ET1-07 Analyse linearer Schaltungen

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-11)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Was bedeutet es für die Schaltungsanalyse, wenn mehr als eine Quelle vorkommt?
• Wie kann eine lineare Schaltung universell modelliert werden?
• Wann kommt welche der bisher erlernten Methode zum Einsatz?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Schaltungen mit mehreren Quellen analysieren und berechnen.
• Ersatzschaltungen modellieren.
• Die erlernten Methoden zur Analyse beliebiger linearer Schaltungen anwenden.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Superpositionsprinzip
• Ersatzspannungsquelle
• Ersatzstromquelle

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:

• …

1 Superpositionsprinzip

Das Superpositionsprinzip (Helmholtzscher Überlagerungssatz) ermöglicht die Analyse linearer, bilateraler Schaltungen mit mehreren unabhängigen Quellen durch die separate Betrachtung jeder Quelle.

Was bedeutet „bilateral"?

Ein Bauelement ist bilateral, wenn es sich in beiden Stromrichtungen gleich verhält.

Bilateral (richtungsunabhängig)	Nicht bilateral (richtungsabhängig)
Widerstände	Dioden
Spannungsquellen	Transistoren
Stromquellen	Operationsverstärker

Da in ET1 nur bilaterale Bauelemente vorkommen, ist diese Bedingung hier stets erfüllt.

Prinzip: In einer linearen Schaltung mit mehreren unabhängigen Quellen ist die Gesamtwirkung (Strom oder Spannung an einem beliebigen Punkt) gleich der Summe der Einzelwirkungen aller Quellen.

Vorgehensweise:

1. Alle unabhängigen Quellen bis auf eine werden deaktiviert:
   • Spannungsquellen werden deaktiviert, in dem man sie durch Kurzschlüsse ersetzt ($U=0$).
   • Stromquellen werden deaktiviert, in dem man sie entfernt (Leerlauf, $I=0$).
2. Die Schaltung wird mit dieser einen aktiven Quelle analysiert.
3. Schritte 1 und 2 werden für alle Quellen wiederholt.
4. Die Einzelergebnisse werden algebraisch addiert. Vorzeichen beachten!

Anwendbarkeit

Das Superpositionsprinzip gilt nur für lineare, bilaterale Schaltungen.
Leistungen können nicht superponiert werden, da sie quadratisch von Strom bzw. Spannung abhängen.

Rechenbeispiel

Eine Schaltung besteht aus zwei Spannungsquellen $U_1=9,0\mathrm{V}$ und $U_2=7,0\mathrm{V}$ sowie drei Widerständen $R_1=220\Omega$, $R_2=150\Omega$ und $R_3=470\Omega$.

Schaltungstopologie: Die Spannungsquelle $U_1$ ist in Reihe mit $R_1$ geschaltet (linker Zweig). Die Spannungsquelle $U_2$ ist in Reihe mit $R_2$ geschaltet (rechter Zweig). Der Widerstand $R_3$ liegt im Mittelzweig direkt zwischen dem oberen und unteren Knoten, also parallel zu den Klemmen beider Quellen. Alle drei Zweige sind parallel zueinander zwischen denselben zwei Knoten geschaltet.

Gesucht: Strom $I_3$ durch $R_3$ (positive Richtung: von oben nach unten).

Lösung mit Superposition:

Nur $U_1$ aktiv ($U_2$ kurzgeschlossen, d.h. $U_2=0$):
Wenn $U_2$ kurzgeschlossen ist, liegt $R_2$ parallel zu $R_3$ zwischen oberem und unterem Knoten. Die errechneten Größen erhalten den Index „1“ als Kennzeichen für die Quelle $U_1$.

Parallelwiderstand:

$$R_{23}=\frac{R_2\cdot R_3}{R_2+R_3}=\frac{150\Omega \cdot 470\Omega }{150\Omega +470\Omega }=\frac{70500{\Omega }^2}{620\Omega }\approx 113,71\Omega$$

Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges},1}=R_1+R_{23}=220\Omega +113,71\Omega =333,71\Omega$$

Gesamtstrom:

$$I_{\mathrm{ges},1}=\frac{U_1}{R_{\mathrm{ges},1}}=\frac{9,00\mathrm{V}}{333,71\Omega }\approx 26,97\mathrm{mA}$$

Spannung an $R_{23}$:

$$U_{23}=U_1-I_{\mathrm{ges},1}\cdot R_1=9,0\mathrm{V}-0,02697\mathrm{A}\cdot 220\Omega \approx 3,067\mathrm{V}$$

Strom durch $R_3$:

$$I_{3,1}=\frac{U_{23}}{R_3}=\frac{3,067}{470}\approx 6,52\mathrm{mA}$$

Nur $U_2$ aktiv ($U_1$ kurzgeschlossen, d.h. $U_1=0$):
Wenn $U_1$ kurzgeschlossen ist, liegt $R_1$ parallel zu $R_3$ zwischen oberem und unterem Knoten. Die errechneten Größen erhalten den Index „2” als Kennzeichen für die Quelle $U_2$.

