ET1-04 Elektrischer Widerstand

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Was leitet den Strom und was bremst ihn?
• Wie verknüpft das Ohm’sche Gesetz Spannung, Strom und Widerstand?
• Wie hängen Leiterdimensionen und Material vom Spannungsfall ab?
• Wie wirken andere physikalische Größen auf den Widerstand?
• Wohin mit dem Spannungsabfall?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie definieren den elektrischen Widerstand,
• wenden das Ohm’sche Gesetz im stationären Strömungsfeld sicher an,
• berechnen Leiter-, Isolations- und Lastwiderstände inkl. Spannungsfall,
• berücksichtigen temperaturabhängige Änderungen und
• lesen den Arbeitspunkt einer Schaltung mit Widerstand im Kennlinienfeld ab.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Widerstand als temperaturabhängige Größe
• Widerstand als Bauelement
• Spannungsfall
• Arbeitspunkt von Widerstand und Quelle im geschlossenen Stromkreis

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Definition Widerstand
2 Leiterwiderstand
3 Spannungsfall
4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
5 Widerstand als Bauelement
6 Widerstand im Stromkreis

1 Definition Widerstand

Wir greifen zurück auf die bereits eingeführten elektrotechnischen Größen, zunächst vor allem die Spannung als Voraussetzung für den Ladungsträgerfluss, also den elektrischen Strom. Ebenso greifen wir auf das bereits eingeführte Ohm’sche Gesetz zurück und vertiefen nun die Betrachtung des elektrischen Widerstandes.

Der elektrische Widerstand beschreibt die Hemmung des Stromflusses in einem Bauteil oder Leiter. Formelzeichen $R$, Einheit Ohm $\Omega$:

$$[R]=\mathrm{\Omega }$$

Zwischen Spannung $U$, Strom $I$ und Widerstand $R$ gilt (für lineares, Ohm’sches Verhalten):

$$U=R\cdot I,I=\frac{U}{R}$$

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands:

$$G=\frac{1}{R}bzw.I=G\cdot U$$

Formulierung

Der Widerstand begrenzt den Strom. Am Widerstand fällt Spannung ab (Spannungsabfall).

Der elektrische Widerstand tritt einerseits unweigerlich als Konsequenz der physikalischen Eigenschaften in Leitern auf. Andererseits gibt es auch ein Bauelement, das wir als Widerstand bezeichnen. Im Englischen wird der Unterschied deutlich:

• Widerstand (resistance)
• Widerstand (resistor)

2 Leiterwiderstand

Für einen homogenen, linearen Leiter gilt:

$$R=\rho \frac{l}{A},G=\sigma \frac{A}{l},\sigma =\frac{1}{\rho }$$

Dabei ist:

• $R$ der Leiterwiderstand, $G$ sein Leitwert
• $\rho$ der spezifische Widerstand des Leitermaterials, $\sigma$ seine Leitfähigkeit
• $l$ die Leiterlänge (Hin- und Rückweg beachten!)
• $A$ der Leiterquerschnitt

2.1.1 Rechenbeispiel

Die Wicklung eines Generators besteht aus $400\mathrm{m}$ Kupferdraht mit einem Querschnitt von $0,2\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$. Der Leiterwiderstand ist:

$$R=\frac{{\rho }_{20,\mathrm{Cu}}\cdot l}{A}=\frac{0,017\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}\cdot 400\mathrm{m}}{0,2\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}=\underline{34\Omega }$$

Isolatoren

Während Leiter den technischen Zweck haben, den elektrischen Strom zu leiten, ist die Aufgabe von Isolatoren, den Stromfluss zu verhindern. Zu diesem Zweck bestehen sie aus Materialien mit möglichst hohem spezifischen Widerstand $\rho$ bzw. möglichst geringer Leitfähigkeit $\sigma$, z. B. PVC, Glas oder Porzellan.

3 Spannungsfall

Gemäß dem Ohm’schen Gesetz fällt über einem stromdurchflossenen Leiter eine Spannung ab. Der Spannungsfall $\Delta U$ auf einer Leitung der Länge $l$ beträgt:

$$\Delta U=R\cdot I$$

Mit $R=\rho \frac{l}{A}$:

$$\Delta U=\rho \frac{l}{A}\cdot I$$

Die materialabhängigen Werte für den spezifischen Widerstand $\rho$ können der Detailseite entnommen werden, z. B. $0,017\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}$ für Kupfer (Cu) oder $0,027\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}$ für Aluminium (Al).

