Übung ET1-04.R3 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-07)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

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Aufgabe

Eine Photovoltaikanlage auf einem Flachdach erzeugt bei Volllast einen Gleichstrom von $I=32\mathrm{A}$ bei einer Spannung von $U_{\mathrm{DC}}=400\mathrm{V}$. Die Kupferleitung vom PV-Generator zum Wechselrichter im Keller hat eine einfache Länge von $l=35\mathrm{m}$.

Der Installateur plant, ein Kabel mit einem Querschnitt von $A=6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ zu verwenden.

Randbedingungen:

• Der spezifische Widerstand der Kupferleitung beträgt bei $20°\mathrm{C}$: ${\rho }_{20}=0,0178\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m$
• Der Temperaturkoeffizient von Kupfer: ${\alpha }_{20}=3,93\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
• Im Sommer kann die Kabeltemperatur auf dem Dach $T=70°\mathrm{C}$ erreichen
• Der maximal zulässige Spannungsfall auf der DC-Seite beträgt $2\%$ der Systemspannung

a) Berechnen Sie den Leitungswiderstand bei $20°\mathrm{C}$ (Hin- und Rückleiter berücksichtigen).

b) Berechnen Sie den Leitungswiderstand bei der maximalen Betriebstemperatur von $70°\mathrm{C}$.

c) Ermitteln Sie den Spannungsfall und die Verlustleistung in der Leitung bei $70°\mathrm{C}$.

d) Prüfen Sie, ob der geplante Kabelquerschnitt die $2\%$-Grenze einhält. Falls nicht, berechnen Sie den minimal erforderlichen Querschnitt.

e) Welcher Wirkungsgrad ergibt sich für die Energieübertragung über die Leitung?

Lösung

a) $R_{20}=0,208\Omega$
b) $R_{70}=0,249\Omega$
c) $\Delta U=8,0\mathrm{V}$ ($2,0\%$), $P_{\mathrm{V}}=255\mathrm{W}$
d) Grenze gerade eingehalten; bei Reserve: $A_{\min }=10\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$
e) $\eta =98,0\%$

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Betriebsstrom: $I=32\mathrm{A}$
• DC-Spannung: $U_{\mathrm{DC}}=400\mathrm{V}$
• Einfache Kabellänge: $l=35\mathrm{m}$ → Gesamtlänge: $\ell =2l=70\mathrm{m}$
• Geplanter Querschnitt: $A=6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$
• Spezifischer Widerstand Kupfer: ${\rho }_{20}=0,0178\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m$
• Temperaturkoeffizient Kupfer: ${\alpha }_{20}=3,93\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
• Maximale Betriebstemperatur: $T=70°\mathrm{C}$
• Maximal zulässiger Spannungsfall: $\Delta U_{\max }=2\%$ von $U_{\mathrm{DC}}$

Bekannt:

• Leitungswiderstand: $R=\rho \cdot \frac{\ell }{A}$
• Temperaturabhängigkeit: $R(T)=R_{20}\cdot (1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$
• Spannungsfall: $\Delta U=R\cdot I$
• Verlustleistung: $P_{\mathrm{V}}=R\cdot I^2=\Delta U\cdot I$
• Wirkungsgrad: $\eta =\frac{P_{\mathrm{nutz}}}{P_{\mathrm{ges}}}=1-\frac{P_{\mathrm{V}}}{P_{\mathrm{ges}}}$

Dabei ist:

• $R$ der Widerstand in Ohm ($\Omega$)
• $\rho$ der spezifische Widerstand in $\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m$
• $\ell$ die Gesamtlänge (Hin- und Rückleiter) in Metern ($\mathrm{m}$)
• $A$ die Querschnittsfläche in Quadratmillimetern ($\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$)
• ${\alpha }_{20}$ der Temperaturkoeffizient bei $20°\mathrm{C}$ in ${\mathrm{K}}^{-1}$
• $\Delta T$ die Temperaturdifferenz in Kelvin ($\mathrm{K}$)
• $\Delta U$ der Spannungsfall in Volt ($\mathrm{V}$)
• $P_{\mathrm{V}}$ die Verlustleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $\eta$ der Wirkungsgrad (dimensionslos)

Gesucht

a) Leitungswiderstand $R_{20}$ bei $20°\mathrm{C}$
b) Leitungswiderstand $R_{70}$ bei $70°\mathrm{C}$
c) Spannungsfall $\Delta U$ und Verlustleistung $P_{\mathrm{V}}$ bei $70°\mathrm{C}$
d) Überprüfung der $2\%$-Grenze, ggf. Mindestquerschnitt
e) Wirkungsgrad $\eta$ der Energieübertragung

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a) Leitungswiderstand bei 20°C

Die Gesamtlänge (Hin- und Rückleiter):

$$\ell =2\cdot l=2\cdot 35\mathrm{m}=70\mathrm{m}$$

Der Leitungswiderstand bei $20°\mathrm{C}$:

$$R_{20}={\rho }_{20}\cdot \frac{\ell }{A}=0,0178\frac{\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}\cdot \frac{70\mathrm{m}}{6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{20}=0,0178\cdot 11,67\Omega =\underline{0,208\Omega }$$

b) Leitungswiderstand bei 70°C

Die Temperaturdifferenz beträgt:

$$\Delta T=70°\mathrm{C}-20°\mathrm{C}=50\mathrm{K}$$

Der temperaturkorrigierte Widerstand:

$$R_{70}=R_{20}\cdot (1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$$ $$R_{70}=0,208\Omega \cdot \left(1+3,93\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 50\mathrm{K}\right)$$ $$R_{70}=0,208\Omega \cdot (1+0,1965)=0,208\Omega \cdot 1,1965=\underline{0,249\Omega }$$

