ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Wie berechnet man Reihen- und Parallelschaltungen von komplexen Impedanzen?
• Wie funktionieren Spannungsteiler und Stromteiler im Wechselstromkreis?
• Was beschreibt der Frequenzgang einer Schaltung und wie leitet man ihn her?
• Warum sind RC-Tiefpass und RC-Hochpass so grundlegend für die Elektrotechnik?
• Was passiert in einem RLC-Reihenschwingkreis bei der Resonanzfrequenz?
• Wie drückt man Verstärkung und Dämpfung in Dezibel aus?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie berechnen Gesamtimpedanzen von Reihen- und Parallelschaltungen komplexer Bauelemente,
• wenden den komplexen Spannungsteiler und Stromteiler sicher an,
• leiten den Frequenzgang eines RC-Tiefpasses und eines RC-Hochpasses her,
• bestimmen Amplitudengang und Phasengang aus der komplexen Übertragungsfunktion,
• berechnen die Resonanzfrequenz eines RLC-Reihenschwingkreises und
• rechnen Spannungsverhältnisse in Dezibel um.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Reihen- und Parallelschaltung von Impedanzen
• Komplexer Spannungsteiler und Stromteiler
• Übertragungsfunktion, Amplitudengang, Phasengang
• RC-Tiefpass und RC-Hochpass mit Grenzfrequenz
• RLC-Reihenschwingkreis und Resonanzfrequenz
• Dezibel-Maß für Verstärkung und Dämpfung

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Reihen- und Parallelschaltung von Impedanzen
2 Komplexer Spannungsteiler und Stromteiler
3 Frequenzgang und Übertragungsfunktion
4 RC-Tiefpass
5 RC-Hochpass
6 Verstärkung und Dämpfung in Dezibel
7 RLC-Reihenschwingkreis

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

In ET2-04 haben wir die drei Grundbauelemente im Wechselstromkreis kennengelernt und ihre komplexen Impedanzen hergeleitet:

• Ohmscher Widerstand: ${\underline{Z}}_R=R$ – Strom und Spannung in Phase
• Kondensator: ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$ – Strom eilt der Spannung um 90° voraus
• Spule: ${\underline{Z}}_L=j\omega L$ – Strom eilt der Spannung um 90° nach

Mit diesen Bausteinen können wir nun beliebige Wechselstromschaltungen berechnen. Die Regeln, die wir aus der Gleichstromtechnik kennen – Reihen- und Parallelschaltung, Spannungsteiler, Stromteiler –, lassen sich direkt auf komplexe Impedanzen übertragen. Genau das ist das Thema dieser Lektion.

1 Reihen- und Parallelschaltung von Impedanzen

In der Gleichstromtechnik haben wir in ET1-04 gelernt, wie man Reihen- und Parallelschaltungen von ohmschen Widerständen berechnet. Das Prinzip überträgt sich unmittelbar auf die Wechselstromtechnik – mit dem Unterschied, dass wir nun mit komplexen Impedanzen $\underline{Z}$ rechnen statt mit reellen Widerständen $R$. Alle Rechenregeln der Gleichstromtechnik gelten weiterhin, nur dass Addition, Multiplikation und Division nun im Bereich der komplexen Zahlen durchzuführen sind.

1.1 Reihenschaltung

Bei einer Reihenschaltung fließt durch alle Elemente derselbe komplexe Strom $\underline{I}$. Die Gesamtimpedanz ergibt sich als Summe der Einzelimpedanzen:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2+\cdots +{\underline{Z}}_n=\sum _{i=1}^n{\underline{Z}}_i$$

Dabei ist:

• ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ die komplexe Gesamtimpedanz der Reihenschaltung
• ${\underline{Z}}_i$ die komplexe Impedanz des $i$-ten Elements
• $n$ die Anzahl der in Reihe geschalteten Elemente

Die Formel hat exakt die gleiche Struktur wie $R_{\mathrm{ges}}=R_1+R_2+\dots$ in der Gleichstromtechnik. Der entscheidende Unterschied: Weil die ${\underline{Z}}_i$ komplexe Zahlen sind, addieren sich nicht einfach Beträge, sondern Real- und Imaginärteile getrennt. Ein ohmscher Widerstand $R$ trägt zum Realteil bei, eine Induktivität $j\omega L$ und eine Kapazität $\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}$ zum Imaginärteil.

Rechenbeispiel: RL-Reihenschaltung

Ein ohmscher Widerstand ist mit einer Spule in Reihe geschaltet.

Gegeben: $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=50\mathrm{mH}$, $\omega =2000{\mathrm{s}}^{-1}$

Gesucht: Gesamtimpedanz ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ und ihr Betrag $Z$

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R+j\omega L=100\mathrm{\Omega }+j\cdot 2000{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 50\cdot 10^{-3}\mathrm{H}=100\mathrm{\Omega }+j100\mathrm{\Omega }$$

Der Betrag ergibt sich zu:

$$Z=|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|=\sqrt{100^2+100^2}\mathrm{\Omega }=\underline{141,4\mathrm{\Omega }}$$

Der Phasenwinkel beträgt:

$$\phi =\arctan \left(\frac{100}{100}\right)=\underline{45°}$$

Die Impedanz hat also sowohl einen ohmschen als auch einen induktiven Anteil. Der Strom eilt der Spannung um 45° nach – ein Wert zwischen 0° (rein ohmscher Widerstand) und 90° (reine Induktivität).