Praxisnorm

In elektrischen Anlagen ist der zulässige Spannungsfall $\Delta U$ von der Übergabestelle bis zum Verbraucher nach VDE 0100-520 auf maximal $4\%$ der Nennspannung $U$ begrenzt. In der Praxis wird als Richtwert $\frac{\Delta U}{U}<3\%$ angestrebt.
Aus der Gleichung ist erkennbar, dass der Spannungsfall bei feststehender Länge und konstanter Stromstärke mit zunehmendem Leiterquerschnitt abnimmt ($A$ steht im Nenner). Entsprechend ist bei langen Leitungen ein höherer Querschnitt die Lösung zur Vermeidung eines unzulässig hohen Spannungsfalls.

3.1.1 Rechenbeispiel

Der Spannungsfall über einer 5 Meter langen, haushaltsüblichen Verlängerungsleitung aus Kupfer (Leiterquerschnitt $A=1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$), durch die ein Strom der Stärke 5,0 A fließt, beträgt:

$$\Delta U=\rho \frac{l}{A}\cdot I=0,017\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}\cdot \frac{2\cdot 5\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}\cdot 5,0\mathrm{A}\approx 0,57\mathrm{V}$$

Der Spannungsfall auf dieser Leitung beträgt:

$$\frac{\Delta U}{U}=\frac{0,57\mathrm{V}}{230\mathrm{V}}\approx 0,25\%$$

Er liegt damit innerhalb der zulässigen Grenzen.

Hinweis

Natürlich müsste hier für eine fachgerechte, ganzheitliche Betrachtung auch die Leitungslänge bis zur Verlängerungsleitung berücksichtigt werden. Für das Rechenbeispiel ist das jedoch nicht notwendig.

4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

Der elektrische Widerstand ist temperaturabhängig.

$$R=R(T)$$

Mit zunehmender Temperatur schwingen die Atomkerne im Leitermaterial stärker und bilden damit eine zunehmende Hürde für die Elektronen, die „zwischen ihnen hindurch“ fließen.

Mit sinkender Temperatur nimmt der Widerstand von Metallen stetig ab, da die thermische Schwingung der Atomkerne nachlässt und die Elektronen weniger gestreut werden.

Bei einigen Materialien setzt unterhalb einer materialspezifischen Sprungtemperatur $T_S$ die Supraleitung ein: Der Widerstand fällt sprunghaft auf exakt null.

$$R(T<T_S)=0$$

Bei den meisten supraleitenden Elementen liegt $T_S$ nahe dem absoluten Nullpunkt (z. B. Niob: $T_S\approx 9,3\mathrm{K}$). Keramische Hochtemperatur-Supraleiter erreichen Sprungtemperaturen um $-180°C$, sodass sie mit flüssigem Stickstoff ($-196°C$) gekühlt werden können. Viele technisch wichtige Metalle wie Kupfer, Silber und Gold werden jedoch nicht supraleitend.

Der Widerstand der meisten Metalle wächst (im Bereich der hier technisch anzunehmenden Grenzen annähernd linear) mit der Temperaturdifferenz $\Delta T$:

$$R(T)=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\Delta T)$$

Dabei ist:

• ${\alpha }_{20}$ der Temperaturkoeffizient, ein Materialkennwert, der für 20°C angegeben wird, z. B. für Kupfer: ${\alpha }_{20,\mathrm{Cu}}\approx 3,9\cdot 10^{-3}/\mathrm{K}$

Materialien mit positivem Temperaturkoeffizienten (${\alpha }_{20}>0$), deren Widerstand mit steigender Temperatur zunimmt, werden als Kaltleiter bzw. PTC (Positive Temperature Coefficient) bezeichnet. Die meisten Metalle zeigen PTC-Verhalten.

