ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? — Die Leitfragen:

• Wie verhalten sich die drei Grundbauelemente Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis?
• Welche Phasenbeziehung besteht jeweils zwischen Strom und Spannung?
• Was versteht man unter Impedanz, Blindwiderstand und Scheinwiderstand?
• Wie lassen sich die Zusammenhänge im Zeigerdiagramm darstellen?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? — Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie leiten die Strom-Spannungs-Beziehung für Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis her,
• bestimmen die komplexe Impedanz jedes Grundbauelements,
• beschreiben die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung für jedes Bauelement,
• zeichnen und interpretieren Zeigerdiagramme für R, C, L und einfache Kombinationen und
• unterscheiden zwischen Impedanz, Blindwiderstand, Scheinwiderstand und den zugehörigen Leitwerten.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? — Die Wissensbausteine:

• Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis: ${\underline{Z}}_R=R$
• Kondensator im Wechselstromkreis: ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$
• Spule im Wechselstromkreis: ${\underline{Z}}_L=j\omega L$
• Impedanz $\underline{Z}=R+jX$, Scheinwiderstand $Z=|\underline{Z}|$, Blindwiderstand $X$
• Admittanz $\underline{Y}=G+jB$, Scheinleitwert $Y=|\underline{Y}|$, Blindleitwert $B$
• Zeigerdiagramme für R, C, L und RL-/RC-Kombinationen

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Wie sind die Inhalte gegliedert? — Der Aufbau:
1 Vom Gleichstrom zum Wechselstrom — Bauelemente neu betrachtet
2 Der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis
3 Der Kondensator im Wechselstromkreis
4 Die Spule im Wechselstromkreis
5 Impedanz, Blindwiderstand und Scheinwiderstand
6 Leitwerte im Wechselstromkreis
7 Zeigerdiagramme für Kombinationen von Bauelementen

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

In ET2-03 haben wir die komplexe Wechselstromrechnung eingeführt. Die zentralen Ergebnisse waren:

• Komplexe Zahlen in kartesischer Form ($a+jb$) und Polarform ($r\cdot e^{j\phi }$)
• Die Eulersche Formel: $e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$
• Rechenregeln für komplexe Zahlen (Addition, Multiplikation, Division, Konjugation)
• Der komplexe Effektivwert $\underline{U}$ und die komplexe Amplitude $\underline{\hat{U}}$
• Die Kirchhoffschen Regeln in komplexer Form

Auf diese Grundlagen greifen wir nun zurück, um das Verhalten der drei Grundbauelemente — Widerstand, Kondensator und Spule — im Wechselstromkreis systematisch zu beschreiben.

1 Vom Gleichstrom zum Wechselstrom — Bauelemente neu betrachtet

Im Gleichstromkreis (DC) haben wir in ET1-04 den Widerstand als zentrales Bauelement kennengelernt. Dort genügte das Ohmsche Gesetz $U=R\cdot I$, um das Verhalten vollständig zu beschreiben: Strom und Spannung sind zeitlich konstant, und der Widerstand ist eine reelle Zahl.

Im Wechselstromkreis (AC) ändert sich die Situation grundlegend. Die Spannung und der Strom sind zeitlich veränderliche Größen — sie schwingen sinusförmig. Damit treten zwei Bauelemente in den Vordergrund, die im stationären Gleichstromkreis keine Rolle spielten: der Kondensator und die Spule. Beide speichern Energie in elektromagnetischen Feldern und setzen dem Wechselstrom einen frequenzabhängigen Widerstand entgegen.

Die zentrale Frage dieser Lektion lautet: Wie lässt sich das Ohmsche Gesetz auf den Wechselstromkreis verallgemeinern? Die Antwort liefert das Konzept der komplexen Impedanz $\underline{Z}$. Für jedes Bauelement gilt in komplexer Schreibweise:

$$\underline{U}=\underline{Z}\cdot \underline{I}$$

Dabei ist:

• $\underline{U}$ der komplexe Effektivwert der Spannung
• $\underline{I}$ der komplexe Effektivwert des Stroms
• $\underline{Z}$ die komplexe Impedanz des Bauelements

Diese Gleichung hat dieselbe Struktur wie das Ohmsche Gesetz — nur dass alle drei Größen nun komplex sein können. Der Realteil der Impedanz beschreibt den ohmschen Anteil, der Imaginärteil den frequenzabhängigen Anteil. Wir werden nun die drei Grundbauelemente nacheinander untersuchen und ihre jeweilige Impedanz herleiten.

