Übung ET1-04.05 – Leiterwiderstand und Spannungsfall Kabeltrommel (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-10-26)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

Aufgabe

In einem großen Internetkaufhaus bestellen Sie eine $50\mathrm{m}$ lange Kabeltrommel aus Kupferleitung mit einem Querschnitt von $1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$, um die $2000\mathrm{W}$-Elektroheizung im Gartenhäuschen zu betreiben. Sie stellen fest, dass die Heizung im Gartenhäuschen nicht so stark heizt, wie wenn Sie sie an einer Steckdose im Haus betreiben.

Welche technische Ursache könnte es haben, dass die tatsächliche Wärmeleistung von der auf der Verpackung angegebenen abweicht?

a) Skizzieren Sie die Schaltung und lokalisieren Sie die potenzielle Ursache.

b) Welchen Leiterwiderstand hat die Kabeltrommel bei 20°C?

c) Berechnen Sie den Spannungsfall über der Leitung, während des Betriebs der Heizung. Welche Spannung liegt tatsächlich an der Heizung an?

d) Welche el. Leistung nimmt die Heizung auf, und welche gibt sie in Wärme ab ($\eta =1$)?

e) Überprüfen Sie Ihre Vermutung aus a).

f) Warum soll eine Kabeltrommel vor dem Betrieb immer vollständig abgewickelt werden?

Lösung

$R_{\mathrm{Ltg}}\approx 1,2\Omega$
$\Delta U_{\mathrm{Ltg}}\approx 9,9\mathrm{V}$ → $U_{\mathrm{Hzg}}\approx 220,1\mathrm{V}$
$P_{\mathrm{Hzg}}\approx 1,83\mathrm{kW}$ (≈ 8,4 % unter Nennwert)
$P_{\mathrm{Ltg}}\approx 82\mathrm{W}$ (Leitungsverlust)

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Kabellänge (einfach): $L=50\mathrm{m}$ (Hin- und Rückleiter → $\ell =2L=100\mathrm{m}$)
• Leiterquerschnitt: $A=1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$
• Material: Kupfer
• Nennleistung Heizung: $P_{\mathrm{N}}=2000\mathrm{W}$ (bei $U_{\mathrm{N}}=230\mathrm{V}$)

Bekannt:

• Spezifischer Widerstand Kupfer (20°C): ${\rho }_{\mathrm{Cu}}\approx 0,0178\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m$
• Leitungswiderstand: $R=\rho \frac{\ell }{A}$
• Ohm’sches Gesetz/Leistung: $U=IR,P=UI=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$
• Schaltung: Quelle $230\mathrm{V}$ — Leitung $R_{\mathrm{Ltg}}$ — Heizung $R_{\mathrm{Hzg}}$

Gesucht

a) Schaltskizze & Ursache
b) Leitungswiderstand bei $20^{\circ }\mathrm{C}$
c) Spannungsfall und Klemmenspannung an der Heizung
d) Aufgenommene elektrische Leistung der Heizung und abgegebene Wärmeleistung
e) Plausibilitätscheck zur Vermutung aus a)
f) Warum Kabeltrommel vollständig abwickeln?

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a) Schaltung & Ursache

• Ursache: Spannungsfall am endlichen Leitungswiderstand $R_{\mathrm{Ltg}}$ → geringere Klemmenspannung an der Heizung → geringere Leistung.

b) Leitungswiderstand (20°C)

Doppelte Länge (Hin- und Rückleiter): $\ell =2\cdot 50\mathrm{m}=100\mathrm{m}$

$$R_{\mathrm{Ltg}}={\rho }_{\mathrm{Cu}}\frac{\ell }{A}=0,0178\Omega \mathrm{m}{\mathrm{m}}^2/m\cdot \frac{100\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}=1,186\dots \Omega \approx \underline{1,2\Omega }$$

c) Spannungsfall und Klemmenspannung

Heizungswiderstand aus Nennwerten (bei $230\mathrm{V}$, $2\mathrm{kW}$):

$$R_{\mathrm{Hzg}}=\frac{U_{\mathrm{N}}^2}{P_{\mathrm{N}}}=\frac{230^2{\mathrm{V}}^2}{2000\mathrm{W}}=26,45\Omega$$

Strom im Betrieb (Serie aus $R_{\mathrm{Ltg}}$ und $R_{\mathrm{Hzg}}$):

$$I=\frac{U_N}{R_{\mathrm{Ltg}}+R_{\mathrm{Hzg}}}=\frac{230\mathrm{V}}{(1,19+26,45)\Omega }=8,32\mathrm{A}$$

Spannungsfall Leitung:

$$\Delta U_{\mathrm{Ltg}}=I{R}_{\mathrm{Ltg}}=8,32\mathrm{A}\cdot 1,19\Omega \approx \underline{9,9\mathrm{V}}$$

Klemmenspannung an der Heizung:

$$U_{\mathrm{Hzg}}=230\mathrm{V}-\Delta U_{\mathrm{Ltg}}=\underline{220,1\mathrm{V}}$$

d) Aufgenommene Leistung der Heizung

$$P_{\mathrm{Hzg}}=I^2{R}_{\mathrm{Hzg}}=(8,32\mathrm{A}{)}^2\cdot 26,45\Omega =\underline{1,83\mathrm{kW}}(\approx 1830\mathrm{W})$$

(Relative Abweichung: $\approx 8,4\%$ unter Nennleistung.)

e) Überprüfung der Vermutung

• Spannungsfall: $\frac{\Delta U_{\mathrm{Ltg}}}{230\mathrm{V}}\approx \underline{4,29\%}$
• Leistungsreduktion (Ohm’sche Last, $P\propto U^2$): $\approx \underline{8,4\%}$

→ Bestätigt: Die geringere Heizleistung wird durch den Spannungsfall der langen Leitung verursacht.

Nebenrechnung (Verlust in der Leitung):

$$P_{\mathrm{Ltg}}=I^2{R}_{\mathrm{Ltg}}=8,32^2{\mathrm{A}}^2\cdot 1,19\Omega =\underline{82\mathrm{W}}$$

Die Leitung ist eine mittelprächtige Heizung in der Größenordnung eines elektrischen Heizkissens.

f) Warum vollständig abwickeln?

• Auf der Trommel aufgewickelt wird die Leitung kaum gekühlt → die Verluste ($P_{\mathrm{Ltg}}\approx 82\mathrm{W}$) stauen Wärme → Gefahr der Überhitzung/Brand.
• Induktive Effekte sind bei Hin- und Rückleiter nahe beieinander weitgehend kompensiert; Hauptproblem ist thermische Belastung (nicht Magnetfeld).

→ Daher: Kabeltrommel immer vollständig abwickeln.