ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? — Die Leitfragen:

• Wie lassen sich sinusförmige Wechselgrößen mathematisch elegant beschreiben?
• Was sind komplexe Zahlen und wie rechnet man mit ihnen?
• Wie hängen rotierende Zeiger und komplexe Exponentialfunktion zusammen?
• Wie überträgt man die Kirchhoffschen Regeln in die komplexe Ebene?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? — Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie stellen komplexe Zahlen in kartesischer und polarer Form dar und rechnen zwischen beiden Formen um.
• Sie wenden die Eulersche Formel an, um Zeiger als komplexe Exponentialfunktion zu schreiben.
• Sie beherrschen die Grundrechenarten für komplexe Zahlen (Addition, Multiplikation, Division, Konjugation).
• Sie definieren den komplexen Effektivwert und die komplexe Amplitude einer Wechselgröße.
• Sie formulieren die Kirchhoffschen Regeln in komplexer Schreibweise.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? — Die Wissensbausteine:

• Komplexe Zahlen: kartesische Form, Polarform, Eulersche Formel
• Rechenregeln komplexer Zahlen
• Komplexer Effektivwert und komplexe Amplitude
• Kirchhoffsche Regeln in komplexer Form

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Wie sind die Inhalte gegliedert? — Der Aufbau:
1 Motivation
2 Komplexe Zahlen
3 Rechenregeln
4 Komplexe Darstellung von Wechselgrößen
5 Kirchhoffsche Regeln in komplexer Form

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

• Wechselgrößen: Momentanwert, Amplitude $\hat{U}$, Kreisfrequenz $\omega$, Periode $T$, Phasenwinkel $\phi$
• Kenngrößen: Effektivwert $U=\hat{U}/\sqrt{2}$, Gleichrichtwert, Scheitelfaktor, Formfaktor
• Sinusförmige Größen als rotierende Zeiger im Zeigerdiagramm
• Einstieg in die komplexe Darstellung: Warum Zeiger und komplexe Zahlen?

1 Motivation — Warum komplexe Zahlen in der Elektrotechnik?

In der vorherigen Lektion haben wir sinusförmige Wechselgrößen kennengelernt und als rotierende Zeiger visualisiert. Die mathematische Beschreibung im Zeitbereich — etwa $u(t)=\hat{U}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_u)$ — führt bei der Berechnung von Schaltungen schnell zu aufwendigen trigonometrischen Umformungen. Wer schon einmal zwei Sinusfunktionen unterschiedlicher Phase addieren oder das Produkt zweier Sinus-Ausdrücke berechnen musste, kennt das Problem: Die Additionstheoreme der Trigonometrie erzeugen lange, fehleranfällige Ausdrücke.

Die Lösung dieses Problems verdanken wir dem deutsch-amerikanischen Ingenieur Steinmetz, der Ende des 19. Jahrhunderts die komplexe Zahlenrechnung systematisch in die Elektrotechnik einführte. Seine Idee: Sinusförmige Wechselgrößen werden durch komplexe Zahlen dargestellt. Damit vereinfachen sich die trigonometrischen Operationen zu algebraischen — Addition und Multiplikation komplexer Zahlen ersetzen die mühsame Arbeit mit Additionstheoremen.

Im Kern nutzt die Methode einen mathematischen Zusammenhang, den Euler bereits 1748 entdeckt hatte: Die komplexe Exponentialfunktion $e^{j\phi }$ enthält sowohl Cosinus als auch Sinus. Ein rotierender Zeiger lässt sich damit als komplexe Zahl schreiben, und die Projektion auf die reelle Achse liefert den gesuchten Momentanwert. Auf diesem Fundament baut die gesamte komplexe Wechselstromrechnung auf.

Notation

In der Elektrotechnik verwenden wir den Buchstaben $j$ für die imaginäre Einheit (statt $i$ wie in der Mathematik), da $i$ bereits für die Stromstärke reserviert ist. Komplexe Größen werden im Folgenden durch eine Unterstreichung gekennzeichnet: $\underline{U}$, $\underline{I}$, $\underline{Z}$.