1.2 Parallelschaltung

Bei einer Parallelschaltung liegt an allen Elementen dieselbe komplexe Spannung $\underline{U}$ an. Für die Gesamtimpedanz gilt – wie in der Gleichstromtechnik – die Kehrwertformel:

$$\frac{1}{{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{{\underline{Z}}_1}+\frac{1}{{\underline{Z}}_2}+\cdots +\frac{1}{{\underline{Z}}_n}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{{\underline{Z}}_i}$$

Dabei ist:

• ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ die komplexe Gesamtimpedanz der Parallelschaltung
• ${\underline{Z}}_i$ die komplexe Impedanz des $i$-ten Elements

Für den Sonderfall zweier paralleler Impedanzen vereinfacht sich dies zu:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=\frac{{\underline{Z}}_1\cdot {\underline{Z}}_2}{{\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2}$$

Admittanz

Oft ist es bei Parallelschaltungen einfacher, mit dem komplexen Leitwert $\underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}$ zu rechnen, der als Admittanz (admittance) bezeichnet wird. Die Einheit ist Siemens ($\mathrm{S}$). Für die Parallelschaltung gilt dann analog zur Gleichstromtechnik:

$${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Y}}_1+{\underline{Y}}_2+\cdots +{\underline{Y}}_n$$

Die Admittanzen addieren sich also direkt – ohne Kehrwertbildung.

Rechenbeispiel: RC-Parallelschaltung

Ein ohmscher Widerstand ist parallel zu einem Kondensator geschaltet.

Gegeben: $R=1\mathrm{k\Omega }$, $C=100\mathrm{nF}$, $f=1\mathrm{kHz}$

Gesucht: Gesamtimpedanz ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$

Zunächst bestimmen wir die Kreisfrequenz und die Einzelimpedanzen:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 1000{\mathrm{s}}^{-1}\approx 6283{\mathrm{s}}^{-1}$$ $${\underline{Z}}_R=R=1000\mathrm{\Omega }$$ $${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j\cdot 6283\cdot 100\cdot 10^{-9}}\mathrm{\Omega }=\frac{1}{j\cdot 6,283\cdot 10^{-4}}\mathrm{\Omega }=-j1592\mathrm{\Omega }$$

Mit der Formel für zwei parallele Impedanzen:

$$\begin{array}{rl}{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}& =\frac{{\underline{Z}}_R\cdot {\underline{Z}}_C}{{\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_C}=\frac{1000\cdot (-j1592)}{1000+(-j1592)}=\frac{-j1,592\cdot 10^6}{1000-j1592}\end{array}$$

Zur Auswertung erweitern wir mit dem konjugiert Komplexen des Nenners:

$$\begin{array}{rl}{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}& =\frac{-j1,592\cdot 10^6\cdot (1000+j1592)}{(1000{)}^2+(1592{)}^2}\\ & =\frac{-j1,592\cdot 10^9+1,592^2\cdot 10^6\cdot 1000}{1,0\cdot 10^6+2,534\cdot 10^6}\mathrm{\Omega }\\ & \approx \underline{(717-j450)\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

Der Betrag beträgt $Z\approx 846\mathrm{\Omega }$ – er ist kleiner als jede Einzelimpedanz, wie es bei einer Parallelschaltung zu erwarten ist.

Gleichstrom-Analogie als Leitprinzip

Die zentrale Erkenntnis dieser Lektion: Alle Methoden der Gleichstromtechnik gelten unverändert in der Wechselstromtechnik, wenn man reelle Widerstände $R$ durch komplexe Impedanzen $\underline{Z}$ ersetzt und mit komplexen Spannungen $\underline{U}$ und Strömen $\underline{I}$ rechnet. Das umfasst:

• Reihen- und Parallelschaltung
• Spannungsteiler und Stromteiler
• Kirchhoffsche Regeln (Knotenregel und Maschenregel)
• Superpositionsprinzip und alle weiteren Netzwerkverfahren

2 Komplexer Spannungsteiler und Stromteiler

2.1 Komplexer Spannungsteiler

Der Spannungsteiler ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Schaltungsanalyse. In der Gleichstromtechnik haben wir ihn in ET1-04 als Verhältnis von Einzelwiderstand zu Gesamtwiderstand kennengelernt. In der Wechselstromtechnik gilt exakt die gleiche Struktur – mit komplexen Impedanzen:

Für zwei in Reihe geschaltete Impedanzen ${\underline{Z}}_1$ und ${\underline{Z}}_2$, an denen die Gesamtspannung ${\underline{U}}_{\mathrm{ges}}$ anliegt, berechnet sich die Spannung über ${\underline{Z}}_2$ zu:

$${\underline{U}}_2={\underline{U}}_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{{\underline{Z}}_2}{{\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2}$$

