Übung ET1-04.03 – Temperaturkoeffizient Aluminiumleitung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-10-27)

Bezug zu ET1-04 Elektrischer Widerstand

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Aufgabe

Der Widerstand einer Aluminiumleitung beträgt $2,20\Omega$ bei $12,0°C$.

a) Berechnen Sie den Widerstandswert der Leitung bei der Bezugstemperatur von $20°C$!
b) Bei welcher Temperatur ist der Widerstandswert um $6\%$ gegenüber dem Wert bei $12°C$ gestiegen?
c) Welchen Widerstandswert hätte die Leitung bei $-10°C$?

Die Werte zum Temperaturkoeffizienten stehen auf der Detailseite zum Widerstand.

Lösung

a) $2,27\Omega$
b) $26,5°C$
c) $2,0\Omega$

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstand bei $T_1=12°C$: $R_1=2,2\Omega$
• Material: Aluminium
• Widerstandserhöhung: $6\%$

Bekannt:

• Temperaturkoeffizient von Aluminium: ${\alpha }_{20\mathrm{Al}}=4,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$
• Temperaturabhängigkeit: $R(T)=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot \Delta T)$
• Bezugstemperatur: $T_0=20°C$

Gesucht

a) Widerstand $R_{20}$ bei $20°C$ in $\Omega$
b) Temperatur $T_2$ für $6\%$ Widerstandserhöhung in $°C$
c) Widerstand $R_{-10}$ bei $-10°C$ in $\Omega$

a) Widerstand bei 20°C

Aus der Temperaturabhängigkeit für $T_1=12°C$:

$R_1=R_{20}(1+{\alpha }_{20,Al}\cdot (T_1-20°C))$ $2,2\Omega =R_{20}(1+0,004{\mathrm{K}}^{-1}\cdot (12-20)\mathrm{K})$ $2,2\Omega =R_{20}(1+0,004\cdot (-8))$ $2,2\Omega =R_{20}\cdot 0,968$

$$R_{20}=\frac{2,2\Omega }{0,968}=2,273\Omega \approx \underline{2,27\Omega }$$

b) Temperatur für 6% Widerstandserhöhung

Der erhöhte Widerstandswert:

$$R_2=R_1\cdot 1,06=2,2\Omega \cdot 1,06=2,332\Omega$$

Mit dem ermittelten $R_{20}$:

$$R_2=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot (T_2-20°C))$$ $$2,332\Omega =2,273\Omega \cdot (1+0,004{\mathrm{K}}^{-1}\cdot (T_2-20°C))$$

$\frac{2,332}{2,273}=1+0,004\cdot (T_2-20°C)$ $1,026=1+0,004\cdot (T_2-20°C)$ $0,026=0,004\cdot (T_2-20°C)$

$$T_2-20°C=\frac{0,026}{0,004}=6,5\mathrm{K}$$ $$T_2=20°C+6,5\mathrm{K}=\underline{26,5°C}$$

Kontrolle: Temperaturdifferenz von $12°C$ auf $26,5°C$ = $14,5\mathrm{K}$ Erwartete Widerstandsänderung: $\Delta R/R=\alpha \cdot \Delta T\approx 0,004\cdot 14,5=0,058\approx 6\%$ ✓

c) Widerstand bei -10°C

$R_{-10}=R_{20}(1+{\alpha }_{20}\cdot (T-20°C))$ $R_{-10}=2,273\Omega \cdot (1+0,004{\mathrm{K}}^{-1}\cdot (-10-20)\mathrm{K})$ $R_{-10}=2,273\Omega \cdot (1+0,004\cdot (-30))$ $R_{-10}=2,273\Omega \cdot 0,88$ $R_{-10}=2,00\Omega \approx \underline{2,0\Omega }$

Der Widerstand sinkt bei $-10°C$ auf $2,0\Omega$.

Temperaturabhängigkeit in der Praxis

Die Temperaturabhängigkeit des Widerstands hat praktische Konsequenzen:

• Winterbetrieb: Freileitungen haben bei niedrigen Temperaturen geringeren Widerstand → geringere Verluste
• Sommerbetrieb: Bei hohen Temperaturen steigt der Widerstand → höhere Verluste und zusätzliche Erwärmung

Im Beispiel bedeutet die Erwärmung von $12°C$ auf $26,5°C$ bereits $6\%$ mehr Verlustleistung!