ET2-09 Transformator

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Wie funktioniert ein Transformator und warum ist er für die Energietechnik unverzichtbar?
• Was beschreibt das Übersetzungsverhältnis und wie transformiert ein Transformator Spannung, Strom und Impedanz?
• Welche Verluste treten im realen Transformator auf und wie werden sie im Ersatzschaltbild modelliert?
• Wie bestimmt man die Parameter des Ersatzschaltbildes durch Leerlauf- und Kurzschlussversuch?
• Welche Bauformen und Anwendungen gibt es in der Praxis?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie erklären das Grundprinzip des Transformators auf Basis der Gegeninduktion.
• Sie berechnen Spannungen, Ströme und Impedanzen am idealen Transformator mithilfe des Übersetzungsverhältnisses.
• Sie beschreiben die Verlustmechanismen im realen Transformator und ordnen sie den Elementen des Ersatzschaltbildes zu.
• Sie erläutern die Durchführung und Auswertung von Leerlauf- und Kurzschlussversuch.
• Sie berechnen den Wirkungsgrad eines Transformators aus den Verlustleistungen.
• Sie benennen typische Bauformen und ordnen den Transformator in technische Anwendungen ein.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Idealer Transformator: Übersetzungsverhältnis, Spannungs-, Strom- und Impedanztransformation
• Realer Transformator: Ersatzschaltbild (T-Ersatzschaltbild) mit Streuung und Verlusten
• Leerlauf- und Kurzschlussversuch zur Parameterbestimmung
• Wirkungsgrad und Verlustbilanz
• Bauformen: Kern-, Mantel- und Ringkerntransformator
• Anwendungen: Netzteile, Energieübertragung, Schweißtransformator

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Rückgriff – Das Transformatorprinzip
2 Der ideale Transformator
3 Der reale Transformator
4 Leerlauf- und Kurzschlussversuch
5 Aufbau und Bauformen
6 Anwendungen

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

In ET2-08 haben wir die folgenden Themen behandelt:

• Gegeninduktivität $M$ und Kopplungsfaktor $k$ als Maß der magnetischen Kopplung
• Reale Spule: Kupferwiderstand $R_{\mathrm{Cu}}$, parasitäre Kapazität $C_P$, Eigenresonanzfrequenz
• Eisenkernspule: Eisenverlustwiderstand $R_{\mathrm{FE}}$ (Wirbelstrom- und Hystereseverluste)
• Ersatzschaltbild der realen Spule
• Energiespeicherung im Magnetfeld: $E_L=\frac{1}{2}L{i}^2$
• LR-Schaltung: Sprungantwort und Zeitkonstante $\tau =L/R$

1 Rückgriff — Das Transformatorprinzip

In ET1-10 haben wir den Transformator als wichtigste technische Anwendung der Ruheinduktion bzw. Gegeninduktion kennengelernt. Ein Wechselstrom in der Primärwicklung erzeugt über den gemeinsamen ferromagnetischen Kern ein zeitlich veränderliches Magnetfeld, das in der Sekundärwicklung eine Spannung induziert. Das Verhältnis der Windungszahlen $N_1$ und $N_2$ bestimmt dabei das Verhältnis der Spannungen — und damit die Möglichkeit, Spannungen herauf- oder herabzutransformieren.

Dieses Grundprinzip wurde dort für den idealen Fall eingeführt: keine Verluste, vollständige magnetische Kopplung, keine Streuung. In der vorliegenden Lektion vertiefen wir dieses Grundprinzip systematisch. Wir führen zunächst die Größe des Übersetzungsverhältnisses formal ein und leiten daraus die Impedanztransformation ab. Anschließend erweitern wir das Modell zum realen Transformator, dessen Verluste und Streueffekte im Ersatzschaltbild abgebildet werden. Schließlich zeigen wir, wie die Ersatzschaltbildparameter messtechnisch bestimmt werden, und ordnen den Transformator in seine praktischen Bauformen und Anwendungen ein.

In ET2-08 haben wir bereits die Gegeninduktivität $M$ und den Kopplungsfaktor $k$ eingeführt, das Ersatzschaltbild der realen Spule mit Kupferverlusten und Eisenverlusten entwickelt und die Streuinduktivität als den Anteil des magnetischen Flusses kennengelernt, der nicht zur Kopplung beiträgt. Auf all diese Konzepte greifen wir nun zurück.

2 Der ideale Transformator

Der ideale Transformator ist ein theoretisches Modell, das die wesentlichen Zusammenhänge der Spannungs- und Stromtransformation beschreibt, ohne Verlustmechanismen zu berücksichtigen. Er dient als Ausgangspunkt für das Verständnis realer Transformatoren.

Für den idealen Transformator gelten folgende Voraussetzungen:

• Die magnetische Kopplung zwischen Primär- und Sekundärwicklung ist vollständig (Kopplungsfaktor $k=1$), d. h. der gesamte magnetische Fluss durchsetzt beide Wicklungen (kein Streufluss).
• Die Wicklungen sind widerstandsfrei (kein Kupferverlust).
• Der Kern hat unendlich hohe Permeabilität (kein Magnetisierungsstrom nötig) und verursacht keine Verluste (keine Wirbelstrom- und Hystereseverluste).