Materialien mit negativem Temperaturkoeffizienten (${\alpha }_{20}<0$), bei denen der Widerstand mit steigender Temperatur sinkt, heißen Heißleiter bzw. NTC (Negative Temperature Coefficient). Typische NTC-Materialien sind Halbleiter und spezielle Keramiken (z. B. Thermistoren).

4.1.1 Rechenbeispiel

Eine Kupferleitung hat bei 20°C den Widerstand $R=2,0\Omega$. Erwärmt sie sich im Betrieb auf 50°C, also um $\Delta T=30\mathrm{K}$, so beträgt ihr Widerstand:

$$R(T=50°C)=R_{20}(1+{\alpha }_{20,\mathrm{Cu}}\Delta T)=2\Omega \left(1+\frac{0,0039}{\mathrm{K}}\cdot 30\mathrm{K}\right)\approx \underline{2,2\Omega }$$

Sind beide Widerstandswerte gegeben und die Temperatur gesucht, so ist die nach $\Delta T$ umgestellte Formel nützlich:

$$\Delta T=\frac{R(T)-R_{20}}{{\alpha }_{20}{R}_{20}}$$

Abhängigkeit des Widerstandes von weiteren physikalischen Größen

Es gibt neben der Temperatur weitere physikalische Größen, die den Widerstandswert beeinflussen können, z. B. Dehnung, Licht, magn. Felder, elektr. Felder, Druck/Kraft, Feuchte und Gaskonzentration.
Technische Anwendungsbeispiele:
Der Dehnmessstreifen (DMS) ist ein Widerstandsbauteil, dessen Widerstand von seiner Dehnung abhängt; er dient der Messung von Biegung und Torsion, z. B. von Trägern und Wellen.
Der Widerstand des Photowiderstandes (LDR) nimmt mit zunehmender Beleuchtung ab; er dient der Messung von Helligkeit, z. B. in Helligkeitsschaltern.
Der AMR-Widerstand (anisotroper Magnetowiderstand) ändert seinen Wert mit dem magnetischen Feld, das ihn durchflutet; er wird z. B. zur berührungslosen Messung von Stromstärken verwendet.
Der Varistor ist ein aus Halbleitermaterial bestehendes Widerstandsbauteil, dessen Widerstand mit zunehmender Spannung abnimmt; er dient dem Schutz elektrischer Bauteile vor Überspannung.

In diesem Skript wird jedoch nur die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes berücksichtigt.

5 Widerstand als Bauelement

Neben dem Widerstand als physikalische Eigenschaft von Leitern und Isolatoren, gibt es den Widerstand auch als Bauelement, das zum Zweck der Strombegrenzung mit spezifischem Widerstandswert hergestellt wird.

Reale Widerstände weisen neben ihrem Nennwert auch eine gewisse Toleranz, Verlustleistungs- und Temperaturgrenzen auf. Ihre Kennwerte lassen sich i. d. R. aus Farbringen oder aufgedruckten Ziffern ablesen.

Aus der nachfolgenden Tabelle lassen sich die Kennwerte von Widerständen ablesen:

5.1.1 Ablesebeispiel

Ein Widerstand mit den Farbringen „br-gn-ro-go“ hat den Wert $1,5\mathrm{k\Omega }\pm 5\%$, kann demnach zwischen $1425\Omega$ und $1575\Omega$ haben.

• braun: 1
• grün: 5
• rot: Faktor 100
• Gold: Toleranz +/- 5%

6 Widerstand im Stromkreis

6.1 Arbeitspunkt

Alle Widerstände in diesem Skript sind als linear zu betrachten. Verbindet man nun eine lineare Quelle (mit Innenwiderstand) mit einem linearen Widerstand, stellt sich ein stationärer Zustand ein, d. h. alle Ströme, Spannungen und Widerstandswerte sind zeitlich unveränderlich.
Über dem Widerstand $R$, der vom Strom $I_R$ durchflossen wird, fällt die Spannung $U_R$ ab.

Der Arbeitspunkt lässt sich rechnerisch ermitteln oder auch am Schnittpunkt der $I$-$U$-Kennlinien von Quelle und Last ablesen.