2 Der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis

2.1 Strom-Spannungs-Beziehung

Am ohmschen Widerstand gilt zu jedem Zeitpunkt das Ohmsche Gesetz:

$$u(t)=R\cdot i(t)$$

Legen wir eine sinusförmige Spannung an:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$$

so folgt für den Strom unmittelbar:

$$i(t)=\frac{u(t)}{R}=\frac{\hat{u}}{R}\cdot \sin (\omega t)=\hat{ı}\cdot \sin (\omega t)$$

Dabei ist:

• $\hat{u}$ die Spannungsamplitude (Scheitelwert)
• $\hat{ı}=\hat{u}/R$ die Stromamplitude
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz

Das Ergebnis ist bemerkenswert einfach: Strom und Spannung haben denselben zeitlichen Verlauf — sie schwingen mit derselben Frequenz und derselben Phase. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt am ohmschen Widerstand:

$$\underline{\phi =0°}$$

Kernaussage: Widerstand im Wechselstromkreis

Am ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase. Der Strom folgt der Spannung ohne zeitliche Verzögerung. Der Widerstand verhält sich im Wechselstromkreis genauso wie im Gleichstromkreis.

2.2 Komplexe Impedanz des Widerstands

In der komplexen Darstellung ergibt sich die Impedanz des ohmschen Widerstands direkt aus dem Ohmschen Gesetz:

$${\underline{Z}}_R=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=R$$

Die Impedanz des Widerstands ist reell und frequenzunabhängig. Sie hat keinen Imaginärteil, also keinen Blindanteil:

$${\underline{Z}}_R=R+j\cdot 0=R$$

Dabei ist:

• ${\underline{Z}}_R$ die komplexe Impedanz des Widerstands
• $R$ der ohmsche Widerstandswert in $\mathrm{\Omega }$

2.3 Zeigerdiagramm

Im Zeigerdiagramm zeigen die Zeiger von Strom und Spannung in dieselbe Richtung: Sie haben denselben Phasenwinkel. Der Spannungszeiger $\underline{U}$ ist gegenüber dem Stromzeiger $\underline{I}$ um den Faktor $R$ skaliert, aber nicht gedreht.

(Quelle: Wikimedia Commons)

Merkhilfe

Der ohmsche Widerstand ist das einfachste Bauelement im Wechselstromkreis: keine Phasenverschiebung, keine Frequenzabhängigkeit. Alles, was wir aus dem Gleichstromkreis kennen, gilt unverändert.

3 Der Kondensator im Wechselstromkreis

3.1 Strom-Spannungs-Beziehung

Der Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld zwischen seinen Platten. Die grundlegende Beziehung zwischen Strom und Spannung am Kondensator lautet:

$$i(t)=C\cdot \frac{du(t)}{dt}$$

Dabei ist:

• $i(t)$ der Strom durch den Kondensator
• $C$ die Kapazität in Farad ($\mathrm{F}$)
• $\frac{du(t)}{dt}$ die zeitliche Änderungsrate der Spannung

Der Strom durch den Kondensator ist also proportional zur zeitlichen Änderung der Spannung — nicht zur Spannung selbst. Das ist ein fundamentaler Unterschied zum ohmschen Widerstand.

3.2 Herleitung der Phasenbeziehung

Wir legen eine sinusförmige Spannung an den Kondensator:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$$

Den Strom erhalten wir durch Ableitung:

$$i(t)=C\cdot \frac{du(t)}{dt}=C\cdot \frac{d}{dt}\left[\hat{u}\cdot \sin (\omega t)\right]$$

Die Ableitung von $\sin (\omega t)$ ist $\omega \cdot \cos (\omega t)$, also:

$$i(t)=\hat{u}\omega C\cdot \cos (\omega t)$$

Mit der trigonometrischen Identität $\cos (\omega t)=\sin (\omega t+90°)$ können wir den Strom auch schreiben als:

$$i(t)=\hat{u}\omega C\cdot \sin (\omega t+90°)$$

Herleitung im Detail: Von der Ableitung zur Phasenverschiebung

Die Ableitung der Sinusfunktion ergibt die Kosinusfunktion:

$$\frac{d}{dt}\sin (\omega t)=\omega \cdot \cos (\omega t)$$

Der Kosinus ist gegenüber dem Sinus um $90°$ nach links verschoben:

$$\cos (\omega t)=\sin (\omega t+90°)$$

Eingesetzt:

$$i(t)=C\cdot \hat{u}\cdot \omega \cdot \sin (\omega t+90°)$$

Die Stromamplitude beträgt damit:

$$\hat{ı}=\hat{u}\cdot \omega C$$

und der Strom eilt der Spannung um $90°$ voraus.

Die Stromamplitude beträgt:

$$\hat{ı}=\hat{u}\cdot \omega C$$

und der Strom eilt der Spannung um $90°$ voraus. In der Sprache der Elektrotechnik: Der Strom hat eine positive Phasenverschiebung gegenüber der Spannung.

$$\underline{\phi =-90°}$$

Vorzeichenkonvention

Die Phasenverschiebung $\phi$ wird hier als Phasenwinkel der Impedanz definiert, also als der Winkel, um den die Spannung dem Strom voraus- oder nacheilt. Am Kondensator eilt die Spannung dem Strom um $90°$ nach, daher ist $\phi =-90°$. Äquivalent formuliert: Der Strom eilt der Spannung um $90°$ vor.