Parallelwiderstand:

$$R_{13}=\frac{R_1\cdot R_3}{R_1+R_3}=\frac{220\Omega \cdot 470\Omega }{220\Omega +470\Omega }=\frac{103400{\Omega }^2}{690\Omega }\approx 149,86\Omega$$

Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges},2}=R_2+R_{13}=150\Omega +149,86\Omega =299,86\Omega$$

Gesamtstrom:

$$I_{\mathrm{ges},2}=\frac{U_2}{R_{\mathrm{ges},2}}=\frac{7,00\mathrm{V}}{299,86\Omega }\approx 23,34\mathrm{mA}$$

Spannung an $R_{13}$:

$$U_{13}=U_2-I_{\mathrm{ges},2}\cdot R_2=7,0\mathrm{V}-0,02334\mathrm{A}\cdot 150\Omega \approx 3,498\mathrm{V}$$

Strom durch $R_3$:

$$I_{3,2}=\frac{U_{13}}{R_3}=\frac{3,498\mathrm{V}}{470\Omega }\approx 7,44\mathrm{mA}$$

Überlagerung:
Beide Teilströme fließen in dieselbe Richtung (von oben nach unten) durch $R_3$:

$$I_3=I_{3,1}+I_{3,2}=6,52\mathrm{mA}+7,44\mathrm{mA}=13,968\mathrm{mA}\approx \underline{14,0\mathrm{mA}}$$

Das Ergebnis wird durch die Simulation bestätigt:

Genauigkeit im Rechenbeispiel

In diesem Rechenbeispiel wurden die Zwischenergebnisse zur Verdeutlichung der Rundung mit mehr Nachkommastellen angegeben, als gemäß den signifikanten Ziffern sinnvoll. Das Ergebnis wurde entsprechend der in der Aufgabe gegebenen Werte mit drei signifikanten Ziffern angegeben.

2 Ersatzschaltungen

Ersatzschaltungen sind vereinfachte Modelle komplexerer Netzwerke, die das Verhalten an zwei Anschlussklemmen exakt nachbilden. Sie erleichtern die Analyse und Berechnung erheblich.

Bereits aus der Lektion ET1-05 ist der Ersatzwiderstand als Modell für ein lineares Widerstandsnetzwerk bekannt. Aus ET1-03 sind Ersatzspannungs- und Ersatzstromquellen als Modelle für einzelne lineare Quellen bekannt.

In diesem Kapitel erweitern wir das Konzept:
Jede lineare Schaltung, die zwischen zwei Klemmen außer Widerständen auch eine oder mehrere Spannungs- und/oder Stromquellen enthält, kann durch eine einfache Ersatzquelle ersetzt bzw. modelliert werden.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

• Ersatzspannungsquelle (Thévenin-Äquivalent)
• Ersatzstromquelle (Norton-Äquivalent)

2.1 Ersatzspannungsquelle (Thévenin-Theorem)

Theorem: Jede lineare Schaltung mit zwei Anschlussklemmen kann als Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U_{\mathrm{qe}}$ und dem Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}$ modelliert werden.

Bestimmung der Ersatzspannungsquelle:

1. Leerlaufspannung $U_{\mathrm{qe}}$: Spannung an den offenen Klemmen (ohne angeschlossene Last)
2. Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}$: Widerstand, der sich an den Klemmen ergibt, wenn alle unabhängigen Quellen im Netzwerk deaktiviert werden (Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen entfernen)

Die Klemmenspannung $U$ bei angeschlossenem Lastwiderstand $R_{\mathrm{L}}$ beträgt:

$$U=U_{\mathrm{qe}}-R_{\mathrm{ie}}\cdot I$$

mit dem Laststrom:

$$I=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{R_{\mathrm{ie}}+R_{\mathrm{L}}}$$

Dabei ist:

• $U_{\mathrm{qe}}$ die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle in Volt ($\mathrm{V}$)
• $R_{\mathrm{ie}}$ der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle in Ohm ($\Omega$)
• $R_{\mathrm{L}}$ der angeschlossene Lastwiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $I$ der sich einstellende Laststrom in Ampere ($\mathrm{A}$)

Rechenbeispiel

Eine Schaltung bestehend aus einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U_0=24\mathrm{V}$ und dem Innenwiderstand $R_{\mathrm{iq}}=10\Omega$ sowie einem dazu in Reihe geschalteten Vorwiderstand $R_{\mathrm{V}}=50\Omega$ soll als Ersatzspannungsquelle dargestellt werden.