Prinzipskizze des idealen Transformators (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0)

2.1 Übersetzungsverhältnis

Da im idealen Transformator der gesamte magnetische Fluss $\Phi$ beide Wicklungen durchsetzt, gilt nach dem Faradayschen Induktionsgesetz für die Spannungen:

$$u_1(t)=N_1\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t},u_2(t)=N_2\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

Division der beiden Gleichungen eliminiert die gemeinsame Flussänderung und liefert das fundamentale Spannungsverhältnis:

$$\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}=\ddot{u}$$

Dabei ist:

• $U_1$ die Primärspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $U_2$ die Sekundärspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $N_1$ die Primärwindungszahl (dimensionslos)
• $N_2$ die Sekundärwindungszahl (dimensionslos)
• $\ddot{u}$ das Übersetzungsverhältnis (dimensionslos)

Das Übersetzungsverhältnis $\ddot{u}$ ist die zentrale Kenngröße jedes Transformators. Es gibt an, in welchem Verhältnis die Spannungen transformiert werden:

• $\ddot{u}>1$: Die Primärspannung ist größer als die Sekundärspannung — der Transformator setzt die Spannung herab (Abwärtstransformator).
• $\ddot{u}<1$: Die Primärspannung ist kleiner als die Sekundärspannung — der Transformator setzt die Spannung herauf (Aufwärtstransformator).
• $\ddot{u}=1$: Die Spannungen sind gleich — der Transformator dient der galvanischen Trennung (Trenntransformator).

Konvention

In der Literatur existieren zwei Definitionen: $\ddot{u}=N_1/N_2$ (hier verwendet) und $\ddot{u}=N_2/N_1$. In diesem Skript definieren wir stets $\ddot{u}=N_1/N_2$, sodass $U_2=U_1/\ddot{u}$. Achten Sie bei der Verwendung von Formelsammlungen und Lehrbüchern darauf, welche Konvention dort zugrunde liegt.

2.2 Stromtransformation

Im idealen Transformator treten keine Verluste auf. Die vom Netz aufgenommene Scheinleistung wird vollständig an die Sekundärseite übertragen:

$$S_1=S_2$$ $$U_1\cdot I_1=U_2\cdot I_2$$

Dabei ist:

• $S_1$ die primärseitige Scheinleistung in Voltampere ($\mathrm{VA}$)
• $S_2$ die sekundärseitige Scheinleistung in Voltampere ($\mathrm{VA}$)

Da im Wechselstromkreis neben der Wirkleistung auch Blindleistung übertragen wird, ist die korrekte Bezugsgröße für die Leistungsbilanz des idealen Transformators die Scheinleistung. Für den rein ohmschen Lastfall ($\cos \phi =1$) entspricht die Scheinleistung der Wirkleistung, und es gilt $P_1=P_2$.

Durch Umstellen folgt das Stromverhältnis:

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{1}{\ddot{u}}$$

Dabei ist:

• $I_1$ die Primärstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_2$ die Sekundärstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Spannungs- und Stromtransformation

Ein Transformator kann nicht gleichzeitig Spannung und Strom erhöhen. Wird die Spannung um den Faktor $\ddot{u}$ herauftransformiert, sinkt der Strom um denselben Faktor — und umgekehrt. Die übertragene Scheinleistung bleibt im Idealfall konstant.

$$\ddot{u}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{I_2}{I_1},S_1=S_2$$

2.3 Impedanztransformation

Neben der Spannungs- und Stromtransformation besitzt der Transformator eine weitere, für die Wechselstromtechnik besonders wichtige Eigenschaft: Er transformiert auch Impedanzen.

Ist an die Sekundärseite eine Last mit der Impedanz $Z_2$ angeschlossen, so gilt für den Zusammenhang zwischen Sekundärspannung und Sekundärstrom:

$$Z_2=\frac{U_2}{I_2}$$

Von der Primärseite aus betrachtet „sieht” die Quelle eine transformierte Impedanz $Z_2^{\prime }$. Wir berechnen sie, indem wir Primärspannung und Primärstrom ins Verhältnis setzen:

$$Z_2^{\prime }=\frac{U_1}{I_1}=\frac{\ddot{u}\cdot U_2}{\frac{1}{\ddot{u}}\cdot I_2}={\ddot{u}}^2\cdot \frac{U_2}{I_2}={\ddot{u}}^2\cdot Z_2$$

Die auf die Primärseite bezogene (transformierte) Impedanz beträgt also:

$$Z_2^{\prime }={\ddot{u}}^2\cdot Z_2$$

Dabei ist:

• $Z_2^{\prime }$ die auf die Primärseite transformierte Lastimpedanz in Ohm ($\Omega$)
• $Z_2$ die tatsächliche Lastimpedanz auf der Sekundärseite in Ohm ($\Omega$)

Die Impedanztransformation zeigt: Ein Transformator kann eine niedrige Lastimpedanz auf der Sekundärseite als hohe Impedanz auf der Primärseite erscheinen lassen — und umgekehrt. Dieses Prinzip ist grundlegend für die Leistungsanpassung (impedance matching), bei der die Quellenimpedanz und die Lastimpedanz so aufeinander abgestimmt werden, dass maximale Leistungsübertragung erfolgt.

Impedanztransformation in der Audiotechnik

Ein klassischer Anwendungsfall der Impedanztransformation ist der Ausgangsübertrager in Röhrenverstärkern. Die Endstufenröhre benötigt eine hohe Lastimpedanz von z. B. $5\mathrm{k\Omega }$, der Lautsprecher hat jedoch nur $8\Omega$. Mit einem Übertrager, dessen Übersetzungsverhältnis

$$\ddot{u}=\sqrt{\frac{Z_2^{\prime }}{Z_2}}=\sqrt{\frac{5000\Omega }{8\Omega }}\approx 25$$

beträgt, wird die $8\Omega$-Last des Lautsprechers auf der Primärseite als $5\mathrm{k\Omega }$ „gesehen”.

