Übung ET1-04.R4 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-30)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

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Aufgabe

Bei Erdarbeiten im Sommer ($T=20°C$) ist eine im Erdreich verlegte zweiadrige Telefonleitung aus Kupfer beschädigt worden, die den Hausanschlusskasten (HAK) mit dem Hauptverteiler (HVT) am Straßenrand verbindet.

An einem Ende der Leitung (am HVT) wird zwischen den beiden Aderenden ein Widerstand von $6,1\Omega$ gemessen, am anderen Ende (im HAK) ein Widerstand von $11\Omega$. Sie messen den Durchmesser der Kupferadern mit jeweils $0,7\mathrm{mm}$.

Sie vermuten einen Kurzschluss zwischen den beiden Adern und möchten nun die Schadstelle genau lokalisieren.

a) Skizzieren Sie die Anordnung mit Kurzschluss und erklären Sie, welche Strompfade bei den beiden Messungen durchlaufen werden.

b) Berechnen Sie die Distanz $l_1$ zwischen dem Hauptverteiler und der Schadstelle.

c) Berechnen Sie die Entfernung $l_{\mathrm{ges}}$ zwischen HAK und HVT (einfache Leitungslänge).

Nehmen Sie hier zur Berechnung eine Leitfähigkeit von $56\frac{\mathrm{S}\cdot \mathrm{m}}{{\mathrm{mm}}^2}$ für Kupfer bei $20°C$ an.

Lösung

$l_1\approx 66\mathrm{m}$
$l_{\mathrm{ges}}\approx 184\mathrm{m}$

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Temperatur: $T=20°C$
• Widerstand gemessen am Hauptverteiler: $R_1=6,1\Omega$
• Widerstand gemessen am Hausanschlusskasten: $R_2=11\Omega$
• Aderdurchmesser: $d=0,7\mathrm{mm}$
• Material: Kupfer

Bekannt:

• Leitfähigkeit von Kupfer (20 °C): ${\sigma }_{\mathrm{Cu}}=56\mathrm{S}\cdot m/m{\mathrm{m}}^2$
• Spezifischer Widerstand: $\rho =\frac{1}{\sigma }$
• Leitungswiderstand: $R=\rho \frac{\ell }{A}$
• Querschnitt Rundleiter: $A=\frac{\pi d^2}{4}$

Gesucht

a) Skizze und Erklärung der Strompfade
b) Distanz Hauptverteiler → Schadstelle: $l_1$ in $\mathrm{m}$
c) Entfernung zwischen HAK und HVT (einfache Leitungslänge): $l_{\mathrm{ges}}$ in $\mathrm{m}$

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a) Skizze und Strompfade

Prinzip der Fehlerortung:

Bei einem Kurzschluss zwischen den beiden Adern bildet sich eine leitende Verbindung am Fehlerort. Bei der Widerstandsmessung an den Leitungsenden ergeben sich unterschiedliche Schleifenlängen:

• Messung am Hauptverteiler (HVT): Der Messstrom fließt durch Ader 1 bis zur Schadstelle, über den Kurzschluss in Ader 2, und durch Ader 2 zurück. Schleifenlänge: $2\cdot l_1$

• Messung am Hausanschlusskasten (HAK): Der Messstrom fließt durch Ader 1 bis zur Schadstelle, über den Kurzschluss in Ader 2, und durch Ader 2 zurück. Schleifenlänge: $2\cdot (l_{\mathrm{ges}}-l_1)$

b) Distanz zur Schadstelle

Querschnitt der Leitung:

$$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (0,7\mathrm{mm}{)}^2}{4}=\frac{\pi \cdot 0,49\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{4}=0,385\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$$

Spezifischer Widerstand von Kupfer:

$${\rho }_{\mathrm{Cu}}=\frac{1}{{\sigma }_{\mathrm{Cu}}}=\frac{1}{56\mathrm{S}\cdot m/m{\mathrm{m}}^2}=0,01786\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m$$

Widerstandsgleichung für Messung am Hauptverteiler:

Der gemessene Widerstand $R_1$ entspricht dem Widerstand der Schleife mit Länge $2l_1$:

$$R_1=\rho \frac{2l_1}{A}$$

Umgestellt nach $l_1$:

$$l_1=\frac{R_1\cdot A}{2\rho }$$

Einsetzen:

$$l_1=\frac{6,1\Omega \cdot 0,385\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{2\cdot 0,01786\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=\frac{2,35\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{0,0357\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=65,7\mathrm{m}\approx \underline{66\mathrm{m}}$$

c) Entfernung zwischen HAK und HVT

Widerstandsgleichung für Messung am Hausanschlusskasten:

Der gemessene Widerstand $R_2$ entspricht dem Widerstand der Schleife mit Länge $2(l_{\mathrm{ges}}-l_1)$:

$$R_2=\rho \frac{2(l_{\mathrm{ges}}-l_1)}{A}$$

Umgestellt:

$$l_{\mathrm{ges}}-l_1=\frac{R_2\cdot A}{2\rho }$$

Einsetzen:

$$l_{\mathrm{ges}}-l_1=\frac{11\Omega \cdot 0,385\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{2\cdot 0,01786\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=\frac{4,24\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{0,0357\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=118,6\mathrm{m}$$

Gesamtentfernung:

$$l_{\mathrm{ges}}=l_1+(l_{\mathrm{ges}}-l_1)=65,7\mathrm{m}+118,6\mathrm{m}=184,3\mathrm{m}\approx \underline{184\mathrm{m}}$$

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Plausibilitätskontrolle

Alternative Berechnung über Gesamtwiderstand:

Die Summe beider gemessener Widerstände ergibt den Widerstand der gesamten Doppelleitung:

$$R_1+R_2=\rho \frac{2l_{\mathrm{ges}}}{A}$$ $$l_{\mathrm{ges}}=\frac{(R_1+R_2)\cdot A}{2\rho }=\frac{(6,1+11)\Omega \cdot 0,385\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{2\cdot 0,01786\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=\frac{6,58\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{0,0357\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m}=184,3\mathrm{m}✓$$

Verhältniskontrolle:

Das Verhältnis der gemessenen Widerstände entspricht dem Verhältnis der Teilstrecken:

$$\frac{l_1}{l_{\mathrm{ges}}-l_1}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{6,1}{11}=0,555$$ $$\frac{65,7\mathrm{m}}{118,6\mathrm{m}}=0,554✓$$

Fehlerortung in der Praxis

Diese Methode der Fehlerortung durch Widerstandsmessung von beiden Enden wird in der Telekommunikationstechnik und bei Energieversorgungsleitungen routinemäßig eingesetzt. Sie funktioniert bei niederohmigen Fehlern wie Kurzschlüssen besonders zuverlässig.

In der Praxis kommen verfeinerte Methoden wie die Murray-Schleife oder Varley-Schleife zum Einsatz, die mit Brückenschaltungen arbeiten und den Einfluss von Übergangswiderständen am Fehlerort minimieren.