Übung ET1-04.R2 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-07)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

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Aufgabe

Ein elektrisches Heizelement aus Nickel-Chrom-Draht (NiCr) wird in einem Industrieofen eingesetzt. Bei Raumtemperatur ($T_1=20°\mathrm{C}$) beträgt der Widerstand des Heizelements $R_{20}=48\Omega$.

Im Betrieb erwärmt sich der Heizdraht auf eine Temperatur von $T_2=800°\mathrm{C}$.

Der Temperaturkoeffizient von NiCr beträgt ${\alpha }_{20}=0,4\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$.

a) Berechnen Sie den Widerstand des Heizelements bei Betriebstemperatur.

b) Das Heizelement wird an einer Spannung von $U=230\mathrm{V}$ betrieben. Berechnen Sie den Strom und die Leistung im kalten Zustand (bei $20°\mathrm{C}$).

c) Berechnen Sie den Strom und die Leistung im heißen Zustand (bei $800°\mathrm{C}$).

d) Um wie viel Prozent ändert sich die Leistungsaufnahme zwischen Kalt- und Warmzustand?

Lösung

a) $R_{800}=62,98\Omega \approx 63\Omega$
b) $I_{\mathrm{kalt}}=4,79\mathrm{A}$, $P_{\mathrm{kalt}}=1102\mathrm{W}$
c) $I_{\mathrm{heiß}}=3,65\mathrm{A}$, $P_{\mathrm{heiß}}=840\mathrm{W}$
d) Leistungsabnahme um ca. $24\%$

Vollständige Lösung

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstand bei Raumtemperatur: $R_{20}=48\Omega$
• Raumtemperatur: $T_1=20°\mathrm{C}$
• Betriebstemperatur: $T_2=800°\mathrm{C}$
• Temperaturkoeffizient NiCr: ${\alpha }_{20}=0,4\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
• Betriebsspannung: $U=230\mathrm{V}$

Bekannt:

• Temperaturabhängigkeit des Widerstands: $R(T)=R_{20}\cdot (1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$
• Temperaturdifferenz: $\Delta T=T_2-T_1$
• Ohmsches Gesetz: $I=\frac{U}{R}$
• Elektrische Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}$

Dabei ist:

• $R(T)$ der Widerstand bei Temperatur $T$ in Ohm ($\Omega$)
• $R_{20}$ der Widerstand bei $20°\mathrm{C}$ (Bezugstemperatur) in Ohm ($\Omega$)
• ${\alpha }_{20}$ der Temperaturkoeffizient bei $20°\mathrm{C}$ in ${\mathrm{K}}^{-1}$
• $\Delta T$ die Temperaturdifferenz zur Bezugstemperatur in Kelvin ($\mathrm{K}$)
• $I$ die Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $P$ die Leistung in Watt ($\mathrm{W}$)

Gesucht

a) Widerstand $R_{800}$ bei $800°\mathrm{C}$
b) Strom $I_{\mathrm{kalt}}$ und Leistung $P_{\mathrm{kalt}}$ bei $20°\mathrm{C}$
c) Strom $I_{\mathrm{heiß}}$ und Leistung $P_{\mathrm{heiß}}$ bei $800°\mathrm{C}$
d) Relative Leistungsänderung in Prozent

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a) Widerstand bei Betriebstemperatur

Die Temperaturdifferenz beträgt:

$$\Delta T=T_2-T_1=800°\mathrm{C}-20°\mathrm{C}=780\mathrm{K}$$

Der Widerstand bei $800°\mathrm{C}$:

$$R_{800}=R_{20}\cdot (1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$$ $$R_{800}=48\Omega \cdot \left(1+0,4\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 780\mathrm{K}\right)$$ $$R_{800}=48\Omega \cdot (1+0,312)=48\Omega \cdot 1,312=\underline{62,98\Omega }$$

Hinweis zur Materialwahl

NiCr (Nickel-Chrom, auch bekannt als Nichrome) hat einen besonders niedrigen Temperaturkoeffizienten (${\alpha }_{20}\approx 0,4\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$) verglichen mit reinen Metallen wie Kupfer (${\alpha }_{20}\approx 3,93\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$). Dies macht NiCr ideal für Heizelemente, da die Widerstandsänderung bei hohen Temperaturen moderat bleibt.

b) Strom und Leistung im kalten Zustand

Strom bei $20°\mathrm{C}$:

$$I_{\mathrm{kalt}}=\frac{U}{R_{20}}=\frac{230\mathrm{V}}{48\Omega }=\underline{4,79\mathrm{A}}$$

Leistung bei $20°\mathrm{C}$:

$$P_{\mathrm{kalt}}=U\cdot I_{\mathrm{kalt}}=230\mathrm{V}\cdot 4,79\mathrm{A}=\underline{1102\mathrm{W}}$$

Kontrolle über $P=U^2/R$:

$P_{\mathrm{kalt}}=\frac{(230\mathrm{V}{)}^2}{48\Omega }=\frac{52900{\mathrm{V}}^2}{48\Omega }=1102\mathrm{W}$ ✔

c) Strom und Leistung im heißen Zustand

Strom bei $800°\mathrm{C}$:

$$I_{\mathrm{heiß}}=\frac{U}{R_{800}}=\frac{230\mathrm{V}}{62,98\Omega }=\underline{3,65\mathrm{A}}$$

Leistung bei $800°\mathrm{C}$:

$$P_{\mathrm{heiß}}=U\cdot I_{\mathrm{heiß}}=230\mathrm{V}\cdot 3,65\mathrm{A}=\underline{840\mathrm{W}}$$

Kontrolle über $P=U^2/R$:

$P_{\mathrm{heiß}}=\frac{(230\mathrm{V}{)}^2}{62,98\Omega }=\frac{52900{\mathrm{V}}^2}{62,98\Omega }=840\mathrm{W}$ ✔

d) Relative Leistungsänderung

Die relative Leistungsänderung beträgt:

$$\frac{\Delta P}{P_{\mathrm{kalt}}}=\frac{P_{\mathrm{kalt}}-P_{\mathrm{heiß}}}{P_{\mathrm{kalt}}}=\frac{1102\mathrm{W}-840\mathrm{W}}{1102\mathrm{W}}$$ $$\frac{\Delta P}{P_{\mathrm{kalt}}}=\frac{262\mathrm{W}}{1102\mathrm{W}}=0,238=\underline{23,8\%}$$

Die Leistungsaufnahme nimmt um etwa 24% ab, wenn das Heizelement seine Betriebstemperatur erreicht.

Praktische Konsequenz

Dieses Verhalten ist typisch für ohmsche Heizelemente: Beim Einschalten fließt ein höherer Einschaltstrom, der mit zunehmender Erwärmung abnimmt. Die Regelung von Industrieöfen muss dieses Verhalten berücksichtigen. Bei Glühlampen ist der Effekt noch drastischer (Wolframdraht hat ${\alpha }_{20}\approx 4,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$), weshalb dort der Einschaltstrom etwa das 10- bis 15-fache des Betriebsstroms betragen kann.