2.3.1 Rechenbeispiel: Idealer Transformator

Ein Netztransformator soll die Netzspannung von $U_1=230\mathrm{V}$ auf $U_2=24\mathrm{V}$ herabtransformieren. An der Sekundärseite ist ein Lastwiderstand von $R_2=12\Omega$ angeschlossen.

Gegeben: $U_1=230\mathrm{V}$, $U_2=24\mathrm{V}$, $R_2=12\Omega$

Gesucht: Übersetzungsverhältnis $\ddot{u}$, Sekundärstrom $I_2$, Primärstrom $I_1$, transformierte Impedanz $Z_2^{\prime }$

Lösung:

Übersetzungsverhältnis:

$$\ddot{u}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{230\mathrm{V}}{24\mathrm{V}}=\underline{9,58}$$

Sekundärstrom:

$$I_2=\frac{U_2}{R_2}=\frac{24\mathrm{V}}{12\Omega }=\underline{2,0\mathrm{A}}$$

Primärstrom:

$$I_1=\frac{I_2}{\ddot{u}}=\frac{2,0\mathrm{A}}{9,58}=\underline{0,209\mathrm{A}}$$

Auf die Primärseite transformierte Impedanz:

$$Z_2^{\prime }={\ddot{u}}^2\cdot R_2=9,58^2\cdot 12\Omega =\underline{1101\Omega }$$

Kontrolle über die Leistungsbilanz:

$$P_1=U_1\cdot I_1=230\mathrm{V}\cdot 0,209\mathrm{A}=48,1\mathrm{W}$$ $$P_2=U_2\cdot I_2=24\mathrm{V}\cdot 2,0\mathrm{A}=48,0\mathrm{W}✓$$

Die minimale Abweichung resultiert aus der Rundung des Übersetzungsverhältnisses. Im idealen Fall gilt exakt $P_1=P_2$. Da die Last hier rein ohmsch ist ($\cos \phi =1$), stimmen Wirk- und Scheinleistung überein.

3 Der reale Transformator

Der ideale Transformator ist ein nützliches Modell, um die grundlegenden Zusammenhänge der Spannungs- und Stromtransformation zu verstehen. In der Praxis treten jedoch verschiedene Verlustmechanismen und Nichtidealitäten auf, die das Verhalten des Transformators beeinflussen. Um diese Effekte quantitativ zu erfassen, entwickeln wir ein Ersatzschaltbild (ESB), das den realen Transformator durch eine Anordnung idealer Bauelemente modelliert.

3.1 Verlustmechanismen

Im realen Transformator unterscheiden wir zwei Hauptgruppen von Verlusten.

Kupferverluste (Wicklungsverluste)

Die Wicklungen bestehen aus realen Leitern mit endlichem Widerstand. Der Stromfluss durch die Wicklungen verursacht Verlustleistung in Form von Wärme:

$$P_{\mathrm{Cu}}=I_1^2\cdot R_1+I_2^2\cdot R_2$$

Dabei ist:

• $R_1$ der ohmsche Widerstand der Primärwicklung in Ohm ($\Omega$)
• $R_2$ der ohmsche Widerstand der Sekundärwicklung in Ohm ($\Omega$)

Die Kupferverluste sind lastabhängig — sie steigen quadratisch mit dem Strom. Bei Nennlast sind sie am größten, im Leerlauf (kein Sekundärstrom) vernachlässigbar.

Eisenverluste (Kernverluste)

Im ferromagnetischen Kern treten zwei Verlustmechanismen auf, die wir bereits aus ET2-08 kennen:

• Hystereseverluste: Bei jeder Ummagnetisierung des Kerns wird die von der Hystereseschleife eingeschlossene Fläche als Wärme frei. Diese Verluste sind proportional zur Frequenz $f$ und zum Quadrat der maximalen Flussdichte $\hat{B}$.
• Wirbelstromverluste: Das wechselnde Magnetfeld induziert Wirbelströme im leitfähigen Kernmaterial, die ebenfalls Wärme erzeugen. Durch Lamellierung des Kerns (geschichtete, gegeneinander isolierte Bleche) werden die Wirbelstrompfade unterbrochen und die Verluste deutlich reduziert.

Die Eisenverluste hängen primär von der Spannung (und damit von der Flussdichte) und der Frequenz ab, aber praktisch nicht vom Laststrom. Sie sind daher lastunabhängig und treten auch im Leerlauf auf.

3.2 Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad $\eta$ eines Transformators gibt an, welcher Anteil der aufgenommenen Leistung tatsächlich an die Last abgegeben wird. Er ist definiert als:

$$\eta =\frac{P_2}{P_1}=\frac{P_2}{P_2+P_{\mathrm{Cu}}+P_{\mathrm{Fe}}}$$

Dabei ist:

• $\eta$ der Wirkungsgrad (dimensionslos, häufig in Prozent angegeben)
• $P_2$ die an die Last abgegebene Wirkleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $P_1$ die aus dem Netz aufgenommene Wirkleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $P_{\mathrm{Cu}}$ die Kupferverluste in Watt ($\mathrm{W}$)
• $P_{\mathrm{Fe}}$ die Eisenverluste in Watt ($\mathrm{W}$)

Die zweite Darstellung ist für die Praxis besonders nützlich, weil die Verlustleistungen $P_{\mathrm{Cu}}$ und $P_{\mathrm{Fe}}$ aus dem Kurzschluss- bzw. Leerlaufversuch direkt bestimmt werden können.