[!attention] Kernaussage: Kondensator im Wechselstromkreis

Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um $90°$ voraus. Der Kondensator muss erst geladen werden (Strom fließt), bevor sich die Spannung aufbaut. Die Stromamplitude ist proportional zur Frequenz und zur Kapazität.

3.3 Anschauliche Erklärung

Warum eilt der Strom vor? Betrachten wir den Vorgang physikalisch: Wenn die Spannung am Kondensator ihr Maximum erreicht, sind die Platten maximal geladen — in diesem Moment fließt kein Ladestrom mehr, der Strom ist null. Wenn die Spannung durch null geht und sich ihr Vorzeichen umkehrt, muss der Kondensator am schnellsten umgeladen werden — in diesem Moment ist der Strom maximal. Der Strom erreicht sein Maximum also eine Viertelperiode ($90°$) vor der Spannung.

Alltagsvergleich

Man kann sich den Kondensator wie einen Wassertank vorstellen: Der Zufluss (Strom) ist am größten, wenn der Tank leer ist (Spannung null). Wenn der Tank voll ist (Spannung maximal), kommt kein Wasser mehr nach (Strom null).

3.4 Komplexe Impedanz des Kondensators

Die Phasenverschiebung von $-90°$ entspricht in der komplexen Ebene einer Multiplikation mit $\frac{1}{j}=-j$. Die komplexe Impedanz des Kondensators lautet:

$${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$$

Durch Erweitern mit $\frac{-j}{-j}$:

$${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{-j}{\omega C}=-\frac{j}{\omega C}$$

Dabei ist:

• ${\underline{Z}}_C$ die komplexe Impedanz des Kondensators
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz
• $C$ die Kapazität in $\mathrm{F}$
• $j$ die imaginäre Einheit

Die Impedanz des Kondensators ist rein imaginär (kein Realteil) und negativ imaginär. Ihr Betrag, der sogenannte kapazitive Blindwiderstand, beträgt:

$$X_C=-\frac{1}{\omega C}$$

Der Betrag der Impedanz (Scheinwiderstand) ist:

$$|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}$$

Vorzeichen des kapazitiven Blindwiderstands

Der kapazitive Blindwiderstand $X_C$ ist negativ: $X_C=-\frac{1}{\omega C}$. Das negative Vorzeichen codiert die Information, dass der Strom der Spannung vorauseilt. In manchen Lehrbüchern wird $X_C$ als positive Größe definiert und das Vorzeichen separat berücksichtigt — in diesem Skript verwenden wir konsequent die vorzeichenbehaftete Darstellung.

3.5 Frequenzabhängigkeit

Die Impedanz des Kondensators hängt von der Frequenz ab:

• Bei niedrigen Frequenzen ($\omega \to 0$): $|{\underline{Z}}_C|\to \infty$ — der Kondensator sperrt. Das entspricht dem Gleichstromfall: Ein idealer Kondensator lässt keinen Gleichstrom durch.
• Bei hohen Frequenzen ($\omega \to \infty$): $|{\underline{Z}}_C|\to 0$ — der Kondensator wird zum Kurzschluss.

Diese Frequenzabhängigkeit macht den Kondensator zu einem der wichtigsten Bauelemente in der Wechselstromtechnik und bildet die Grundlage für Filter und Frequenzweichen, die wir in ET2-05 behandeln werden.

3.6 Rechenbeispiel

Ein Kondensator mit der Kapazität $C=10\mu \mathrm{F}$ wird an einer sinusförmigen Wechselspannung mit dem Effektivwert $U=230\mathrm{V}$ und der Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$ betrieben.

Gegeben: $C=10\mu \mathrm{F}=10\cdot 10^{-6}\mathrm{F}$, $U=230\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$

Gesucht: Impedanz ${\underline{Z}}_C$, Scheinwiderstand $|{\underline{Z}}_C|$, Effektivwert des Stroms $I$

Lösung:

Die Kreisfrequenz beträgt:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=314,2{\mathrm{s}}^{-1}$$

Die komplexe Impedanz:

$${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j\cdot 314,2{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 10\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=\frac{1}{j\cdot 3,142\cdot 10^{-3}\mathrm{S}}$$ $${\underline{Z}}_C=-j\cdot 318,3\mathrm{\Omega }$$

Der Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz):

$$|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}=\underline{318,3\mathrm{\Omega }}$$

Der Effektivwert des Stroms:

$$I=\frac{U}{|{\underline{Z}}_C|}=\frac{230\mathrm{V}}{318,3\mathrm{\Omega }}=\underline{0,723\mathrm{A}\approx 723\mathrm{mA}}$$

Der Kondensator lässt bei $50\mathrm{Hz}$ einen Strom von etwa $723\mathrm{mA}$ durch. Dieser Strom eilt der Spannung um $90°$ voraus.

