Übung ET1-04.04 – Temperaturkoeffizient Messung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-10-26)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

Aufgabe

Bei der Qualitätskontrolle eines Drahtes aus unbekanntem Material werden zwei Widerstandsmessungen bei unterschiedlichen Temperaturen durchgeführt. Die erste Messung bei $T_1=25°C$ ergibt einen Widerstandswert von $R_1=510\Omega$, die zweite Messung bei $T_2=60°C$ einen Widerstandswert von $R_2=580\Omega$.

a) Berechnen Sie den Temperaturkoeffizienten ${\alpha }_{20}$ des Drahtmaterials!

b) Bestimmen Sie den Widerstandswert $R_{20}$ bei der Bezugstemperatur von $20°C$!

c) Identifizieren Sie das Material des Drahtes anhand des ermittelten Temperaturkoeffizienten!

Lösung

a) $4,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
b) $500\mathrm{\Omega }$
c) Aluminium

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Temperatur der ersten Messung: $T_1=25°C$
• Widerstand bei erster Messung: $R_1=510\Omega$
• Temperatur der zweiten Messung: $T_2=60°C$
• Widerstand bei zweiter Messung: $R_2=580\Omega$

Bekannt:

• Temperaturabhängigkeit des Widerstands: $R(T)=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$
• Bezugstemperatur: $T_0=20°C$

Gesucht

a) Temperaturkoeffizient ${\alpha }_{20}$ in ${\mathrm{K}}^{-1}$
b) Widerstand $R_{20}$ bei $20°C$ in $\Omega$
c) Materialidentifikation

a) Temperaturkoeffizient

Aufstellen der Gleichungen für beide Messpunkte:

$$R_1=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot (T_1-20°C))=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K})$$ $$R_2=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot (T_2-20°C))=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K})$$

Division der zweiten durch die erste Gleichung:

$$\frac{R_2}{R_1}=\frac{1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K}}{1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K}}$$

Einsetzen der Messwerte:

$$\frac{580\Omega }{510\Omega }=\frac{1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K}}{1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K}}$$ $$1,1373=\frac{1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K}}{1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K}}$$

Umformen durch Ausmultiplizieren:

$$1,1373\cdot (1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K})=1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K}$$

$1,1373+5,686\cdot {\alpha }_{20}\mathrm{K}=1+40\cdot {\alpha }_{20}\mathrm{K}$ $0,1373=(40-5,686)\cdot {\alpha }_{20}\mathrm{K}$ $0,1373=34,314\cdot {\alpha }_{20}\mathrm{K}$

$${\alpha }_{20}=\frac{0,1373}{34,314\mathrm{K}}=0,00400{\mathrm{K}}^{-1}=\underline{4,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}}$$

b) Widerstand bei 20°C

Aus der ersten Messgleichung:

$$R_1=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot 5\mathrm{K})$$

$510\Omega =R_{20}(1+0,004{\mathrm{K}}^{-1}\cdot 5\mathrm{K})$ $510\Omega =R_{20}\cdot 1,02$ $R_{20}=\frac{510,\Omega }{1,02}=\underline{500\Omega }$

Kontrolle mit der zweiten Messung:

$$R_2=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot 40\mathrm{K})=500\Omega \cdot (1+0,004\cdot 40)=500\Omega \cdot 1,16=580\Omega$$

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c) Materialidentifikation

Der ermittelte Temperaturkoeffizient von ${\alpha }_{20}=4,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ entspricht exakt dem Literaturwert für Aluminium.

Das Drahtmaterial ist somit reines Aluminium, welches in der Elektrotechnik häufig als kostengünstiger Leiter eingesetzt wird, insbesondere bei Freileitungen und in der Energietechnik.

Aluminium als Leitermaterial Aluminium ist nach Kupfer das zweitwichtigste Leitermaterial in der Elektrotechnik:

• Temperaturkoeffizient: ${\alpha }_{20\mathrm{Al}}=4,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
• Spezifischer Widerstand: ${\rho }_{20\mathrm{Al}}=0,0287\frac{\Omega \cdot \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{m}}$
• Vorteile: Geringes Gewicht, kostengünstig
• Nachteile: Höherer spezifischer Widerstand als Kupfer, Oxidationsneigung

Typische Anwendungen: Freileitungen, Stromschienen, Kabel für Energieübertragung

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1. Dimensionieren Sie den Querschnitt so, dass $\Delta U\le 3\%$ bei $U_{\mathrm{N}}=230\mathrm{V}$, $I=12\mathrm{A}$, $l=30\mathrm{m}$ (Cu).
2. Eine Kupferwicklung hat $R_0=12,0\Omega$ bei $20^{\circ }\mathrm{C}$. Im Betrieb messen Sie $R=13,2\Omega$. Schätzen Sie $T$ (nehmen Sie ${\alpha }_{20}=3,93\cdot 10^{-3}/\mathrm{K}$).
3. Bestimmen Sie den Arbeitspunkt einer linearen Quelle ($U_0=9\mathrm{V}$, $R_{\mathrm{i}}=1,0\Omega$) an $R_{\mathrm{L}}=10\Omega$ grafisch und rechnerisch. (Hinweis: Innenwiderstandsmodell + Geraden im $U$–$I$-Feld.)