Maximaler Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad eines Transformators hängt von der Belastung ab. Da die Eisenverluste $P_{\mathrm{Fe}}$ lastunabhängig (konstant) und die Kupferverluste $P_{\mathrm{Cu}}$ lastabhängig (quadratisch mit dem Strom steigend) sind, wird der maximale Wirkungsgrad genau dann erreicht, wenn Kupferverluste und Eisenverluste gleich groß sind:

$$P_{\mathrm{Cu}}=P_{\mathrm{Fe}}$$

Bei Leistungstransformatoren im Nennbetrieb liegen die Wirkungsgrade typischerweise bei $\eta =95\%$ bis $99,5\%$. Große Netztransformatoren (mehrere MVA) erreichen Wirkungsgrade über $99\%$.

[!TIP] Roter Faden – Praxisaufgabe aus ET1

Jeder Betrieb hat mindestens einen Transformator, der die Mittelspannung des Versorgungsnetzes auf die Betriebsspannung heruntertransformiert. In der Praxisaufgabe zu ET1 haben Sie den Jahresenergiebedarf Ihres Betriebs ermittelt. Mit den Konzepten dieser Lektion lässt sich nun eine aufschlussreiche Frage beantworten: Welchen Transformator braucht Ihr Betrieb – und was kosten dessen Verluste pro Jahr? Die Leerlaufverluste fallen an, solange der Transformator am Netz ist – und das sind $8760$ Stunden im Jahr, auch an Wochenenden und Feiertagen. In der Übung ET2-09.02 rechnen wir das konkret durch.

3.3 Streuung

Im idealen Transformator durchsetzt der gesamte magnetische Fluss beide Wicklungen. In der Realität gibt es jedoch einen Anteil des magnetischen Flusses, der nur mit der erzeugenden Wicklung verkettet ist, ohne die andere Wicklung zu durchsetzen. Diesen Anteil nennt man Streufluss ${\Phi }_{\sigma }$.

Der Gesamtfluss jeder Wicklung setzt sich zusammen aus:

• dem Hauptfluss ${\Phi }_{\mathrm{h}}$, der beide Wicklungen durchsetzt und für die Energieübertragung verantwortlich ist
• dem Streufluss ${\Phi }_{\sigma 1}$ bzw. ${\Phi }_{\sigma 2}$, der sich über Luft oder andere nichtmagnetische Pfade schließt

Die Streuflüsse bewirken in den Wicklungen induktive Spannungsabfälle, die sich wie in Reihe geschaltete Induktivitäten verhalten. Im Ersatzschaltbild werden sie durch die Streuinduktivitäten (Streureaktanzen) $X_{1\sigma }$ und $X_{2\sigma }$ modelliert:

$$X_{1\sigma }=\omega L_{1\sigma },X_{2\sigma }=\omega L_{2\sigma }$$

Dabei ist:

• $X_{1\sigma }$ die Streureaktanz der Primärwicklung in Ohm ($\Omega$)
• $X_{2\sigma }$ die Streureaktanz der Sekundärwicklung in Ohm ($\Omega$)
• $L_{1\sigma }$ die Streuinduktivität der Primärwicklung in Henry ($\mathrm{H}$)
• $L_{2\sigma }$ die Streuinduktivität der Sekundärwicklung in Henry ($\mathrm{H}$)
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz in $rad/s$

Streuung vs. Kopplung

Die Streuung ist das Gegenstück zur magnetischen Kopplung. Bei einem Kopplungsfaktor $k=1$ (ideale Kopplung) gibt es keinen Streufluss. In der Praxis liegen die Kopplungsfaktoren guter Leistungstransformatoren bei $k>0,99$. Dennoch ist auch die kleine verbleibende Streuung für das Betriebsverhalten relevant, insbesondere bei Kurzschluss und bei der Spannungsregulierung unter Last.

3.4 Ersatzschaltbild des realen Transformators

Alle Verluste und Streueffekte lassen sich in einem einzigen Ersatzschaltbild zusammenfassen. Damit das Ersatzschaltbild ein zusammenhängendes Netzwerk bildet, werden alle Sekundärgrößen mit dem Faktor $\ddot{u}$ bzw. ${\ddot{u}}^2$ auf die Primärseite umgerechnet (bezogen). Die umgerechneten Größen werden mit einem Strich gekennzeichnet (z. B. $R_2^{\prime }={\ddot{u}}^2\cdot R_2$).

Das Ergebnis ist das sogenannte T-Ersatzschaltbild des realen Transformators:

T-Ersatzschaltbild des realen Transformators (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Das T-Ersatzschaltbild besteht aus folgenden Elementen:

Primärseitige Längsimpedanz:

• $R_1$ — ohmscher Widerstand der Primärwicklung (Kupferverluste)
• $X_{1\sigma }=\omega L_{1\sigma }$ — Streureaktanz der Primärwicklung

Querimpedanz (Magnetisierungszweig):

• $R_{\mathrm{FE}}$ — Eisenverlustwiderstand (modelliert Hysterese- und Wirbelstromverluste im Kern)
• $X_{\mathrm{h}}=\omega L_{\mathrm{h}}$ — Hauptreaktanz (modelliert den Magnetisierungsstrom, der den Hauptfluss aufrechterhält)

Dabei ist:

• $L_{\mathrm{h}}$ die Hauptinduktivität in Henry ($\mathrm{H}$)
• $X_{\mathrm{h}}$ die Hauptreaktanz in Ohm ($\Omega$)

Sekundärseitige Längsimpedanz (auf Primärseite bezogen):

• $R_2^{\prime }={\ddot{u}}^2\cdot R_2$ — umgerechneter ohmscher Widerstand der Sekundärwicklung
• $X_{2\sigma }^{\prime }={\ddot{u}}^2\cdot X_{2\sigma }$ — umgerechnete Streureaktanz der Sekundärwicklung