Gesucht:
Leerlaufspannung und Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle $U_{\mathrm{qe}}$ und $R_{\mathrm{ie}}$.

Lösung:

Leerlaufspannung (ohne Last, offene Klemmen):

In dieser Schaltung liegt nun die gesamte Quellenspannung/Leerlaufspannung an den Klemmen der Ersatzquelle an, daher gilt:

$$U_{\mathrm{qe}}=U_0=\underline{24\mathrm{V}}$$

Innenwiderstand (Quelle deaktiviert, hier: kurzgeschlossen):

Der Ersatzwiderstand der Schaltung ist:

$$R_{\mathrm{ie}}=R_{\mathrm{iq}}+R_{\mathrm{V}}=10+50=\underline{60\Omega }$$

Quelle deaktivieren – warum durch Kurzschluss?

Zur Ermittlung des Ersatzwiderstandes muss die Quelle deaktiviert werden.
Laut Aufgabe enthält die zu modellierende Schaltung eine Spannungsquelle.
Spannungsquellen werden deaktiviert, in dem sie kurzgeschlossen werden.
Wäre lt. Aufgabe eine Stromquelle Teil der Schaltung, so wäre diese durch Auftrennung der Anschlüsse zu deaktivieren.

2.2 Ersatzstromquelle (Norton-Theorem)

Theorem: Jede lineare Schaltung mit zwei Anschlussklemmen kann als Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Kurzschlussstrom $I_{\mathrm{qe}}$ und dem Innenleitwert $G_{\mathrm{ie}}$ (bzw. Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}=G_{\mathrm{ie}}^{-1}$) modelliert werden. Diese Ersatzquelle wird auch als Norton-Äquivalent bezeichnet.

Bestimmung der Ersatzstromquelle:

1. Kurzschlussstrom $I_{\mathrm{qe}}$: Strom durch die kurzgeschlossenen Klemmen
2. Innenleitwert $G_{\mathrm{ie}}$: Entspricht dem Kehrwert des Innenwiderstands: $G_{\mathrm{ie}}=\frac{1}{R_{\mathrm{ie}}}$

Der Klemmenstrom $I$ bei angeschlossenem Lastwiderstand $R_{\mathrm{L}}$ beträgt:

$$I=I_{\mathrm{qe}}-G_{\mathrm{ie}}\cdot U$$

mit der Klemmenspannung:

$$U=\frac{I_{\mathrm{qe}}}{G_{\mathrm{ie}}+G_{\mathrm{L}}}=\frac{I_{\mathrm{qe}}\cdot R_{\mathrm{ie}}\cdot R_{\mathrm{L}}}{R_{\mathrm{ie}}+R_{\mathrm{L}}}$$

Dabei ist:

• $I_{\mathrm{qe}}$ der Kurzschlussstrom der Ersatzstromquelle in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $G_{\mathrm{ie}}$ der Innenleitwert der Ersatzstromquelle in Siemens ($\mathrm{S}$)
  • $R_{\mathrm{ie}}$ der Innenwiderstand der Ersatzstromquelle in Ohm ($\Omega$)
• $G_{\mathrm{L}}$ der Leitwert der angeschlossenen Last in Siemens ($\mathrm{S}$)
  • $R_{\mathrm{L}}$ der angeschlossene Lastwiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $U$ die sich einstellende Klemmenspannung in Volt ($\mathrm{V}$)

Rechenbeispiel

Die Schaltung aus dem vorherigen Rechenbeispiel, bestehend aus einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U_0=24\mathrm{V}$ und dem Innenwiderstand $R_{\mathrm{iq}}=10\Omega$ sowie einem dazu in Reihe geschalteten Vorwiderstand $R_{\mathrm{V}}=50\Omega$, soll nun als Ersatzstromquelle dargestellt werden.

Gesucht:
Kurzschlussstrom und Innenleitwert der Ersatzstromquelle $I_{\mathrm{qe}}$ und $G_{\mathrm{ie}}$.