Dabei ist:

• ${\underline{U}}_2$ die komplexe Spannung über der Impedanz ${\underline{Z}}_2$
• ${\underline{U}}_{\mathrm{ges}}$ die komplexe Gesamtspannung (Quellspannung)
• ${\underline{Z}}_1$, ${\underline{Z}}_2$ die komplexen Impedanzen der Reihenschaltung

Der entscheidende Unterschied zum Gleichstrom-Spannungsteiler: Weil ${\underline{Z}}_1$ und ${\underline{Z}}_2$ komplexe Zahlen sind, kann sich nicht nur der Betrag der Spannung ändern, sondern auch ihre Phase. Der komplexe Spannungsteiler kann Signale also gleichzeitig abschwächen und phasenverschieben – genau das ist die Grundlage für Filter, wie wir in den nachfolgenden Abschnitten sehen werden.

Häufiger Fehler: Beträge einsetzen

Beim komplexen Spannungsteiler dürfen nicht die Beträge der Impedanzen eingesetzt werden, sondern die vollständigen komplexen Werte. Erst am Ende darf der Betrag gebildet werden:

$$|{\underline{U}}_2|=|{\underline{U}}_{\mathrm{ges}}|\cdot \frac{|{\underline{Z}}_2|}{|{\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2|}$$

Beachten Sie: $|{\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2|\ne |{\underline{Z}}_1|+|{\underline{Z}}_2|$ – die Beträge komplexer Zahlen addieren sich im Allgemeinen nicht.

2.2 Komplexer Stromteiler

Analog dazu existiert der Stromteiler für Parallelschaltungen. Für zwei parallele Impedanzen ${\underline{Z}}_1$ und ${\underline{Z}}_2$, durch die der Gesamtstrom ${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}$ fließt, gilt für den Strom durch ${\underline{Z}}_1$:

$${\underline{I}}_1={\underline{I}}_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{{\underline{Z}}_2}{{\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2}$$

Dabei ist:

• ${\underline{I}}_1$ der komplexe Strom durch ${\underline{Z}}_1$
• ${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}$ der komplexe Gesamtstrom
• ${\underline{Z}}_1$, ${\underline{Z}}_2$ die komplexen Impedanzen der Parallelschaltung

Kreuzregel

Man beachte die Kreuzregel: Beim Stromteiler steht im Zähler die andere Impedanz, nicht die eigene. Der größere Strom fließt durch die kleinere Impedanz – genau wie in der Gleichstromtechnik der größere Strom durch den kleineren Widerstand fließt.

Rechenbeispiel: Spannungsteiler mit R und C

An einer Reihenschaltung aus $R$ und $C$ liegt eine Wechselspannung an. Wir setzen die Phase der Eingangsspannung auf null: ${\underline{U}}_{\mathrm{ges}}=10\mathrm{V}\angle 0°$.

Gegeben: $R=1\mathrm{k\Omega }$, $C=100\mathrm{nF}$, $U_{\mathrm{ges}}=10\mathrm{V}$, $f=1\mathrm{kHz}$

Gesucht: Die Spannung ${\underline{U}}_C$ über dem Kondensator

Die Impedanzen betragen:

$${\underline{Z}}_R=1000\mathrm{\Omega },{\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j\cdot 2\pi \cdot 1000\cdot 100\cdot 10^{-9}}\mathrm{\Omega }\approx -j1592\mathrm{\Omega }$$

Mit dem Spannungsteiler:

$$\begin{array}{rl}{\underline{U}}_C& ={\underline{U}}_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{{\underline{Z}}_C}{{\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_C}=10\mathrm{V}\cdot \frac{-j1592}{1000-j1592}\end{array}$$

Wir berechnen den Betrag:

$$|{\underline{U}}_C|=10\mathrm{V}\cdot \frac{1592}{\sqrt{1000^2+1592^2}}=10\mathrm{V}\cdot \frac{1592}{1880}\approx \underline{8,47\mathrm{V}}$$

Die Phase ergibt sich zu:

$${\phi }_{U_C}=-90°-\arctan \left(\frac{-1592}{1000}\right)=-90°-(-57,9°)=\underline{-32,1°}$$

Die Spannung am Kondensator beträgt also $8,47\mathrm{V}$ und eilt der Eingangsspannung um $32,1°$ nach. Obwohl die kapazitive Impedanz ($1592\mathrm{\Omega }$) größer ist als der ohmsche Widerstand ($1000\mathrm{\Omega }$), ergibt sich keine einfache proportionale Aufteilung – die komplexe Addition im Nenner führt zu einem anderen Ergebnis als die Addition der Beträge.

3 Frequenzgang und Übertragungsfunktion

3.1 Die komplexe Übertragungsfunktion

In vielen Anwendungen der Elektrotechnik – Audiotechnik, Nachrichtentechnik, Regelungstechnik, Messtechnik – ist die zentrale Frage: Wie verhält sich eine Schaltung bei verschiedenen Frequenzen? Lässt sie tiefe Frequenzen durch und sperrt hohe (Tiefpass)? Oder umgekehrt (Hochpass)? Oder bevorzugt sie eine bestimmte Frequenz (Bandpass)?