2 Komplexe Zahlen — Wiederholung und Einführung

2.1 Die imaginäre Einheit

Die imaginäre Einheit $j$ ist definiert durch:

$$j=\sqrt{-1}\text{bzw.}{j}^2=-1$$

Mit $j$ lässt sich die Menge der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern. Jede komplexe Zahl $\underline{z}$ besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil, die beide reelle Zahlen sind.

Häufiger Fehler

In der Mathematik wird die imaginäre Einheit mit $i$ bezeichnet, in der Elektrotechnik mit $j$. Achten Sie in Formelsammlungen und Taschenrechnern auf die jeweils verwendete Konvention. Verwechslungsgefahr mit der Stromstärke $i(t)$!

2.2 Kartesische Form (Normalform)

In der kartesischen Form (Cartesian form) wird eine komplexe Zahl als Summe aus Real- und Imaginärteil geschrieben:

$$\underline{z}=a+jb$$

Dabei ist:

• $\underline{z}$ die komplexe Zahl
• $a=\mathrm{Re}\{\underline{z}\}$ der Realteil (real part)
• $b=\mathrm{Im}\{\underline{z}\}$ der Imaginärteil (imaginary part)
• $j$ die imaginäre Einheit

Die kartesische Form hat eine unmittelbare geometrische Bedeutung: In der Gaußschen Zahlenebene (complex plane) wird der Realteil $a$ auf der horizontalen Achse und der Imaginärteil $b$ auf der vertikalen Achse aufgetragen. Jede komplexe Zahl entspricht damit einem Punkt in dieser Ebene — oder äquivalent einem Zeiger vom Ursprung zu diesem Punkt.

(Quelle: Wikimedia Commons)

2.3 Polarform (Exponentialform)

Dieselbe komplexe Zahl lässt sich alternativ durch ihren Betrag $r$ und ihren Phasenwinkel $\phi$ beschreiben. In der Gaußschen Zahlenebene ist $r$ der Abstand des Punktes vom Ursprung und $\phi$ der Winkel zur positiven reellen Achse, gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn.

$$\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }$$

Dabei ist:

• $r=|\underline{z}|$ der Betrag (magnitude, absolute value) der komplexen Zahl
• $\phi =\arg (\underline{z})$ das Argument (argument, phase angle) der komplexen Zahl in Radiant ($\mathrm{rad}$) oder Grad

Der Betrag und der Phasenwinkel berechnen sich aus dem Real- und Imaginärteil:

$$r=|\underline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\phi =\arg (\underline{z})=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$

Quadrantenbeachtung bei arctan

Die Funktion $\arctan (b/a)$ liefert nur Werte im Bereich $-90°$ bis $+90°$ (1. und 4. Quadrant). Liegt die komplexe Zahl im 2. oder 3. Quadranten (also $a<0$), muss zum Ergebnis $180°$ addiert werden. Alternativ bieten viele Taschenrechner die Funktion $atan2(b,a)$, die alle vier Quadranten korrekt berücksichtigt.

Die Umrechnung von der Polarform zurück in die kartesische Form erfolgt über:

$$a=r\cdot \cos \phi$$ $$b=r\cdot \sin \phi$$

(Quelle: Wikimedia Commons)

2.4 Die Eulersche Formel

Die Verbindung zwischen der Exponentialform und den trigonometrischen Funktionen stellt die Eulersche Formel her. Sie ist das mathematische Herzstück der komplexen Wechselstromrechnung:

$$e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$$

Diese 1748 von Euler veröffentlichte Beziehung besagt: Die komplexe Exponentialfunktion $e^{j\phi }$ beschreibt einen Punkt auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene. Sein Realteil ist der Cosinus, sein Imaginärteil der Sinus des Winkels $\phi$. Anders ausgedrückt: Die Exponentialfunktion „verpackt” beide trigonometrischen Funktionen in einem einzigen kompakten Ausdruck.

Herleitung über Taylor-Reihen

Die Eulersche Formel lässt sich über den Vergleich der Taylor-Reihen herleiten.