Reflexionsfrage

Wie groß wäre der Strom bei doppelter Frequenz ($f=100\mathrm{Hz}$)? Überlegen Sie, bevor Sie nachrechnen.

Antwort
Bei doppelter Frequenz halbiert sich der Scheinwiderstand |\underline{Z}_C| = \frac{1}{\omega C}, denn \omega verdoppelt sich. Der Strom verdoppelt sich folglich auf ca. 1{,}45\,\mathrm{A}. Der Kondensator wird bei höheren Frequenzen durchlässiger.

3.7 Zeigerdiagramm

Im Zeigerdiagramm eilt der Stromzeiger $\underline{I}$ dem Spannungszeiger $\underline{U}$ um $90°$ voraus. Wählt man die Spannung als Bezugsgröße (Spannungszeiger auf der reellen Achse), so zeigt der Stromzeiger in Richtung der positiven imaginären Achse.

(Quelle: Wikimedia Commons)

4 Die Spule im Wechselstromkreis

4.1 Strom-Spannungs-Beziehung

Die Spule speichert Energie im magnetischen Feld ihres Wicklungskerns. Die grundlegende Beziehung zwischen Strom und Spannung an einer idealen Spule lautet — wie wir aus ET1-10 wissen:

$$u(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt}$$

Dabei ist:

• $u(t)$ die Spannung über der Spule (induzierte Spannung)
• $L$ die Induktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $\frac{di(t)}{dt}$ die zeitliche Änderungsrate des Stroms

Die Spannung über der Spule ist proportional zur zeitlichen Änderung des Stroms. Auch hier — wie beim Kondensator — ist es nicht der Momentanwert, sondern die Änderungsrate, die das Verhalten bestimmt.

4.2 Herleitung der Phasenbeziehung

Wir gehen diesmal vom sinusförmigen Strom aus:

$$i(t)=\hat{ı}\cdot \sin (\omega t)$$

Die Spannung über der Spule ergibt sich durch Ableitung:

$$u(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt}=L\cdot \frac{d}{dt}\left[\hat{ı}\cdot \sin (\omega t)\right]$$ $$u(t)=\hat{ı}\omega L\cdot \cos (\omega t)$$

Mit $\cos (\omega t)=\sin (\omega t+90°)$:

$$u(t)=\hat{ı}\omega L\cdot \sin (\omega t+90°)$$

Herleitung im Detail: Von der Ableitung zur Phasenverschiebung

Die Ableitung des Stroms ergibt:

$$\frac{d}{dt}\left[\hat{ı}\cdot \sin (\omega t)\right]=\hat{ı}\cdot \omega \cdot \cos (\omega t)$$

Eingesetzt in das Induktionsgesetz:

$$u(t)=L\cdot \hat{ı}\cdot \omega \cdot \cos (\omega t)=\hat{ı}\omega L\cdot \sin (\omega t+90°)$$

Die Spannungsamplitude beträgt:

$$\hat{u}=\hat{ı}\cdot \omega L$$

Die Spannung eilt dem Strom um $90°$ voraus, oder äquivalent: Der Strom eilt der Spannung um $90°$ nach.

Die Spannungsamplitude beträgt:

$$\hat{u}=\hat{ı}\cdot \omega L$$

und die Spannung eilt dem Strom um $90°$ voraus. In der Sprache der Elektrotechnik: Der Strom eilt der Spannung um $90°$ nach. Die Phasenverschiebung beträgt:

$$\underline{\phi =+90°}$$

Kernaussage: Spule im Wechselstromkreis

An der Spule eilt der Strom der Spannung um $90°$ nach. Die Spule widersetzt sich Stromänderungen: Bevor der Strom steigen kann, muss erst die Spannung anliegen, die die Stromänderung antreibt. Die Spannungsamplitude ist proportional zur Frequenz und zur Induktivität.

4.3 Anschauliche Erklärung

Warum eilt der Strom nach? Die Spule widersetzt sich jeder Änderung des Stroms — das ist die Konsequenz der Lenzschen Regel, die wir aus ET1-10 kennen. Wenn eine Spannung an die Spule angelegt wird, baut sich der Strom nur allmählich auf, weil das wachsende Magnetfeld eine Gegenspannung induziert. Die Spannung muss also zuerst anliegen, damit der Strom überhaupt zu fließen beginnen kann. Das Maximum des Stroms wird erst eine Viertelperiode ($90°$) nach dem Maximum der Spannung erreicht.

Alltagsvergleich

Die Spule verhält sich wie ein schwerer Güterzug: Auch wenn die Lokomotive (Spannung) schon mit voller Kraft zieht, dauert es, bis der Zug (Strom) auf Geschwindigkeit kommt. Die Kraft ist zuerst da, die Bewegung folgt mit Verzögerung.