Lösung:

Kurzschlussstrom (Klemmen kurzgeschlossen, Strom durch die Reihenschaltung):

$$I_{\mathrm{qe}}=\frac{U_0}{R_{\mathrm{iq}}+R_{\mathrm{V}}}=\frac{24\mathrm{V}}{10\Omega +50\Omega }=\frac{24\mathrm{V}}{60\Omega }=\underline{0,4\mathrm{A}}$$

Innenwiderstand (Quelle deaktiviert, hier: kurzgeschlossen):

$R_{\mathrm{ie}}=R_{\mathrm{iq}}+R_{\mathrm{V}}=10+50=60\Omega$

Innenleitwert: $G_{\mathrm{ie}}=\frac{1}{R_{\mathrm{ie}}}=\frac{1}{60\Omega }\approx \underline{16,7\mathrm{mS}}$

Quelle deaktivieren – warum durch Kurzschluss?

Zur Ermittlung des Ersatzwiderstandes muss die Quelle deaktiviert werden.
Laut Aufgabe enthält die zu modellierende Schaltung eine Spannungsquelle.
Spannungsquellen werden deaktiviert, in dem sie kurzgeschlossen werden.
Wäre lt. Aufgabe eine Stromquelle Teil der Schaltung, so wäre diese durch Auftrennung der Anschlüsse zu deaktivieren.

2.3 Zusammenhang zwischen den Ersatzschaltungen

Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle beschreiben dasselbe Netzwerk. Sie können ineinander umgerechnet werden:

$$U_{\mathrm{qe}}=R_{\mathrm{ie}}\cdot I_{\mathrm{qe}}$$ $$I_{\mathrm{qe}}=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{R_{\mathrm{ie}}}=G_{\mathrm{ie}}\cdot U_{\mathrm{qe}}$$ $$R_{\mathrm{ie}}=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{I_{\mathrm{qe}}}=\frac{1}{G_{\mathrm{ie}}}$$

Rechenbeispiel

Die Ersatzstromquelle aus dem vorherigen Rechenbeispiel mit $I_{\mathrm{qe}}=0,4\mathrm{A}$ und $G_{\mathrm{ie}}=16,7\mathrm{mS}$ und die Ersatzspannungsquelle aus Rechenbeispiel davor mit $U_{\mathrm{qe}}=24\mathrm{V}$ und $R_{\mathrm{ie}}=60\Omega$ beschreiben dieselbe Schaltung.
Dies lässt sich durch Umrechnung bestätigen:

a) Von Ersatzspannungsquelle zu Ersatzstromquelle:

$$I_{\mathrm{qe}}=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{R_{\mathrm{ie}}}=\frac{24\mathrm{V}}{60\Omega }=\underline{0,4\mathrm{A}}$$ $$G_{\mathrm{ie}}=\frac{1}{R_{\mathrm{ie}}}=\frac{1}{60\Omega }\approx \underline{16,7\mathrm{mS}}$$

b) Von Ersatzstromquelle zu Ersatzspannungsquelle:

$$U_{\mathrm{qe}}=R_{\mathrm{ie}}\cdot I_{\mathrm{qe}}=60\Omega \cdot 0,4\mathrm{A}=\underline{24\mathrm{V}}$$ $$R_{\mathrm{ie}}=\frac{1}{G_{\mathrm{ie}}}=\frac{1}{16,7\mathrm{mS}}\approx \underline{60\Omega }$$

Die Umrechnung bestätigt die Äquivalenz beider Ersatzschaltungen.

Praktischer Nutzen

Ersatzschaltungen vereinfachen die Analyse komplexer Netzwerke erheblich. Insbesondere bei der Untersuchung verschiedener Lastfälle muss nur die Ersatzschaltung mit unterschiedlichen Lastwiderständen berechnet werden, nicht das gesamte ursprüngliche Netzwerk.

3 Hierarchie der Methoden zur linearen Schaltungsanalyse

Die Methoden zur Analyse linearer Schaltungen bauen aufeinander auf: vom physikalischen Fundament über die Netzstruktur und mathematische Lösung bis hin zur Modellierung und Analyse komplexer Systeme.

3.1 Ohmsches Gesetz

Das Ohm’sche Gesetz beschreibt die lokale Beziehung zwischen Strom, Spannung und Widerstand in jedem Zweig einer Schaltung:

$$U=R\cdot I$$

Es bildet die Grundlage aller weiteren Methoden und ermöglicht das Einsetzen physikalischer Größen in die Kirchhoff-Gleichungen. In einfachen Schaltungen mit einer Quelle und einem oder wenigen Widerständen reicht das Ohm’sche Gesetz oft bereits für die vollständige Berechnung aus.

3.2 Ersatzwiderstand

Die Berechnung von Ersatzwiderständen ermöglicht elementare Vereinfachungen von Widerstandsnetzwerken. Mehrere Widerstände können durch einen einzigen Ersatzwiderstand ersetzt werden. Dies dient als erster Schritt zur Netzreduktion.