Ebenso werden die Sekundärspannung und der Sekundärstrom umgerechnet:

$$U_2^{\prime }=\ddot{u}\cdot U_2,I_2^{\prime }=\frac{I_2}{\ddot{u}}$$

Bedeutung der Querimpedanz

Der Magnetisierungszweig ($R_{\mathrm{FE}}$ parallel zu $X_{\mathrm{h}}$) modelliert den Strom, der auch im Leerlauf (ohne Last) fließt. Dieser Leerlaufstrom $I_0$ setzt sich zusammen aus:

• dem Magnetisierungsstrom $I_{\mu }$ (durch $X_{\mathrm{h}}$), der den magnetischen Fluss im Kern aufrechterhält
• dem Eisenverluststrom $I_{\mathrm{FE}}$ (durch $R_{\mathrm{FE}}$), der die Kernverluste repräsentiert

Bei Leistungstransformatoren beträgt der Leerlaufstrom typischerweise nur $2\%$ bis $5\%$ des Nennstroms.

[!question] Warum werden alle Größen auf eine Seite umgerechnet?

Antwort
Das T-Ersatzschaltbild beschreibt den Transformator als ein einziges zusammenhängendes Netzwerk. Dafür müssen alle Spannungen, Ströme und Impedanzen auf eine gemeinsame Bezugsseite gebracht werden. Die Umrechnung auf die Primärseite ist Konvention. Man könnte ebenso auf die Sekundärseite umrechnen -- die physikalischen Zusammenhänge bleiben identisch.

3.5 Vereinfachtes Ersatzschaltbild

In vielen praktischen Fällen kann das T-Ersatzschaltbild vereinfacht werden. Da der Magnetisierungsstrom $I_0$ gegenüber dem Laststrom klein ist, werden die primärseitige und sekundärseitige Längsimpedanz zu einer einzigen Kurzschlussimpedanz ${\underline{Z}}_{\mathrm{k}}$ zusammengefasst:

$$R_{\mathrm{k}}=R_1+R_2^{\prime }$$ $$X_{\mathrm{k}}=X_{1\sigma }+X_{2\sigma }^{\prime }$$ $${\underline{Z}}_{\mathrm{k}}=R_{\mathrm{k}}+j{X}_{\mathrm{k}}$$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{k}}$ der Kurzschlusswiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $X_{\mathrm{k}}$ die Kurzschlussreaktanz in Ohm ($\Omega$)
• ${\underline{Z}}_{\mathrm{k}}$ die Kurzschlussimpedanz in Ohm ($\Omega$)

Im vereinfachten Ersatzschaltbild liegt die Querimpedanz ($R_{\mathrm{FE}}\parallel X_{\mathrm{h}}$) direkt am Eingang, gefolgt von der Kurzschlussimpedanz in Reihe mit der Last. Diese Vereinfachung ist für die meisten ingenieurmäßigen Berechnungen ausreichend genau.

4 Leerlauf- und Kurzschlussversuch

Die Parameter des Ersatzschaltbildes sind nicht ohne Weiteres aus der Konstruktion des Transformators berechenbar. In der Praxis werden sie daher messtechnisch bestimmt. Dazu dienen zwei standardisierte Versuche: der Leerlaufversuch und der Kurzschlussversuch.

4.1 Leerlaufversuch

Beim Leerlaufversuch wird die Primärseite mit Nennspannung $U_{1\mathrm{N}}$ gespeist, während die Sekundärseite offen bleibt (keine Last, $I_2=0$).

Schaltung des Leerlaufversuchs (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Messgrößen: Primärspannung $U_1$, Leerlaufstrom $I_0$, Leerlaufleistung $P_0$

Da kein Sekundärstrom fließt ($I_2=0$), entfallen die Spannungsabfälle an $R_2^{\prime }$ und $X_{2\sigma }^{\prime }$. Der Leerlaufstrom $I_0$ ist sehr klein (typisch $2\%$ bis $5\%$ von $I_{1\mathrm{N}}$), sodass auch die Spannungsabfälle an $R_1$ und $X_{1\sigma }$ vernachlässigbar sind. Damit liegt die volle Primärspannung praktisch am Magnetisierungszweig an.

Die gemessene Leerlaufleistung $P_0$ entspricht im Wesentlichen den Eisenverlusten, da die Kupferverluste bei dem kleinen Leerlaufstrom vernachlässigbar sind:

$$P_0\approx P_{\mathrm{Fe}}$$

Aus den Messwerten lassen sich die Parameter des Magnetisierungszweiges bestimmen:

$$R_{\mathrm{FE}}=\frac{U_1^2}{P_0}$$ $$I_{\mathrm{FE}}=\frac{P_0}{U_1},I_{\mu }=\sqrt{I_0^2-I_{\mathrm{FE}}^2}$$ $$X_{\mathrm{h}}=\frac{U_1}{I_{\mu }}$$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{FE}}$ der Eisenverlustwiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $X_{\mathrm{h}}$ die Hauptreaktanz in Ohm ($\Omega$)
• $I_0$ der Leerlaufstrom in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_{\mathrm{FE}}$ der Eisenverluststrom (Wirkkomponente von $I_0$) in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_{\mu }$ der Magnetisierungsstrom (Blindkomponente von $I_0$) in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $P_0$ die Leerlaufleistung (Eisenverluste) in Watt ($\mathrm{W}$)

Nebenprodukt des Leerlaufversuchs

Aus der Messung der Leerlaufspannung auf der Sekundärseite $U_{20}$ ergibt sich direkt das Übersetzungsverhältnis:

$$\ddot{u}=\frac{U_1}{U_{20}}=\frac{N_1}{N_2}$$

4.2 Kurzschlussversuch

Beim Kurzschlussversuch wird die Sekundärseite kurzgeschlossen ($U_2=0$), und die Primärspannung wird so weit reduziert, bis der Nennstrom $I_{1\mathrm{N}}$ fließt. Die dafür nötige Spannung ist die Kurzschlussspannung $U_{\mathrm{k}}$, die typischerweise nur $3\%$ bis $10\%$ der Nennspannung beträgt.