4.4 Komplexe Impedanz der Spule

Die Phasenverschiebung von $+90°$ entspricht in der komplexen Ebene einer Multiplikation mit $j$. Die komplexe Impedanz der Spule lautet:

$${\underline{Z}}_L=j\omega L$$

Dabei ist:

• ${\underline{Z}}_L$ die komplexe Impedanz der Spule
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz
• $L$ die Induktivität in $\mathrm{H}$
• $j$ die imaginäre Einheit

Die Impedanz der Spule ist rein imaginär (kein Realteil) und positiv imaginär. Der induktive Blindwiderstand beträgt:

$$X_L=\omega L$$

Der Betrag der Impedanz (Scheinwiderstand) ist:

$$|{\underline{Z}}_L|=\omega L$$

4.5 Frequenzabhängigkeit

Die Impedanz der Spule hängt — wie die des Kondensators — von der Frequenz ab, jedoch mit umgekehrtem Verhalten:

• Bei niedrigen Frequenzen ($\omega \to 0$): $|{\underline{Z}}_L|\to 0$ — die Spule wird zum Kurzschluss. Das entspricht dem Gleichstromfall: Eine ideale Spule hat im stationären Gleichstromkreis keinen Widerstand (nur der ohmsche Widerstand des Drahtes begrenzt den Strom).
• Bei hohen Frequenzen ($\omega \to \infty$): $|{\underline{Z}}_L|\to \infty$ — die Spule sperrt.

Das Verhalten der Spule ist also komplementär zum Verhalten des Kondensators. Dieses komplementäre Verhalten ist die physikalische Grundlage für Schwingkreise und Filter, die in ET2-05 behandelt werden.

4.6 Rechenbeispiel

Eine Spule mit der Induktivität $L=100\mathrm{mH}$ wird an einer sinusförmigen Wechselspannung mit dem Effektivwert $U=24\mathrm{V}$ und der Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$ betrieben.

Gegeben: $L=100\mathrm{mH}=0,1\mathrm{H}$, $U=24\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$

Gesucht: Impedanz ${\underline{Z}}_L$, Scheinwiderstand $|{\underline{Z}}_L|$, Effektivwert des Stroms $I$

Lösung:

Die Kreisfrequenz beträgt:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=314,2{\mathrm{s}}^{-1}$$

Die komplexe Impedanz:

$${\underline{Z}}_L=j\omega L=j\cdot 314,2{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,1\mathrm{H}=j\cdot 31,42\mathrm{\Omega }$$

Der Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz):

$$|{\underline{Z}}_L|=\omega L=\underline{31,42\mathrm{\Omega }}$$

Der Effektivwert des Stroms:

$$I=\frac{U}{|{\underline{Z}}_L|}=\frac{24\mathrm{V}}{31,42\mathrm{\Omega }}=\underline{0,764\mathrm{A}\approx 764\mathrm{mA}}$$

Die Spule begrenzt bei $50\mathrm{Hz}$ den Strom auf etwa $764\mathrm{mA}$. Dieser Strom eilt der Spannung um $90°$ nach.

Praktischer Hinweis

Im Gegensatz zu einem ohmschen Widerstand wird an der idealen Spule (und am idealen Kondensator) im zeitlichen Mittel keine Leistung in Wärme umgesetzt. Die Energie pendelt zwischen dem Magnetfeld der Spule und der Quelle hin und her. Dieses Phänomen — die Blindleistung — wird in ET2-06 ausführlich behandelt.

4.7 Zeigerdiagramm

Im Zeigerdiagramm eilt der Spannungszeiger $\underline{U}$ dem Stromzeiger $\underline{I}$ um $90°$ voraus. Wählt man den Strom als Bezugsgröße (Stromzeiger auf der reellen Achse), so zeigt der Spannungszeiger in Richtung der positiven imaginären Achse.

(Quelle: Wikimedia Commons)

5 Impedanz, Blindwiderstand und Scheinwiderstand

5.1 Zusammenfassung der drei Grundbauelemente

Bevor wir die Begriffe vertiefen, fassen wir die Ergebnisse der vorangegangenen Abschnitte zusammen:

Bauelement	Impedanz $\underline{Z}$	Blindwiderstand $X$	Phasenwinkel $\phi$	Strom relativ zur Spannung
Widerstand	$R$	$0$	$0°$	in Phase
Kondensator	$\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}$	$-\frac{1}{\omega C}$	$-90°$	eilt $90°$ vor
Spule	$j\omega L$	$+\omega L$	$+90°$	eilt $90°$ nach

Eselsbrücke

Für die Phasenbeziehung am Kondensator und an der Spule gibt es im Deutschen eine klassische Merkhilfe:
„Am Kondensator eilt der Strom vor” — oder kurz: „Kondensator — Strom vor”.
„An der Spule eilt der Strom nach” — oder kurz: „Induktivität — Strom nach”.
Im Englischen existiert die bekannte Eselsbrücke CIVIL: C-I-V (am Capacitor I leads V) und V-I-L (at the inductor V leads I).