Diese frequenzabhängige Eigenschaft wird durch den Frequenzgang beschrieben. Mathematisch definieren wir die komplexe Übertragungsfunktion als das Verhältnis der komplexen Ausgangsspannung zur komplexen Eingangsspannung:

$$\underline{F}(j\omega )=\frac{{\underline{U}}_A}{{\underline{U}}_E}$$

Dabei ist:

• $\underline{F}(j\omega )$ die komplexe Übertragungsfunktion (auch Frequenzgang)
• ${\underline{U}}_A$ die komplexe Ausgangsspannung
• ${\underline{U}}_E$ die komplexe Eingangsspannung
• $\omega$ die Kreisfrequenz

Die Übertragungsfunktion ist im Allgemeinen eine komplexe, frequenzabhängige Größe. Sie enthält zwei Informationen: wie stark die Schaltung das Signal bei einer gegebenen Frequenz abschwächt (oder verstärkt) und um welchen Winkel sie die Phase verschiebt.

3.2 Amplitudengang und Phasengang

Aus der komplexen Übertragungsfunktion lassen sich durch Betragsbildung und Argumentbildung zwei reelle Funktionen ableiten:

Der Amplitudengang gibt das Verhältnis der Amplituden (oder Effektivwerte) von Ausgangs- zu Eingangsspannung als Funktion der Frequenz an:

$$|F(\omega )|=\left|\frac{{\underline{U}}_A}{{\underline{U}}_E}\right|=\frac{U_A}{U_E}$$

Der Phasengang gibt den Phasenwinkel zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung als Funktion der Frequenz an:

$$\phi (\omega )=\arg \left(\underline{F}(j\omega )\right)={\phi }_{U_A}-{\phi }_{U_E}$$

Amplitudengang und Phasengang zusammen bilden den vollständigen Frequenzgang der Schaltung. Ihre grafische Darstellung – häufig mit logarithmischer Frequenzachse – wird als Bode-Diagramm bezeichnet, benannt nach dem Ingenieur Bode.

Bode-Diagramm

Im Bode-Diagramm werden Amplitudengang und Phasengang übereinander in zwei getrennten Koordinatensystemen dargestellt. Die Frequenzachse ist in beiden Fällen logarithmisch skaliert. Der Amplitudengang wird häufig in Dezibel angegeben (dazu mehr in Abschnitt 6), der Phasengang in Grad.

4 RC-Tiefpass

4.1 Schaltung und Herleitung

Der RC-Tiefpass ist die einfachste und zugleich eine der wichtigsten Filterschaltungen der Elektrotechnik. Er besteht aus einem ohmschen Widerstand $R$ und einem Kondensator $C$ in Reihenschaltung. Die Ausgangsspannung wird über dem Kondensator abgegriffen.

Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Die Schaltung ist ein Spannungsteiler aus ${\underline{Z}}_R=R$ und ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$, wobei die Ausgangsspannung über dem Kondensator abfällt. Die Übertragungsfunktion ergibt sich daher direkt aus der Spannungsteilerformel:

$$\underline{F}(j\omega )=\frac{{\underline{U}}_A}{{\underline{U}}_E}=\frac{{\underline{Z}}_C}{{\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}$$

Wir erweitern Zähler und Nenner mit $j\omega C$:

$$\underline{F}(j\omega )=\frac{1}{j\omega RC+1}$$

Oder in der häufig verwendeten Standardform:

$$\boxed{\underline{F}(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}}$$

Dabei ist:

• $R$ der ohmsche Widerstand
• $C$ die Kapazität des Kondensators
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz
• $j$ die imaginäre Einheit

Diese kompakte Formel beschreibt das gesamte Frequenzverhalten des RC-Tiefpasses.

4.2 Grenzfrequenz

Das Produkt $RC$ hat die Dimension einer Zeit – es ist die aus der Gleichstromtechnik bekannte Zeitkonstante $\tau =RC$. Der Kehrwert definiert eine charakteristische Kreisfrequenz ${\omega }_g$:

$${\omega }_g=\frac{1}{RC}=\frac{1}{\tau }$$

Die zugehörige Grenzfrequenz (cutoff frequency) beträgt:

$$\boxed{f_g=\frac{1}{2\pi RC}}$$

Dabei ist:

• $f_g$ die Grenzfrequenz in Hz
• $R$ der Widerstand in $\Omega$
• $C$ die Kapazität in $\mathrm{F}$

An der Grenzfrequenz beträgt der Amplitudengang genau $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$, also etwa $70,7\%$ des Eingangswertes. Die Ausgangsspannung ist um $3\mathrm{dB}$ gegenüber dem Eingangswert abgesunken (die Bedeutung von Dezibel wird in Abschnitt 6 erläutert). Der Phasenwinkel beträgt an der Grenzfrequenz $-45°$.