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6.1.1 Rechenbeispiel: LED-Vorwiderstand

Eine Leuchtdiode (LED) soll an einer Spannung von 9,00 V betrieben werden, wobei ein Strom von 20,0 mA fließen soll. Da die Diode an sich die Stromstärke nicht begrenzen kann, ist zur Begrenzung der Stromstärke auf den gewünschten Wert ist ein Vorwiderstand erforderlich. Ohne ihn würde die Diode direkt beim Einschalten zerstört werden.

Gegeben: $U_B=9,00\mathrm{V}$, LED: $U_F=2,10\mathrm{V}$ bei $I_F=20,0\mathrm{mA}$.

Gesucht: $R_V$.

$$R_V=\frac{U_B-U_F}{I_F}=\frac{9,0-2,1}{0,02}\Omega =\underline{345\Omega }$$

Lösung: Aus der E6-Reihe würde man einen $470\Omega$-Widerstand auswählen, aus der E12-Reihe einen $390\Omega$-Widerstand.

6.2 Reihenschaltung von Widerständen

Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung (Serienschaltung) von Widerständen entspricht der Summe der Einzelwiderstände.

$$R_{\mathrm{ges}}=\sum _{i=1}^n{R}_i=R_1+R_2+\cdots +R_n$$

6.2.1 Rechenbeispiel

Gegeben: $R_1=47\Omega ,R_2=120\Omega ,R_3=330\Omega$

$$R_{\mathrm{ges}}=R_1+R_2+R_3=47+120+330\underline{=497\Omega }$$

Spannungsteiler

Wird eine Spannung an eine Reihenschaltung von Widerständen angelegt, so verhalten sich die Spannungen an den Einzelwiderständen zur Gesamtspannung wie die Einzelwiderstände zum Gesamtwiderstand.
Alle Widerstände werden von derselben Stromstärke durchflossen.

$$U_i=U_{\mathrm{ges}}\frac{R_i}{{\sum }_{k=1}^n{R}_k},I_i=I_{\mathrm{ges}}$$

6.3 Parallelschaltung von Widerständen

Der Gesamtleitwert einer Parallelschaltung von Widerständen entspricht der Summe der Einzelleitwerte.

$$G_{\mathrm{ges}}=\sum _{i=1}^n{G}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$$ $$R_{\mathrm{ges}}={\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}\right)}^{-1}$$

Sonderfall (n=2):

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$$

6.3.1 Rechenbeispiele

a) Drei Widerstände parallel
Gegeben: $R_1=100\Omega ,R_2=150\Omega ,R_3=300\Omega$

$$R_{\mathrm{ges}}={\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{150}+\frac{1}{300}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{0,02}\right)}^{-1}=\underline{50\Omega }$$

b) Sonderfall $n=2$
Gegeben: $R_1=220\Omega ,R_2=330\Omega$

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}=\frac{220\cdot 330}{220+330}=\frac{72600}{550}=132\Omega$$

c) Sonderfall: zwei identische Widerstände
Gegeben: $R_1=R_2=220\Omega$

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_1}{2}=\underline{110\Omega }$$

Stromteiler

Wird eine Spannung an eine Parallelschaltung von Widerständen angelegt, so verhalten sich die Stromstärken durch die Einzelwiderstände zum Gesamtstrom wie die Einzelleitwerte zum Gesamtleitwert.
Die Spannung ist an allen Widerständen der Parallelschaltung gleich.

$$I_i=I_{\mathrm{ges}}\frac{G_i}{{\sum }_{k=1}^n{G}_k}=I_{\mathrm{ges}}\frac{\frac{1}{R_i}}{{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{R_k}}$$

Für den Sonderfall von zwei Widerständen ergibt sich die äquivalente Kreuzregel (umgekehrte Proportionalität):

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}$$

Durch den kleineren Widerstand fließt der größere Strom. Äquivalent:

$$I_1=I_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$$

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Reflexionsfrage

Wann ist ein großer Widerstand „gut“, wann „schlecht“?
Formulieren Sie je ein Beispiel aus der Praxis.

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET1-04.01 – Widerstandswerte ermitteln
Übung ET1-04.02 – Leistung Widerstand
Übung ET1-04.03 – Temperaturkoeffizient Aluminiumleitung
Übung ET1-04.04 – Temperaturkoeffizient Messung
Übung ET1-04.05 – Leiterwiderstand und Spannungsfall Kabeltrommel

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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