Schaltung des Kurzschlussversuchs (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Messgrößen: Kurzschlussspannung $U_{\mathrm{k}}$, Primärstrom $I_{1\mathrm{N}}$, Kurzschlussleistung $P_{\mathrm{k}}$

Niemals Kurzschluss bei Nennspannung!

Der Kurzschlussversuch wird bei reduzierter Primärspannung durchgeführt. Ein Kurzschluss der Sekundärseite bei voller Nennspannung würde zu extrem hohen Strömen führen, die den Transformator und die Messgeräte zerstören können.

Da die Kurzschlussspannung sehr klein ist, ist der Strom durch den Magnetisierungszweig ($R_{\mathrm{FE}}$ und $X_{\mathrm{h}}$) vernachlässigbar. Die gesamte Kurzschlussspannung fällt über der Kurzschlussimpedanz ab, und die gemessene Kurzschlussleistung entspricht den Kupferverlusten bei Nennstrom:

$$P_{\mathrm{k}}\approx P_{\mathrm{Cu},\mathrm{N}}$$

Aus den Messwerten lassen sich die Kurzschlussparameter bestimmen:

$$R_{\mathrm{k}}=\frac{P_{\mathrm{k}}}{I_{1\mathrm{N}}^2}$$ $$Z_{\mathrm{k}}=\frac{U_{\mathrm{k}}}{I_{1\mathrm{N}}}$$ $$X_{\mathrm{k}}=\sqrt{Z_{\mathrm{k}}^2-R_{\mathrm{k}}^2}$$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{k}}=R_1+R_2^{\prime }$ der Kurzschlusswiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $X_{\mathrm{k}}=X_{1\sigma }+X_{2\sigma }^{\prime }$ die Kurzschlussreaktanz in Ohm ($\Omega$)
• $Z_{\mathrm{k}}$ der Betrag der Kurzschlussimpedanz in Ohm ($\Omega$)
• $U_{\mathrm{k}}$ die Kurzschlussspannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $P_{\mathrm{k}}$ die Kurzschlussleistung in Watt ($\mathrm{W}$)

Relative Kurzschlussspannung

In Datenblättern von Transformatoren wird häufig die relative Kurzschlussspannung $u_{\mathrm{k}}$ angegeben:

$$u_{\mathrm{k}}=\frac{U_{\mathrm{k}}}{U_{1\mathrm{N}}}\cdot 100\%$$

Typische Werte liegen bei $3\%$ bis $6\%$ für Verteilungstransformatoren und bei $10\%$ bis $15\%$ für Leistungstransformatoren in der Hochspannungsebene. Die relative Kurzschlussspannung begrenzt den Kurzschlussstrom im Fehlerfall auf den Wert $I_{\mathrm{k}}\approx I_{\mathrm{N}}/u_{\mathrm{k}}$.

4.3 Zusammenfassung der beiden Versuche

Die folgende Tabelle fasst die Zuordnung der beiden Versuche zu den Ersatzschaltbildparametern zusammen:

Versuch	Bedingung	Bestimmte Parameter	Physikalische Bedeutung
Leerlaufversuch	$I_2=0$, $U_1=U_{1\mathrm{N}}$	$R_{\mathrm{FE}}$, $X_{\mathrm{h}}$	Querimpedanz (Magnetisierungszweig)
Kurzschlussversuch	$U_2=0$, $I_1=I_{1\mathrm{N}}$	$R_{\mathrm{k}}$, $X_{\mathrm{k}}$	Längsimpedanz (Kurzschlussimpedanz)

Zuordnung merken

Leerlauf bestimmt die Querimpedanz ($R_{\mathrm{FE}}$, $X_{\mathrm{h}}$) — denn nur der Magnetisierungszweig wird durchflossen.
Kurzschluss bestimmt die Längsimpedanz ($R_{\mathrm{k}}$, $X_{\mathrm{k}}$) — denn nur die Reihenschaltung der Wicklungsimpedanzen begrenzt den Strom.

4.3.1 Rechenbeispiel: Leerlauf- und Kurzschlussversuch

An einem Einphasen-Transformator mit der Nennleistung $S_{\mathrm{N}}=1,0\mathrm{kVA}$ und den Nennspannungen $U_{1\mathrm{N}}=230\mathrm{V}$ und $U_{2\mathrm{N}}=24\mathrm{V}$ werden folgende Messwerte ermittelt:

Leerlaufversuch: $U_1=230\mathrm{V}$, $I_0=0,15\mathrm{A}$, $P_0=8,0\mathrm{W}$, $U_{20}=24,0\mathrm{V}$

Kurzschlussversuch: $U_{\mathrm{k}}=12,5\mathrm{V}$, $I_{1\mathrm{N}}=4,35\mathrm{A}$, $P_{\mathrm{k}}=35,0\mathrm{W}$

Gesucht: Übersetzungsverhältnis, Parameter des Ersatzschaltbildes, Wirkungsgrad bei Nennlast

Lösung:

Übersetzungsverhältnis:

$$\ddot{u}=\frac{U_1}{U_{20}}=\frac{230\mathrm{V}}{24,0\mathrm{V}}=\underline{9,58}$$

Aus dem Leerlaufversuch:

Eisenverlustwiderstand:

$$R_{\mathrm{FE}}=\frac{U_1^2}{P_0}=\frac{(230\mathrm{V}{)}^2}{8,0\mathrm{W}}=\underline{6613\Omega }$$