4.3 Amplitudengang und Phasengang

Aus der Übertragungsfunktion $\underline{F}(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}$ berechnen wir den Amplitudengang, indem wir den Betrag bilden:

$$|F(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}$$

Mit $\omega =2\pi f$ und ${\omega }_g=2\pi f_g=\frac{1}{RC}$ lässt sich dies umschreiben zu:

$$\boxed{|F(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_g}\right)}^2}}}$$

Den Phasengang erhalten wir als Argument der Übertragungsfunktion:

$$\phi (\omega )=-\arctan (\omega RC)=-\arctan \left(\frac{f}{f_g}\right)$$

Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Die folgende Tabelle zeigt das Verhalten des Tiefpasses bei einigen charakteristischen Frequenzen:

| Frequenz | $|F|$ | $|F|$ in dB | $\phi$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f\ll f_g$ | $\approx 1$ | $\approx 0\mathrm{dB}$ | $\approx 0°$ |
| $f=f_g$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$ | $-3\mathrm{dB}$ | $-45°$ |
| $f=10f_g$ | $\approx 0,1$ | $-20\mathrm{dB}$ | $\approx -84°$ |
| $f\gg f_g$ | $\approx \frac{f_g}{f}\to 0$ | $-20dB/Dekade$ | $\to -90°$ |

Verhalten des RC-Tiefpasses

Der RC-Tiefpass lässt tiefe Frequenzen nahezu ungedämpft durch ($|F|\approx 1$) und schwächt hohe Frequenzen zunehmend ab. Weit oberhalb der Grenzfrequenz fällt der Amplitudengang mit $-20\mathrm{dB}$ pro Dekade, d. h. bei jeder Verzehnfachung der Frequenz sinkt die Ausgangsspannung auf ein Zehntel. Die Phase dreht dabei von $0°$ nach $-90°$.

4.4 Physikalische Anschauung

Das Tiefpassverhalten lässt sich anschaulich verstehen: Bei sehr niedrigen Frequenzen hat der Kondensator genügend Zeit, sich aufzuladen. Seine Impedanz $|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}$ ist sehr groß – es fällt fast die gesamte Spannung über ihm ab, und die Ausgangsspannung entspricht nahezu der Eingangsspannung. Bei sehr hohen Frequenzen wechselt die Spannung so schnell, dass der Kondensator sich kaum noch aufladen kann. Seine Impedanz wird sehr klein, er wirkt praktisch wie ein Kurzschluss – die Ausgangsspannung geht gegen null.

Die Grenzfrequenz markiert den Übergang zwischen diesen beiden Bereichen: den sogenannten Durchlassbereich ($f<f_g$) und den Sperrbereich ($f>f_g$).

Rechenbeispiel: RC-Tiefpass für Audiotechnik

In einem Audio-Verstärker soll ein RC-Tiefpass Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz dämpfen.

Gegeben: $f_g=15\mathrm{kHz}$, $R=1\mathrm{k\Omega }$

Gesucht: Erforderliche Kapazität $C$ und Ausgangsspannung bei $f=30\mathrm{kHz}$

Aus $f_g=\frac{1}{2\pi RC}$ ergibt sich:

$$C=\frac{1}{2\pi R{f}_g}=\frac{1}{2\pi \cdot 1000\cdot 15000}\mathrm{F}\approx \underline{10,6\mathrm{nF}}$$

Bei $f=30\mathrm{kHz}=2f_g$ beträgt der Amplitudengang:

$$|F|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{30}{15}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx \underline{0,447}$$

Die Ausgangsspannung beträgt also nur noch rund $44,7\%$ der Eingangsspannung, d. h. die Spannung bei $30\mathrm{kHz}$ wird auf weniger als die Hälfte gedämpft.

Tiefpass im Praktikum

Im Praktikumsversuch 2 werden Sie einen RC-Tiefpass aufbauen und seinen Frequenzgang messtechnisch aufnehmen. Die gemessenen Werte können Sie direkt mit der hier hergeleiteten Theorie vergleichen.

5 RC-Hochpass

5.1 Schaltung und Herleitung

Beim RC-Hochpass sind die Positionen von Widerstand und Kondensator im Vergleich zum Tiefpass vertauscht: Der Kondensator liegt nun in Reihe zum Eingang, und die Ausgangsspannung wird über dem Widerstand abgegriffen.