5.2 Die allgemeine Impedanz

Im allgemeinen Fall — etwa bei einer Reihenschaltung aus Widerstand und Blindwiderstand — setzt sich die Impedanz aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen:

$$\underline{Z}=R+jX$$

Dabei ist:

• $R$ der ohmsche Widerstand (Wirkwiderstand, resistance) — der Realteil der Impedanz
• $X$ der Blindwiderstand (reactance) — der Imaginärteil der Impedanz
• $\underline{Z}$ die komplexe Impedanz (impedance)

Der Scheinwiderstand (impedance magnitude) ist der Betrag der komplexen Impedanz:

$$Z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X^2}$$

Der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom ergibt sich aus dem Verhältnis von Blind- und Wirkwiderstand:

$$\phi =\arctan \left(\frac{X}{R}\right)$$

Impedanzdreieck

Die Beziehung zwischen $R$, $X$ und $Z$ lässt sich als rechtwinkliges Dreieck darstellen — das sogenannte Impedanzdreieck. Der Wirkwiderstand $R$ bildet die Ankathete, der Blindwiderstand $X$ die Gegenkathete und der Scheinwiderstand $Z$ die Hypotenuse. Der Winkel zwischen $Z$ und $R$ ist der Phasenwinkel $\phi$.

$$Z=\sqrt{R^2+X^2},\phi =\arctan \frac{X}{R}$$ $$R=Z\cos \phi ,X=Z\sin \phi$$

(Quelle: Wikimedia Commons)

5.3 Polarform der Impedanz

Die Impedanz lässt sich auch in Polarform darstellen:

$$\underline{Z}=Z\cdot e^{j\phi }=Z\angle \phi$$

Dabei ist:

• $Z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X^2}$ der Scheinwiderstand
• $\phi =\arctan (X/R)$ der Phasenwinkel

Diese Darstellung ist besonders nützlich für Multiplikation und Division komplexer Größen, wie wir in ET2-03 gelernt haben.

5.4 Rechenbeispiel: Impedanz einer RL-Reihenschaltung

Eine Reihenschaltung aus einem Widerstand $R=100\mathrm{\Omega }$ und einer Spule $L=200\mathrm{mH}$ wird bei $f=50\mathrm{Hz}$ betrieben.

Gegeben: $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=200\mathrm{mH}=0,2\mathrm{H}$, $f=50\mathrm{Hz}$

Gesucht: Impedanz $\underline{Z}$, Scheinwiderstand $Z$, Phasenwinkel $\phi$

Lösung:

Die Kreisfrequenz:

$$\omega =2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=314,2{\mathrm{s}}^{-1}$$

Der induktive Blindwiderstand:

$$X_L=\omega L=314,2{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,2\mathrm{H}=62,83\mathrm{\Omega }$$

Die komplexe Impedanz der Reihenschaltung:

$$\underline{Z}=R+j{X}_L=100\mathrm{\Omega }+j\cdot 62,83\mathrm{\Omega }$$

Der Scheinwiderstand:

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{100^2+62,83^2}\mathrm{\Omega }=\sqrt{10000+3948}\mathrm{\Omega }=\underline{118,1\mathrm{\Omega }}$$

Der Phasenwinkel:

$$\phi =\arctan \frac{X_L}{R}=\arctan \frac{62,83}{100}=\underline{32,1°}$$

Die Spannung eilt dem Strom also um $32,1°$ voraus. In Polarform:

$$\underline{Z}=118,1\mathrm{\Omega }\cdot e^{j\cdot 32,1°}$$

Der Phasenwinkel liegt zwischen $0°$ (reiner Widerstand) und $90°$ (reine Induktivität) — die Reihenschaltung zeigt ein gemischtes Verhalten, das durch beide Bauelemente geprägt wird.

6 Leitwerte im Wechselstromkreis

6.1 Die Admittanz

Wie wir aus dem Gleichstromkreis wissen, ist der Leitwert $G=1/R$ der Kehrwert des Widerstands. Im Wechselstromkreis verallgemeinern wir dieses Konzept: Der Kehrwert der Impedanz heißt Admittanz (admittance):

$$\underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}=\frac{\underline{I}}{\underline{U}}$$

Die Admittanz hat die Einheit Siemens ($\mathrm{S}$):

$$[\underline{Y}]=\mathrm{S}=\frac{1}{\mathrm{\Omega }}$$

In kartesischer Form:

$$\underline{Y}=G+jB$$

Dabei ist:

• $G$ der Wirkleitwert (conductance) — der Realteil der Admittanz
• $B$ der Blindleitwert (susceptance) — der Imaginärteil der Admittanz
• $Y=|\underline{Y}|=\sqrt{G^2+B^2}$ der Scheinleitwert (admittance magnitude)

6.2 Admittanz der drei Grundbauelemente

Aus den bekannten Impedanzen ergeben sich die Admittanzen durch Kehrwertbildung:

Bauelement	Impedanz $\underline{Z}$	Admittanz $\underline{Y}=1/\underline{Z}$
Widerstand	$R$	$G=\frac{1}{R}$
Kondensator	$\frac{1}{j\omega C}$	$j\omega C$
Spule	$j\omega L$	$\frac{1}{j\omega L}=-\frac{j}{\omega L}$

Wann Impedanz, wann Admittanz?