Die Exponentialfunktion hat die Reihenentwicklung:

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

Setzt man $x=j\phi$ ein und nutzt $j^2=-1$, $j^3=-j$, $j^4=1$, …, so ergibt sich:

$$e^{j\phi }=1+j\phi -\frac{{\phi }^2}{2!}-j\frac{{\phi }^3}{3!}+\frac{{\phi }^4}{4!}+j\frac{{\phi }^5}{5!}-\cdots$$

Sortiert man nach Real- und Imaginärteil, erhält man:

$$e^{j\phi }=\underset{\cos \phi }{\underbrace{\left(1-\frac{{\phi }^2}{2!}+\frac{{\phi }^4}{4!}-\cdots \right)}}+j\underset{\sin \phi }{\underbrace{\left(\phi -\frac{{\phi }^3}{3!}+\frac{{\phi }^5}{5!}-\cdots \right)}}$$

Das sind genau die Taylor-Reihen von $\cos \phi$ und $\sin \phi$.

Mit der Eulerschen Formel wird nun klar, warum die Polarform funktioniert. Eine komplexe Zahl $\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }$ lässt sich ausmultiplizieren:

$$\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }=r\cdot (\cos \phi +j\sin \phi )=\underset{a}{\underbrace{r\cos \phi }}+j\underset{b}{\underbrace{r\sin \phi }}$$

Das ist genau die kartesische Form $\underline{z}=a+jb$ mit den Zusammenhängen $a=r\cos \phi$ und $b=r\sin \phi$.

(Quelle: Wikimedia Commons)

Eulersche Identität

Für den Spezialfall $\phi =\pi$ ergibt sich die berühmte Eulersche Identität:

$$e^{j\pi }+1=0$$

Sie verknüpft die fünf fundamentalen mathematischen Konstanten $e$, $j$, $\pi$, $1$ und $0$ in einer einzigen Gleichung.

2.5 Umrechnung zwischen den Formen — Vollständiges Rechenbeispiel

Die sichere Umrechnung zwischen kartesischer Form und Polarform ist eine Grundfertigkeit der komplexen Wechselstromrechnung. Wir rechnen ein vollständiges Beispiel in beide Richtungen.

Kartesisch $\to$ Polar

Gegeben: ${\underline{z}}_1=3+j4$

Gesucht: Betrag $r$ und Phasenwinkel $\phi$

Lösung:

$$r=|{\underline{z}}_1|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\underline{5}$$ $$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)=\arctan \left(\frac{4}{3}\right)=\underline{53,13°}$$

Da $a>0$ und $b>0$, liegt ${\underline{z}}_1$ im 1. Quadranten — die Quadrantenkorrektur entfällt.

In Polarform:

$${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 53,13°}$$

Polar $\to$ Kartesisch

Gegeben: ${\underline{z}}_2=10\cdot e^{j\cdot 120°}$

Gesucht: Realteil $a$ und Imaginärteil $b$

Lösung:

$$a=r\cdot \cos \phi =10\cdot \cos (120°)=10\cdot (-0,5)=\underline{-5}$$ $$b=r\cdot \sin \phi =10\cdot \sin (120°)=10\cdot 0,866=\underline{8,66}$$

In kartesischer Form:

$${\underline{z}}_2=-5+j\cdot 8,66$$

Kontrolle

Zur Kontrolle lässt sich prüfen, ob $\sqrt{a^2+b^2}=r$ gilt: $\sqrt{(-5{)}^2+8,66^2}=\sqrt{25+75}=\sqrt{100}=10$ — stimmt mit dem gegebenen Betrag überein.

3 Rechenregeln für komplexe Zahlen

Für die Berechnung von Wechselstromschaltungen benötigen wir vier grundlegende Operationen: Addition, Multiplikation, Division und konjugiert Komplexes. Jede Operation ist in einer der beiden Darstellungsformen besonders einfach durchzuführen.

Faustregeln für die Formwahl

• Addition und Subtraktion rechnet man am einfachsten in der kartesischen Form — Real- und Imaginärteile werden separat addiert.
• Multiplikation und Division rechnet man am einfachsten in der Polarform — Beträge werden multipliziert/dividiert, Winkel addiert/subtrahiert.