Die Übertragungsfunktion ergibt sich aus dem Spannungsteiler mit ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$ (oben) und ${\underline{Z}}_R=R$ (unten, über dem die Ausgangsspannung abgegriffen wird):

$$\underline{F}(j\omega )=\frac{{\underline{U}}_A}{{\underline{U}}_E}=\frac{{\underline{Z}}_R}{{\underline{Z}}_C+{\underline{Z}}_R}=\frac{R}{\frac{1}{j\omega C}+R}$$

Wir erweitern Zähler und Nenner mit $j\omega C$:

$$\boxed{\underline{F}(j\omega )=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}}$$

Dabei ist:

• $R$ der ohmsche Widerstand
• $C$ die Kapazität des Kondensators
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz

5.2 Amplitudengang und Phasengang

Die Grenzfrequenz des Hochpasses ist identisch mit der des Tiefpasses:

$$f_g=\frac{1}{2\pi RC}$$

Der Amplitudengang ergibt sich durch Betragsbildung:

$$|F(f)|=\frac{\frac{f}{f_g}}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_g}\right)}^2}}$$

Der Phasengang lautet:

$$\phi (\omega )=90°-\arctan \left(\frac{f}{f_g}\right)$$

| Frequenz | $|F|$ | $|F|$ in dB | $\phi$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f\ll f_g$ | $\approx \frac{f}{f_g}\to 0$ | $+20dB/Dekade$ | $\to +90°$ |
| $f=f_g$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$ | $-3\mathrm{dB}$ | $+45°$ |
| $f\gg f_g$ | $\approx 1$ | $\approx 0\mathrm{dB}$ | $\approx 0°$ |

Verhalten des RC-Hochpasses

Der RC-Hochpass sperrt tiefe Frequenzen und lässt hohe Frequenzen nahezu ungedämpft passieren – er verhält sich komplementär zum Tiefpass. Die Grenzfrequenz, an der der Amplitudengang auf $\frac{1}{\sqrt{2}}$ abgesunken ist, berechnet sich mit derselben Formel $f_g=\frac{1}{2\pi RC}$.

5.3 Physikalische Anschauung

Auch dieses Verhalten lässt sich anschaulich verstehen: Bei sehr hohen Frequenzen wird die Impedanz des Kondensators $|{\underline{Z}}_C|=\frac{1}{\omega C}$ sehr klein. Er wirkt wie ein Kurzschluss – die Eingangsspannung fällt praktisch vollständig über dem Widerstand ab, und $U_A\approx U_E$. Bei sehr niedrigen Frequenzen ist die Impedanz des Kondensators dagegen sehr groß; fast die gesamte Spannung fällt über ihm ab, und über dem Widerstand bleibt kaum noch Spannung übrig.

Reflexionsfrage

Tiefpass und Hochpass verwenden dieselben Bauelemente $R$ und $C$. Warum ergibt sich trotzdem ein grundlegend anderes Frequenzverhalten?

Antwort
Der Unterschied liegt allein darin, an welchem der beiden Bauelemente die Ausgangsspannung abgegriffen wird. Beim Tiefpass wird U_A über dem Kondensator gemessen, beim Hochpass über dem Widerstand. Weil sich die Impedanz des Kondensators mit der Frequenz ändert (|\underline{Z}_C| = \frac{1}{\omega C}), die des Widerstands aber nicht (\underline{Z}_R = R), verschiebt sich die Spannungsaufteilung frequenzabhängig – und zwar in entgegengesetzter Richtung.

[!EXAMPLE] Anwendung: Koppelkondensator in Audio-Schaltungen

Ein typisches Anwendungsbeispiel für den Hochpass ist der Koppelkondensator in Audio-Verstärkern. Er blockiert den Gleichanteil (Frequenz $f=0$) eines Signals und lässt nur den Wechselanteil durch. Wählt man $R$ und $C$ so, dass die Grenzfrequenz weit unterhalb des Hörbereichs liegt (z. B. $f_g=10\mathrm{Hz}$), werden alle hörbaren Frequenzen ungehindert übertragen, während ein störender Gleichspannungsoffset zuverlässig unterdrückt wird.

6 Verstärkung und Dämpfung in Dezibel

6.1 Das Dezibel-Maß

In der Elektrotechnik und Nachrichtentechnik hat es sich als außerordentlich praktisch erwiesen, Spannungsverhältnisse nicht als dimensionslose Zahl, sondern in Dezibel (dB) anzugeben. Das Dezibel-Maß ist ein logarithmisches Verhältnismaß, definiert als:

$$\boxed{A_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}\left(\frac{U_A}{U_E}\right)}$$

Dabei ist:

• $A_{\mathrm{dB}}$ die Verstärkung bzw. Dämpfung in Dezibel
• $U_A$ die Ausgangsspannung (Effektivwert oder Amplitude)
• $U_E$ die Eingangsspannung (Effektivwert oder Amplitude)
• ${\log }_{10}$ der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus)

Herkunft der Formel

Das „Bel” (benannt nach Bell) wurde ursprünglich als Maß für Leistungsverhältnisse definiert: $A_{\mathrm{B}}={\log }_{10}(P_A/P_E)$. Da die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist ($P\propto U^2$), ergibt sich für Spannungsverhältnisse der Faktor 2 im Logarithmus. Zusammen mit dem Übergang von Bel zu Dezibel ($1\mathrm{B}=10\mathrm{dB}$) entsteht der Faktor $2\cdot 10=20$.

