mathrm{s}=35\mathrm{s}$$

Da der Schalter minutenlang (also deutlich länger als $35\mathrm{s}$) in Stellung 2 war, ist der Kondensator praktisch vollständig auf die Quellenspannung geladen:

$$u_c=U=\underline{18\mathrm{V}}$$

b) Maximaler Strom beim Entladen

Beim Umschalten in Stellung 1 entlädt sich der Kondensator über beide Widerstände $R$ (vgl. Schaltbild), sodass der Gesamtwiderstand im Entladepfad $2R$ beträgt. Der maximale Strom fließt im Einschaltmoment ($t=0$), wenn der Kondensator noch vollständig auf $U_0=18\mathrm{V}$ geladen ist:

$$i_{\max }=\left|i_{\mathrm{C}}(t=0)\right|=\frac{U_0}{2R}=\frac{18\mathrm{V}}{2\cdot 700\Omega }=\frac{18\mathrm{V}}{1400\Omega }=0,01286\mathrm{A}$$ $$i_{\max }=12,86\mathrm{mA}\approx \underline{13\mathrm{mA}}$$

c) Zeit bis zur Halbierung der Spannung

Beim Entladevorgang soll die Kondensatorspannung von $U_0=18\mathrm{V}$ auf die Hälfte sinken:

$$u_{\mathrm{C}}(t)=\frac{U_0}{2}=9\mathrm{V}$$

Mit der Entladegleichung:

$$\frac{U_0}{2}=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$ $$\frac{1}{2}=e^{-\frac{t}{\tau }}$$ $$\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{t}{\tau }$$ $$-\ln (2)=-\frac{t}{\tau }$$

Mit der Entlade-Zeitkonstante (Strom fließt durch $2R$):

$$\tau =2R\cdot C=2\cdot 700\Omega \cdot 10\cdot 10^{-3}\mathrm{F}=14\mathrm{s}$$ $$t=\tau \cdot \ln (2)=14\mathrm{s}\cdot 0,693=9,70\mathrm{s}\approx \underline{10\mathrm{s}}$$

Halbwertszeit beim Entladen

Die Zeit, bis die Kondensatorspannung beim Entladen auf die Hälfte des Anfangswerts gesunken ist, beträgt $t_{1/2}=\tau \cdot \ln (2)\approx 0,69\tau$.

Diese Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert und analog zur Halbwertszeit beim radioaktiven Zerfall.

Vergleich der charakteristischen Zeiten beim Entladevorgang:

• Nach $t=0,69\tau$: Spannung auf 50% des Anfangswerts gesunken
• Nach $t=\tau$: Spannung auf 37% des Anfangswerts gesunken
• Nach $t=5\tau$: Spannung auf 0,7% des Anfangswerts gesunken (praktisch vollständig entladen)