Wir verwenden im Folgenden zwei komplexe Zahlen:

$${\underline{z}}_1=a_1+j{b}_1=r_1\cdot e^{j{\phi }_1}{\underline{z}}_2=a_2+j{b}_2=r_2\cdot e^{j{\phi }_2}$$

3.1 Addition und Subtraktion

Die Addition komplexer Zahlen erfolgt komponentenweise — Realteile und Imaginärteile werden jeweils separat addiert:

$${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)$$

Für die Subtraktion gilt entsprechend:

$${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2=(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)$$

Geometrisch entspricht die Addition der Vektoraddition in der Gaußschen Zahlenebene (Parallelogrammregel).

Rechenbeispiel Addition

${\underline{z}}_1=3+j4$, ${\underline{z}}_2=-1+j2$

$${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=(3+(-1))+j(4+2)=\underline{2+j6}$$

3.2 Multiplikation

In der Polarform multipliziert man die Beträge und addiert die Phasenwinkel:

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=r_1\cdot r_2\cdot e^{j({\phi }_1+{\phi }_2)}$$

In der kartesischen Form ergibt sich durch Ausmultiplizieren unter Beachtung von $j^2=-1$:

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+j(a_1{b}_2+a_2{b}_1)$$

Rechenbeispiel Multiplikation

${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 53,13°}$, ${\underline{z}}_2=10\cdot e^{j\cdot 120°}$

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=5\cdot 10\cdot e^{j(53,13°+120°)}=\underline{50\cdot e^{j\cdot 173,13°}}$$

Die Beträge werden multipliziert ($5\cdot 10=50$), die Winkel addiert ($53,13°+120°=173,13°$).

3.3 Division

In der Polarform dividiert man die Beträge und subtrahiert die Phasenwinkel:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot e^{j({\phi }_1-{\phi }_2)}$$

In der kartesischen Form erweitert man den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners (siehe Abschnitt 3.4), um den Nenner reell zu machen:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{{\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }}{{\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }}=\frac{(a_1+j{b}_1)(a_2-j{b}_2)}{a_2^2+b_2^2}$$ $$=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}+j\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}$$

Rechenbeispiel Division

${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 53,13°}$, ${\underline{z}}_2=10\cdot e^{j\cdot 120°}$

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{5}{10}\cdot e^{j(53,13°-120°)}=\underline{0,5\cdot e^{-j\cdot 66,87°}}$$

Die Beträge werden dividiert ($5/10=0,5$), die Winkel subtrahiert ($53,13°-120°=-66,87°$). Der negative Winkel bedeutet, dass der Zeiger des Ergebnisses unter der reellen Achse liegt (4. Quadrant).

3.4 Konjugiert Komplexes

Das konjugiert Komplexe ${\underline{z}}^{\ast }$ einer komplexen Zahl entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils:

$$\underline{z}=a+jb\Rightarrow {\underline{z}}^{\ast }=a-jb$$

In Polarform wird das Vorzeichen des Winkels umgekehrt:

$$\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }\Rightarrow {\underline{z}}^{\ast }=r\cdot e^{-j\phi }$$

Geometrisch entspricht die Konjugation einer Spiegelung an der reellen Achse. Der Betrag bleibt unverändert: $|{\underline{z}}^{\ast }|=|\underline{z}|=r$.

Eine wichtige Eigenschaft ist das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem konjugiert Komplexen:

$$\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=(a+jb)(a-jb)=a^2+b^2=r^2$$

Das Ergebnis ist stets eine reelle, nicht-negative Zahl. Diese Eigenschaft nutzen wir bei der Division komplexer Zahlen in kartesischer Form, um den Nenner reell zu machen.

Notation

Für das konjugiert Komplexe sind in der Literatur verschiedene Schreibweisen üblich: ${\underline{z}}^{\ast }$, $\bar{\underline{z}}$ oder ${\underline{z}}^{\prime }$. In diesem Skript verwenden wir die Stern-Notation ${\underline{z}}^{\ast }$.