Die Impedanz ist besonders praktisch für Reihenschaltungen: Die Impedanzen addieren sich direkt. Die Admittanz ist besonders praktisch für Parallelschaltungen: Die Admittanzen addieren sich direkt. Dieses Prinzip entspricht dem bekannten Vorgehen aus dem Gleichstromkreis (Widerstände in Reihe addieren, Leitwerte parallel addieren) und wird in ET2-05 systematisch angewendet.

6.3 Zusammenhang zwischen Impedanz- und Admittanzkomponenten

Es ist wichtig zu beachten, dass die Zerlegung von Impedanz und Admittanz in Real- und Imaginärteil nicht einfach durch Kehrwertbildung der Einzelkomponenten ineinander überführt werden kann:

$$G\ne \frac{1}{R}\text{(im Allgemeinen!)}$$

Nur für rein ohmsche oder rein reaktive Bauelemente gilt die einfache Kehrwertbeziehung. Im allgemeinen Fall ($\underline{Z}=R+jX$) ergibt sich:

$$\underline{Y}=\frac{1}{R+jX}=\frac{R-jX}{R^2+X^2}$$

Daraus folgt:

$$G=\frac{R}{R^2+X^2},B=\frac{-X}{R^2+X^2}$$

Häufiger Fehler

Ein verbreiteter Fehler ist die Annahme $G=1/R$ und $B=1/X$ bei gemischten Impedanzen. Dies gilt nur für die reinen Einzelbauelemente, nicht für Kombinationen. Bei einer Impedanz $\underline{Z}=R+jX$ müssen Real- und Imaginärteil der Admittanz über die oben genannte Formel berechnet werden.

7 Zeigerdiagramme für Kombinationen von Bauelementen

7.1 Bedeutung der Zeigerdiagramme

Zeigerdiagramme sind ein unverzichtbares Werkzeug der Wechselstromtechnik. Sie stellen die Phasenbeziehungen zwischen Strömen und Spannungen graphisch dar und ermöglichen ein schnelles, qualitatives Verständnis des Schaltungsverhaltens. Jeder komplexe Effektivwert wird als Zeiger (Pfeil) in der komplexen Ebene dargestellt:

• Die Länge des Zeigers entspricht dem Betrag (Effektivwert)
• Der Winkel gegenüber der reellen Achse entspricht dem Phasenwinkel

In den folgenden Abschnitten zeichnen wir die Zeigerdiagramme für die wichtigsten Grundkombinationen. Als Bezugsgröße wählen wir jeweils die Größe, die in der Schaltung allen Bauelementen gemeinsam ist: Bei Reihenschaltungen ist das der Strom (gleich für alle Elemente), bei Parallelschaltungen die Spannung.

7.2 RL-Reihenschaltung

In einer Reihenschaltung aus Widerstand $R$ und Spule $L$ fließt durch beide Bauelemente derselbe Strom $\underline{I}$. Wir wählen den Strom als Bezugsgröße und legen seinen Zeiger auf die reelle Achse.

Die Gesamtspannung setzt sich aus der Spannung am Widerstand und der Spannung an der Spule zusammen:

$$\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L=R\cdot \underline{I}+j\omega L\cdot \underline{I}=(R+j\omega L)\cdot \underline{I}$$

• ${\underline{U}}_R=R\cdot \underline{I}$ ist in Phase mit $\underline{I}$ (Zeiger in Richtung der reellen Achse)
• ${\underline{U}}_L=j\omega L\cdot \underline{I}$ eilt $\underline{I}$ um $90°$ voraus (Zeiger in Richtung der positiven imaginären Achse)

Die Gesamtspannung $\underline{U}$ ergibt sich als vektorielle Summe und eilt dem Strom um den Winkel $\phi =\arctan (\omega L/R)$ voraus. Dieser Winkel liegt zwischen $0°$ und $90°$.