6.2 Warum Dezibel?

Die logarithmische Darstellung bietet drei wesentliche Vorteile:

Erstens werden Verstärkungen und Dämpfungen in Kettenschaltungen zu einfachen Additionen. Wenn ein Signal nacheinander durch zwei Stufen mit $A_1=-3\mathrm{dB}$ und $A_2=-6\mathrm{dB}$ läuft, beträgt die Gesamtdämpfung $A_{\mathrm{ges}}=-3+(-6)=-9\mathrm{dB}$ – statt die Spannungsverhältnisse multiplizieren zu müssen.

Zweitens lässt sich das Frequenzverhalten von Filtern im Bode-Diagramm besonders übersichtlich darstellen, weil die Asymptoten des Amplitudengangs zu Geraden werden.

Drittens entspricht die logarithmische Skala besser der menschlichen Wahrnehmung: Unser Gehör empfindet Lautstärkeverhältnisse annähernd logarithmisch.

6.3 Wichtige Referenzwerte

Die folgende Tabelle enthält die in der Praxis am häufigsten benötigten Umrechnungen:

$U_A/U_E$	$A_{\mathrm{dB}}$	Bedeutung
$2$	$+6,0\mathrm{dB}$	Verdopplung der Spannung
$\sqrt{2}\approx 1,414$	$+3,0\mathrm{dB}$	Verdopplung der Leistung
$1$	$0\mathrm{dB}$	Keine Änderung
$1/\sqrt{2}\approx 0,707$	$-3,0\mathrm{dB}$	Grenzfrequenz (halbe Leistung)
$0,5$	$-6,0\mathrm{dB}$	Halbierung der Spannung
$0,1$	$-20\mathrm{dB}$	Zehntel der Spannung
$0,01$	$-40\mathrm{dB}$	Hundertstel der Spannung

-3\,\mathrm{dB} als Grenzfrequenz-Definition

An der Grenzfrequenz eines Filters beträgt der Amplitudengang $|F|=\frac{1}{\sqrt{2}}$, was in Dezibel genau $-3\mathrm{dB}$ entspricht. Diesen Wert sollte man sich merken: Die Grenzfrequenz ist die $-3\mathrm{dB}$-Frequenz. An dieser Stelle ist die übertragene Leistung auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken.

Rechenbeispiel: Dämpfung eines Filters

Ein Filter dämpft ein Signal bei einer bestimmten Frequenz.

Gegeben: $U_A=2,5\mathrm{V}$, $U_E=10\mathrm{V}$

Gesucht: Die Dämpfung in Dezibel

$$A_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}\left(\frac{U_A}{U_E}\right)=20\cdot {\log }_{10}\left(\frac{2,5}{10}\right)=20\cdot {\log }_{10}(0,25)=20\cdot (-0,602)=\underline{-12,0\mathrm{dB}}$$

Das Signal wird also um $12\mathrm{dB}$ gedämpft.

7 RLC-Reihenschwingkreis

7.1 Schaltung und Impedanz

Während Tiefpass und Hochpass nur aus zwei Bauelementen bestehen, führt die Kombination aller drei Grundelemente – Widerstand $R$, Spule $L$ und Kondensator $C$ in Reihe – zu einem qualitativ neuen Verhalten: dem Schwingkreis.

Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Die Gesamtimpedanz der Reihenschaltung beträgt:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$$

Dabei ist:

• $R$ der ohmsche Widerstand
• $L$ die Induktivität der Spule
• $C$ die Kapazität des Kondensators
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz

Der Imaginärteil der Impedanz, $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$, wird als Blindwiderstand (reactance) der Reihenschaltung bezeichnet. Er kann positiv (induktives Verhalten), null oder negativ (kapazitives Verhalten) sein – je nach Frequenz.

7.2 Resonanzfrequenz

Etwas Besonderes geschieht bei der Frequenz, bei der sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand exakt aufheben:

$$\omega L=\frac{1}{\omega C}$$

Auflösen nach $\omega$ ergibt die Resonanzkreisfrequenz:

$${\omega }_{\mathrm{res}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Und damit die Resonanzfrequenz:

$$\boxed{f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$$

Dabei ist:

• $f_{\mathrm{res}}$ die Resonanzfrequenz in Hz
• $L$ die Induktivität in H
• $C$ die Kapazität in F

Herleitung der Resonanzbedingung

Bei Resonanz verschwindet der Imaginärteil der Gesamtimpedanz:

$$\mathrm{Im}({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})=\omega L-\frac{1}{\omega C}\stackrel{!}{=}0$$ $$\omega L=\frac{1}{\omega C}$$ $${\omega }^2=\frac{1}{LC}$$ $${\omega }_{\mathrm{res}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$ $$f_{\mathrm{res}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{res}}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Die Resonanzfrequenz hängt nur von $L$ und $C$ ab, nicht vom Widerstand $R$. Der Widerstand beeinflusst jedoch die Schärfe der Resonanz (die Güte), nicht ihre Lage.