Eisenverluststrom und Magnetisierungsstrom:

$$I_{\mathrm{FE}}=\frac{P_0}{U_1}=\frac{8,0\mathrm{W}}{230\mathrm{V}}=0,0348\mathrm{A}$$ $$I_{\mu }=\sqrt{I_0^2-I_{\mathrm{FE}}^2}=\sqrt{(0,15\mathrm{A}{)}^2-(0,0348\mathrm{A}{)}^2}=0,146\mathrm{A}$$

Hauptreaktanz:

$$X_{\mathrm{h}}=\frac{U_1}{I_{\mu }}=\frac{230\mathrm{V}}{0,146\mathrm{A}}=\underline{1575\Omega }$$

Aus dem Kurzschlussversuch:

Kurzschlusswiderstand:

$$R_{\mathrm{k}}=\frac{P_{\mathrm{k}}}{I_{1\mathrm{N}}^2}=\frac{35,0\mathrm{W}}{(4,35\mathrm{A}{)}^2}=\underline{1,85\Omega }$$

Betrag der Kurzschlussimpedanz:

$$Z_{\mathrm{k}}=\frac{U_{\mathrm{k}}}{I_{1\mathrm{N}}}=\frac{12,5\mathrm{V}}{4,35\mathrm{A}}=2,87\Omega$$

Kurzschlussreaktanz:

$$X_{\mathrm{k}}=\sqrt{Z_{\mathrm{k}}^2-R_{\mathrm{k}}^2}=\sqrt{(2,87\Omega {)}^2-(1,85\Omega {)}^2}=\underline{2,19\Omega }$$

Relative Kurzschlussspannung:

$$u_{\mathrm{k}}=\frac{U_{\mathrm{k}}}{U_{1\mathrm{N}}}\cdot 100\%=\frac{12,5\mathrm{V}}{230\mathrm{V}}\cdot 100\%=\underline{5,4\%}$$

Wirkungsgrad bei Nennlast ($\cos \phi =1$):

Die Nutzleistung bei Nennlast beträgt:

$$P_2=S_{\mathrm{N}}\cdot \cos \phi =1000\mathrm{VA}\cdot 1=1000\mathrm{W}$$ $$\eta =\frac{P_2}{P_2+P_{\mathrm{Cu}}+P_{\mathrm{Fe}}}=\frac{1000\mathrm{W}}{1000\mathrm{W}+35,0\mathrm{W}+8,0\mathrm{W}}=\frac{1000}{1043}=\underline{95,9\%}$$

Der Transformator erreicht bei Nennlast also einen Wirkungsgrad von rund $96\%$. Die Gesamtverluste von $43\mathrm{W}$ setzen sich aus $35\mathrm{W}$ Kupferverlusten und $8\mathrm{W}$ Eisenverlusten zusammen.

Die Ergebnisse zeigen darüber hinaus: Die Querimpedanzen ($R_{\mathrm{FE}}$ und $X_{\mathrm{h}}$ im Bereich von $\mathrm{k\Omega }$) sind um Größenordnungen höher als die Längsimpedanzen ($R_{\mathrm{k}}$ und $X_{\mathrm{k}}$ im Bereich weniger Ohm). Dies bestätigt, dass der Magnetisierungsstrom im Vergleich zum Laststrom klein ist und rechtfertigt die Vereinfachung des Ersatzschaltbildes.

5 Aufbau und Bauformen

Der Aufbau eines Transformators wird maßgeblich durch die Form des magnetischen Kerns bestimmt. Der Kern hat die Aufgabe, den magnetischen Fluss möglichst verlustarm zwischen Primär- und Sekundärwicklung zu führen. Wir unterscheiden drei wesentliche Bauformen.

5.1 Kerntransformator

Beim Kerntransformator sitzen die Wicklungen auf den beiden Schenkeln eines rechteckigen Kerns. Die Primärwicklung befindet sich auf einem Schenkel, die Sekundärwicklung auf dem anderen.

Kerntransformator — Wicklungen auf den Schenkeln eines lamellierten Kerns (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Merkmale:

• Einfacher Aufbau, kostengünstig
• Kern häufig aus E-I-Blechen zusammengesetzt (gestanzte Bleche in E- und I-Form, abwechselnd geschichtet)
• Wicklungen leicht zugänglich für Kühlung
• Räumliche Trennung der Wicklungen führt zu etwas höherer Streuung
• Einsatz: Kleinere Leistungstransformatoren, Labortransformatoren

5.2 Manteltransformator

Beim Manteltransformator umschließt der Kern die Wicklungen von beiden Seiten. Die Wicklungen liegen übereinander auf dem mittleren Kernschenkel, der den doppelten Querschnitt der Außenschenkel hat.

E-I-Kernform eines Manteltransformators — der Kern umschließt die Wicklung auf dem Mittelschenkel (Quelle: Wikimedia Commons, Public Domain)

Merkmale:

• Wicklungen liegen eng beieinander — geringere Streuung als beim Kerntransformator
• Bessere magnetische Abschirmung der Wicklungen durch den umschließenden Kern
• U-I-Kernform oder E-I-Kernform mit bewickeltem Mittelschenkel
• Einsatz: Mittlere und größere Leistungstransformatoren, Netztransformatoren

5.3 Ringkerntransformator

Beim Ringkerntransformator besteht der Kern aus einem geschlossenen Ring, der aus einem langen Blechstreifen gewickelt ist (Schnittbandkern). Die Wicklungen werden gleichmäßig über den Ringkern verteilt.