Widerstandserhöhung durch Temperatur

Der Widerstand erhöht sich durch die Erwärmung um $19,7\%$. Dies ist signifikant und muss bei der Kabelauslegung berücksichtigt werden. Viele Installateure vergessen die Temperaturkorrektur und unterschätzen dadurch den Spannungsfall im Sommerbetrieb.

c) Spannungsfall und Verlustleistung bei 70°C

Spannungsfall:

$$\Delta U=R_{70}\cdot I=0,249\Omega \cdot 32\mathrm{A}=\underline{7,97\mathrm{V}}$$

Relativer Spannungsfall:

$$\frac{\Delta U}{U_{\mathrm{DC}}}=\frac{7,97\mathrm{V}}{400\mathrm{V}}=0,0199=\underline{1,99\%}$$

Verlustleistung:

$$P_{\mathrm{V}}=R_{70}\cdot I^2=0,249\Omega \cdot (32\mathrm{A}{)}^2=0,249\Omega \cdot 1024{\mathrm{A}}^2=\underline{255\mathrm{W}}$$

Kontrolle über $P_{\mathrm{V}}=\Delta U\cdot I$:

$P_{\mathrm{V}}=7,97\mathrm{V}\cdot 32\mathrm{A}=255\mathrm{W}$ ✔

d) Überprüfung der 2%-Grenze

Maximal zulässiger Spannungsfall:

$$\Delta U_{\max }=2\%\cdot U_{\mathrm{DC}}=0,02\cdot 400\mathrm{V}=8,0\mathrm{V}$$

Vergleich:

$$\Delta U=7,97\mathrm{V}<8,0\mathrm{V}=\Delta U_{\max }$$

Der Spannungsfall liegt mit $1,99\%$ gerade noch innerhalb der $2\%$-Grenze. Allerdings besteht praktisch keine Reserve.

Empfehlung für den Mindestquerschnitt mit Reserve:

Für einen Zielwert von $\Delta U_{\mathrm{Ziel}}=1,5\%$ (praxisüblich):

$$\Delta U_{\mathrm{Ziel}}=0,015\cdot 400\mathrm{V}=6,0\mathrm{V}$$

Maximal zulässiger Widerstand bei $70°\mathrm{C}$:

$$R_{\max ,70}=\frac{\Delta U_{\mathrm{Ziel}}}{I}=\frac{6,0\mathrm{V}}{32\mathrm{A}}=0,1875\Omega$$

Rückrechnung auf $20°\mathrm{C}$:

$$R_{\max ,20}=\frac{R_{\max ,70}}{1,1965}=\frac{0,1875\Omega }{1,1965}=0,157\Omega$$

Erforderlicher Mindestquerschnitt:

$$A_{\min }={\rho }_{20}\cdot \frac{\ell }{R_{\max ,20}}=0,0178\frac{\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}\cdot \frac{70\mathrm{m}}{0,157\Omega }$$ $$A_{\min }=0,0178\cdot 445,9\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=7,94\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$$

Aus der Normreihe wählt man den nächstgrößeren Querschnitt: $\underline{A=10\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}$

Praktische Empfehlung

Obwohl der $6\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$-Querschnitt rechnerisch ausreicht, empfiehlt sich in der Praxis $10\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$:

• Reserve für Alterung und Kontaktübergangswiderstände
• Sicherheit bei besonders heißen Sommertagen ($>70°\mathrm{C}$)
• Reduzierte Verluste erhöhen den Jahresertrag der Anlage
• Die Mehrkosten für das dickere Kabel amortisieren sich über die Betriebszeit

e) Wirkungsgrad der Energieübertragung

Erzeugte Leistung (am PV-Generator):

$$P_{\mathrm{ges}}=U_{\mathrm{DC}}\cdot I=400\mathrm{V}\cdot 32\mathrm{A}=12800\mathrm{W}$$

Nutzbare Leistung (am Wechselrichter):

$$P_{\mathrm{nutz}}=P_{\mathrm{ges}}-P_{\mathrm{V}}=12800\mathrm{W}-255\mathrm{W}=12545\mathrm{W}$$

Wirkungsgrad:

$$\eta =\frac{P_{\mathrm{nutz}}}{P_{\mathrm{ges}}}=\frac{12545\mathrm{W}}{12800\mathrm{W}}=0,980=\underline{98,0\%}$$

Alternative Berechnung:

$\eta =1-\frac{P_{\mathrm{V}}}{P_{\mathrm{ges}}}=1-\frac{255\mathrm{W}}{12800\mathrm{W}}=1-0,0199=98,0\%$ ✔

Jahresverluste abschätzen

Bei einer typischen PV-Anlage mit $1000$ Volllaststunden pro Jahr beträgt der Energieverlust in der Leitung:

$$W_{\mathrm{V}}=P_{\mathrm{V}}\cdot t=255\mathrm{W}\cdot 1000\mathrm{h}=255\mathrm{kWh}$$

Bei einem angenommenen Strompreis von $0,30EUR/kWh$ entspricht das etwa $77\mathrm{EUR}$ pro Jahr. Die Investition in einen größeren Kabelquerschnitt kann sich daher über die 20- bis 25-jährige Betriebsdauer der Anlage lohnen.