7.3 Verhalten bei Resonanz

Bei der Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}$ nimmt die Impedanz ihren minimalen Betrag an:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}(f_{\mathrm{res}})=R$$

Die Gesamtimpedanz ist bei Resonanz rein reell – der Schwingkreis verhält sich wie ein reiner ohmscher Widerstand. Der Strom erreicht daher seinen maximalen Wert:

$$I_{\max }=\frac{U_E}{R}$$

Quelle: Wikimedia Commons, gemeinfrei

Obwohl die Gesamtspannung über der Reihenschaltung nur $U_E$ beträgt, können die Spannungen über Spule und Kondensator einzeln deutlich größer sein als die Eingangsspannung. Das liegt daran, dass die Spannungen über $L$ und $C$ betragsmäßig gleich groß, aber um 180° phasenverschoben sind – sie kompensieren sich gegenseitig. Jede für sich kann aber ein Vielfaches der Eingangsspannung betragen. Dieses Phänomen wird als Spannungsüberhöhung bezeichnet.

Spannungsüberhöhung bei Resonanz

Bei einem Schwingkreis mit hoher Güte (d. h. kleinem Widerstand $R$) können die Spannungen über Spule und Kondensator ein Vielfaches der Eingangsspannung erreichen. Im Praktikumsversuch und in technischen Anwendungen muss dies bei der Dimensionierung der Bauelemente berücksichtigt werden, um Spannungsdurchschläge am Kondensator zu vermeiden.

7.4 Güte des Schwingkreises

Die Schärfe der Resonanzkurve wird durch die Güte (quality factor) $Q$ beschrieben:

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{res}}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{res}}RC}$$

Dabei ist:

• $Q$ die Güte (dimensionslos)
• $R$ der ohmsche Widerstand des Schwingkreises

Eine hohe Güte (großes $Q$, d. h. kleines $R$) bedeutet eine schmale, hohe Resonanzkurve – der Schwingkreis ist frequenzselektiv. Eine niedrige Güte (kleines $Q$, d. h. großes $R$) ergibt eine breite, flache Resonanzkurve mit geringerer Frequenzselektivität. Die Güte gibt zugleich an, um welchen Faktor die Spannungen über $L$ und $C$ bei Resonanz gegenüber der Eingangsspannung überhöht sind:

$$U_L(f_{\mathrm{res}})=U_C(f_{\mathrm{res}})=Q\cdot U_E$$

7.5 Frequenzbereiche des Schwingkreises

Abseits der Resonanzfrequenz verhält sich der Schwingkreis unterschiedlich:

Frequenzbereich	Dominierender Blindwiderstand	Verhalten
$f<f_{\mathrm{res}}$	$\frac{1}{\omega C}>\omega L$ → kapazitiv	Strom eilt der Spannung voraus
$f=f_{\mathrm{res}}$	$\frac{1}{\omega C}=\omega L$ → Aufhebung	Rein ohmsches Verhalten, maximaler Strom
$f>f_{\mathrm{res}}$	$\omega L>\frac{1}{\omega C}$ → induktiv	Strom eilt der Spannung nach

Anwendung: Frequenzselektion im Rundfunkempfänger

In der Nachrichtentechnik nutzt man Schwingkreise zur Frequenzselektion. Im klassischen Rundfunkempfänger wählt ein abstimmbarer Schwingkreis aus dem Gemisch aller empfangenen Frequenzen genau die gewünschte Senderfrequenz aus. Durch Verändern der Kapazität $C$ (Drehkondensator) verschiebt sich die Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$, und ein anderer Sender wird empfangen.

Rechenbeispiel: RLC-Reihenschwingkreis im Praktikum

Im Praktikumsversuch 2 wird ein RLC-Reihenschwingkreis aufgebaut.

Gegeben: $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=47\mathrm{mH}$, $C=100\mathrm{nF}$

Gesucht: Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}$ und Güte $Q$

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{47\cdot 10^{-3}\cdot 100\cdot 10^{-9}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{4,7\cdot 10^{-9}}}$$ $$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \cdot 6,856\cdot 10^{-5}}=\frac{1}{4,308\cdot 10^{-4}}\approx \underline{2,32\mathrm{kHz}}$$

Die Güte beträgt:

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{100}\sqrt{\frac{47\cdot 10^{-3}}{100\cdot 10^{-9}}}=\frac{1}{100}\sqrt{4,7\cdot 10^5}=\frac{685,6}{100}\approx \underline{6,86}$$

Bei einer Güte von $Q\approx 6,9$ werden die Spannungen über Spule und Kondensator im Resonanzfall also rund siebenfach gegenüber der Eingangsspannung überhöht. Bei einer Eingangsspannung von $U_E=1\mathrm{V}$ ergeben sich $U_L\approx U_C\approx 6,9\mathrm{V}$.

Reflexionsfrage

Was passiert mit der Resonanzfrequenz, wenn man die Kapazität $C$ vervierfacht? Und was passiert mit der Güte?

Antwort
Die Resonanzfrequenz f_{\mathrm{res}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} halbiert sich, weil \sqrt{4C} = 2\sqrt{C}. Die Güte Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} halbiert sich ebenfalls, weil \sqrt{\frac{L}{4C}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}. Der Schwingkreis wird also durch eine größere Kapazität niederfrequenter und weniger frequenzselektiv.

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Übungen zu dieser Lektion

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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