Reihenschaltung (ET1-05):

$$R_{\mathrm{ges}}=\sum _{i=1}^n{R}_i=R_1+R_2+\cdots +R_n$$

Parallelschaltung (ET1-05):

$$R_{\mathrm{ges}}={\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}\right)}^{-1}$$

Stern-Dreieck-/Dreieck-Stern-Umwandlung (ET1-05):
Für komplexere Netzstrukturen, die sich nicht durch einfache Reihen- und Parallelschaltungen vereinfachen lassen, können Stern-Dreieck-Umwandlungen eingesetzt werden. Diese Transformationen ändern die Netzstruktur, ohne das elektrische Verhalten an den äußeren Klemmen zu beeinflussen.

3.3 Kirchhoff’sche Regeln

Die Kirchhoff’schen Regeln sind die physikalischen Grundgesetze aller elektrischen Netzwerke.

Knotenpunktregel (1. Kirchhoff’scher Satz, KCL):
Beschreibt die Stromerhaltung an jedem Knoten eines Netzwerks. Die Summe aller zu einem Knoten hinfließenden Ströme ist gleich der Summe aller vom Knoten wegfließenden Ströme:

$$\sum _{k=1}^n{I}_k=0$$

Maschenregel (2. Kirchhoff’scher Satz, KVL):
Beschreibt die Spannungserhaltung in jeder geschlossenen Masche eines Netzwerks. Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist null:

$$\sum _{k=1}^n{U}_k=0$$

Die Kirchhoff’schen Regeln liefern zusammen mit dem Ohm’schen Gesetz ein vollständiges Gleichungssystem zur Berechnung aller Ströme und Spannungen in einem Netzwerk.

3.4 Universelle Schaltungsanalyse

Für komplexe Schaltungen mit mehreren Quellen und Widerständen stehen systematische Verfahren zur Verfügung:

Maschenauftrennung/Vollständiger Baum:
Die systematische Strukturierung eines Netzwerks beginnt mit der Bestimmung des vollständigen Baums, der alle Knoten verbindet, ohne Maschen zu bilden. Dies definiert alle unabhängigen Knoten (für Strombeziehungen, KCL). Die Maschenauftrennung bestimmt die unabhängigen Maschen (für Spannungsbeziehungen, KVL). Diese Strukturierung bildet die Grundlage für die Aufstellung der Gleichungen im Knotenpotenzial- oder Maschenstromverfahren.

Knotenpotenzialverfahren:
Systematische mathematische Lösung auf Basis der Knotenpunktregel. Die Knotenpotenziale werden als Unbekannte gewählt. Das Verfahren ist besonders effizient bei Schaltungen mit wenigen Knoten aber vielen Maschen.

Maschenstromverfahren:
Systematische mathematische Lösung auf Basis der Maschenregel. Die Maschenströme werden als Unbekannte gewählt. Das Verfahren ist besonders effizient bei Schaltungen mit wenigen Maschen aber vielen Knoten.

Beide Verfahren liefern systematisch alle Spannungen und Ströme im Netzwerk durch Lösung linearer Gleichungssysteme.

Superpositionsprinzip/Überlagerungssatz:
Nutzt die Linearität der Kirchhoff-Gleichungen zur getrennten Berechnung der Wirkungen einzelner Quellen und anschließenden Addition der Ergebnisse. Vereinfacht die Analyse von Schaltungen mit mehreren Quellen erheblich.

Ersatzspannungsquelle/Ersatzstromquelle (Thévenin-/Norton-Theoreme):
Wird zur Reduktion eines beliebig komplexen Netzwerks auf eine äquivalente Einzelquelle mit Innenwiderstand angewandt. Erleichtert die Betrachtung aus Sicht einer Last oder eines Teilsystems. Diese Methode ist besonders wertvoll, wenn verschiedene Lastfälle untersucht werden sollen.

Methodenwahl

Die Wahl der geeigneten Methode hängt von der Schaltungsstruktur und der Fragestellung ab:

• Einfache Schaltungen: Ohmsches Gesetz und Ersatzwiderstände
• Mehrere Quellen: Superposition oder Knotenpotenzial-/Maschenstromverfahren
• Verschiedene Lastfälle: Ersatzspannungs-/Ersatzstromquelle
• Komplexe Netzwerke: Systematische Verfahren (Knotenpotenzial/Maschenstrom)

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET1-07.01 — Superposition 2U 3R
Übung ET1-07.02 — Ersatzquellen

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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