Zeigerdiagramm der RL-Reihenschaltung: $\underline{I}$ als Bezugsgröße, ${\underline{U}}_R$ in Phase, ${\underline{U}}_L$ um $90°$ voreilend (eigene Darstellung)

7.3 RC-Reihenschaltung

In einer Reihenschaltung aus Widerstand $R$ und Kondensator $C$ ist wiederum der Strom $\underline{I}$ die gemeinsame Größe.

$$\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_C=R\cdot \underline{I}+\frac{1}{j\omega C}\cdot \underline{I}=\left(R-\frac{j}{\omega C}\right)\cdot \underline{I}$$

• ${\underline{U}}_R=R\cdot \underline{I}$ ist in Phase mit $\underline{I}$
• ${\underline{U}}_C=\frac{1}{j\omega C}\cdot \underline{I}=-\frac{j}{\omega C}\cdot \underline{I}$ eilt $\underline{I}$ um $90°$ nach (Zeiger in Richtung der negativen imaginären Achse)

Die Gesamtspannung $\underline{U}$ eilt dem Strom um den Winkel $\phi =\arctan \left(-\frac{1}{\omega CR}\right)$ nach. Der Phasenwinkel liegt zwischen $0°$ und $-90°$.

Zeigerdiagramm der RC-Reihenschaltung: $\underline{I}$ als Bezugsgröße, ${\underline{U}}_R$ in Phase, ${\underline{U}}_C$ um $90°$ nacheilend (eigene Darstellung)

7.4 RLC-Reihenschaltung

Die allgemeinste Reihenschaltung enthält alle drei Grundbauelemente: Widerstand $R$, Spule $L$ und Kondensator $C$. Die Gesamtimpedanz beträgt:

$$\underline{Z}=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$$

Die Gesamtspannung:

$$\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C$$

Im Zeigerdiagramm zeigt ${\underline{U}}_L$ nach oben und ${\underline{U}}_C$ nach unten. Der resultierende Blindspannungsanteil ist die Differenz der beiden:

• Wenn $\omega L>\frac{1}{\omega C}$: Der induktive Anteil überwiegt, $\phi >0$ (induktives Verhalten)
• Wenn $\omega L<\frac{1}{\omega C}$: Der kapazitive Anteil überwiegt, $\phi <0$ (kapazitives Verhalten)
• Wenn $\omega L=\frac{1}{\omega C}$: Die Blindanteile heben sich auf, $\phi =0$ — das ist der Resonanzfall, der in ET2-05 vertieft wird.

Zeigerdiagramme der RLC-Reihenschaltung: induktiver, kapazitiver und Resonanzfall (eigene Darstellung)

Merke: Phasenverschiebung zeigt das Bauelementverhalten

Der Phasenwinkel $\phi$ der Gesamtimpedanz verrät, welches Bauelement das Verhalten der Schaltung dominiert:

• $\phi >0$: überwiegend induktiv (Spannung eilt vor)
• $\phi <0$: überwiegend kapazitiv (Strom eilt vor)
• $\phi =0$: rein ohmsch oder Resonanz

7.5 Vorbereitung auf die Praktika

Die in dieser Lektion hergeleiteten Impedanzen bilden das theoretische Fundament für die Praktikumsversuche 2 und 3:

• Praktikum 2 (Frequenzgang: RC-Tiefpass / RLC-Reihenschwingkreis): Dort werden die frequenzabhängigen Impedanzen von $C$ und $L$ experimentell sichtbar. Die Studierenden messen Amplituden und Phasenverschiebungen bei verschiedenen Frequenzen und vergleichen die Messwerte mit den hier hergeleiteten Formeln.
• Praktikum 3 (Reale Spule): Dort wird die komplexe Impedanz einer realen Spule (mit ohmschem Anteil) gemessen und mit dem Modell $\underline{Z}=R+j\omega L$ verglichen.

Reflexionsfrage

Warum ist der Kondensator bei Gleichstrom ein „offener Schalter” und die Spule ein „Kurzschluss” — bei hohen Frequenzen aber genau umgekehrt? Erklären Sie den Zusammenhang mit den Formeln ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$ und ${\underline{Z}}_L=j\omega L$.

Antwort
Bei Gleichstrom gilt \omega = 0:

• $|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}\to \infty$: Der Kondensator hat unendlich hohen Widerstand — kein Strom fließt (offener Schalter).
• $|{\underline{Z}}_L|=\omega L=0$: Die Spule hat keinen Widerstand — nur der Drahtwiderstand begrenzt den Strom (Kurzschluss).

Bei hohen Frequenzen ($\omega \to \infty$):

• $|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}\to 0$: Der Kondensator wird zum Kurzschluss.
• $|{\underline{Z}}_L|=\omega L\to \infty$: Die Spule sperrt.

Der Kondensator und die Spule verhalten sich also frequenzmäßig komplementär. Dieses Verhalten ergibt sich unmittelbar aus den Impedanzformeln: ${\underline{Z}}_C$ ist umgekehrt proportional zu $\omega$, während ${\underline{Z}}_L$ direkt proportional zu $\omega$ ist.

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Übungen zu dieser Lektion

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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