Ringkerntransformator — torusförmiger Kern mit Wicklungen (Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Merkmale:

• Kein Luftspalt im Kern — geringster Magnetisierungsstrom aller Bauformen
• Sehr geringe Streuung, da die Wicklungen den Kern vollständig umschließen
• Hoher Wirkungsgrad und geringe Verluste
• Kompakte Bauform bei geringem Gewicht
• Wicklung aufwendiger (Spezialmaschinen nötig)
• Einsatz: Hochwertige Audio-Netzteile, Medizintechnik, empfindliche Messgeräte

Kernmaterialien

Neben den klassischen Silizium-Eisenblechen (Si-Fe) kommen für spezielle Anwendungen auch Ferritkerne (für hohe Frequenzen, z. B. in Schaltnetzteilen) und amorphe Metalle (für besonders geringe Eisenverluste) zum Einsatz. Die Wahl des Kernmaterials richtet sich nach Frequenz, Verlustanforderung und Kosten.

6 Anwendungen

Der Transformator gehört zu den am weitesten verbreiteten Bauelementen der Elektrotechnik. Wir betrachten drei wichtige Anwendungsfelder.

6.1 Netzteile

In konventionellen (linearen) Netzteilen transformiert ein Netztransformator die Netzspannung ($230\mathrm{V}$) auf die gewünschte Kleinspannung herab. Anschließend folgen Gleichrichter, Glättungskondensator und ggf. Spannungsregler. Der Transformator übernimmt hier zwei Aufgaben: Spannungsanpassung und galvanische Trennung vom Stromnetz.

Schaltnetzteile

Moderne Schaltnetzteile (switched-mode power supplies, SMPS) arbeiten mit einem anderen Prinzip: Die Netzspannung wird zunächst gleichgerichtet und dann mit einem Transistor bei hoher Frequenz ($50$ bis $500\mathrm{kHz}$) zerhackt. Der anschließende Transformator arbeitet bei dieser hohen Frequenz und kann daher wesentlich kleiner und leichter gebaut werden als ein $50\mathrm{Hz}$-Netztransformator gleicher Leistung. Die Baugröße eines Transformators sinkt mit steigender Frequenz, weil bei höherer Frequenz kleinere Kernquerschnitte für denselben magnetischen Fluss ausreichen.

6.2 Energieübertragung

Die Energieübertragung im Stromnetz ist die bedeutendste Anwendung des Transformators. Wie bereits in ET1-10 gezeigt, ermöglicht die Spannungstransformation eine verlustarme Übertragung über große Entfernungen: Durch Hochtransformieren der Spannung auf $110\mathrm{kV}$ bis $380\mathrm{kV}$ sinkt der Übertragungsstrom bei gleicher Leistung, und die Leitungsverluste $P_{\mathrm{V}}=I^2\cdot R_{\mathrm{L}}$ nehmen quadratisch ab.

In einem typischen Übertragungsnetz durchläuft die elektrische Energie mehrere Transformationsstufen:

Stufe	Spannungsebene	Transformator
Kraftwerk $\to$ Übertragung	$10-30\mathrm{kV}\to 220-380\mathrm{kV}$	Maschinentransformator
Übertragung $\to$ Verteilung	$220-380\mathrm{kV}\to 110\mathrm{kV}$	Netzkuppeltransformator
Verteilung $\to$ Regional	$110\mathrm{kV}\to 10-30\mathrm{kV}$	Umspannwerkstransformator
Regional $\to$ Verbraucher	$10-30\mathrm{kV}\to 400/230\mathrm{V}$	Ortsnetztransformator

6.3 Schweißtransformator

Der Schweißtransformator ist ein anschauliches Beispiel für die gezielte Nutzung eines hohen Übersetzungsverhältnisses. Für das Lichtbogenschweißen wird eine niedrige Spannung ($20$ bis $80\mathrm{V}$) bei sehr hohem Strom ($50$ bis $400\mathrm{A}$) benötigt. Der Schweißtransformator setzt die Netzspannung entsprechend herab.

Das Übersetzungsverhältnis eines Schweißtransformators beträgt typischerweise:

$$\ddot{u}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{230\mathrm{V}}{40\mathrm{V}}\approx 5,8$$

Bei einer Schweißstromstärke von $I_2=200\mathrm{A}$ beträgt der Primärstrom im Idealfall:

$$I_1=\frac{I_2}{\ddot{u}}=\frac{200\mathrm{A}}{5,8}\approx 34,5\mathrm{A}$$

Eine Besonderheit des Schweißtransformators ist seine bewusst hohe Streuung. Die Streureaktanz wirkt als strombegrenzendes Element und ermöglicht eine stabile Lichtbogencharakteristik, ohne dass ein separater Vorwiderstand benötigt wird. Hier ist die Streuung also kein unerwünschter Nebeneffekt, sondern eine funktional genutzte Eigenschaft.

Warum ist der Transformator für die Energietechnik unverzichtbar?

Antwort
Ohne den Transformator wäre eine effiziente Energieübertragung über große Entfernungen nicht möglich. Nur durch das Hochtransformieren der Spannung lassen sich die Leitungsverluste (P_\mathrm{V} = I^2 \cdot R) auf ein wirtschaftlich akzeptables Maß senken. Diese Fähigkeit des Transformators war historisch der entscheidende Grund für den Siegeszug des Wechselstromsystems (Nikola Tesla) gegenüber dem Gleichstromsystem (Thomas Edison).
Darüber hinaus leistet der Transformator galvanische Trennung -- ein wichtiger Sicherheitsaspekt in der elektrischen Energieversorgung und bei Netzteilen.

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Übungen zu dieser Lektion

• Übung ET2-09.02 – Transformatordimensionierung für den eigenen Betrieb

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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