3.5 Zusammenfassung der Rechenregeln

Operation	Kartesische Form	Polarform
Addition	$(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)$	—
Subtraktion	$(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)$	—
Multiplikation	$(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+j(a_1{b}_2+a_2{b}_1)$	$r_1\cdot r_2\cdot e^{j({\phi }_1+{\phi }_2)}$
Division	$\frac{(a_1{a}_2+b_1{b}_2)+j(a_2{b}_1-a_1{b}_2)}{a_2^2+b_2^2}$	$\frac{r_1}{r_2}\cdot e^{j({\phi }_1-{\phi }_2)}$
Konjugation	$a-jb$	$r\cdot e^{-j\phi }$

Reflexionsfrage

Warum ist es sinnvoll, bei der Multiplikation die Polarform und bei der Addition die kartesische Form zu verwenden? Überlegen Sie, welchen Rechenaufwand die jeweils andere Form erfordern würde.

Antwort
Die Addition in Polarform würde erfordern, beide Zahlen erst in kartesische Form umzurechnen, dort zu addieren und das Ergebnis zurück in Polarform zu bringen -- drei Schritte statt einem. Umgekehrt erfordert die Multiplikation in kartesischer Form das Ausmultiplizieren mit vier Einzelprodukten und die Beachtung von j^2 = -1, während in Polarform einfach zwei Beträge multipliziert und zwei Winkel addiert werden.

4 Komplexe Darstellung von Wechselgrößen

4.1 Vom Zeiger zur komplexen Zahl

In ET2-02 haben wir gesehen, dass sich eine sinusförmige Wechselspannung $u(t)=\hat{U}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_u)$ als Projektion eines rotierenden Zeigers auf die reelle Achse darstellen lässt. Dieser Zeiger hat die Länge $\hat{U}$ und dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um den Ursprung.

Mit der Eulerschen Formel können wir diesen rotierenden Zeiger nun als komplexe Exponentialfunktion schreiben. Die zeitabhängige komplexe Spannung lautet:

$$\underline{u}(t)=\hat{U}\cdot e^{j(\omega t+{\phi }_u)}$$

Dabei ist:

• $\hat{U}$ die Amplitude (Scheitelwert) der Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $\omega$ die Kreisfrequenz in Radiant pro Sekunde ($rad/s$)
• ${\phi }_u$ der Nullphasenwinkel der Spannung in Radiant ($\mathrm{rad}$) oder Grad
• $t$ die Zeit in Sekunden ($\mathrm{s}$)

Der Momentanwert der realen Spannung ergibt sich als Realteil der komplexen Größe:

$$u(t)=\mathrm{Re}\{\underline{u}(t)\}=\hat{U}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_u)$$

Cosinus-Konvention

In der komplexen Wechselstromrechnung wird üblicherweise die Cosinus-Darstellung verwendet, da der Realteil der komplexen Exponentialfunktion der Cosinus ist: $\mathrm{Re}\{e^{j\phi }\}=\cos \phi$. Die in ET2-02 eingeführte Sinus-Darstellung lässt sich durch eine Phasenverschiebung von $-90°$ in die Cosinus-Darstellung überführen: $\sin (\omega t)=\cos (\omega t-90°)$.

4.2 Komplexe Amplitude

Der zeitabhängige Ausdruck $\underline{u}(t)=\hat{U}\cdot e^{j(\omega t+{\phi }_u)}$ lässt sich in zwei Faktoren zerlegen:

$$\underline{u}(t)=\underset{\underline{\hat{U}}}{\underbrace{\hat{U}\cdot e^{j{\phi }_u}}}\cdot \underset{\text{Drehfaktor}}{\underbrace{e^{j\omega t}}}$$

Der erste Faktor $\underline{\hat{U}}=\hat{U}\cdot e^{j{\phi }_u}$ ist zeitunabhängig und heißt komplexe Amplitude (complex amplitude). Er enthält die gesamte Information über Betrag und Phasenlage der Wechselgröße.

$$\underline{\hat{U}}=\hat{U}\cdot e^{j{\phi }_u}$$

Dabei ist:

• $\underline{\hat{U}}$ die komplexe Amplitude der Spannung
• $\hat{U}=|\underline{\hat{U}}|$ die (reelle) Amplitude, also der Scheitelwert
• ${\phi }_u=\arg (\underline{\hat{U}})$ der Nullphasenwinkel

Der zweite Faktor $e^{j\omega t}$ beschreibt die Drehung mit der Kreisfrequenz $\omega$ und ist für alle Größen im selben Netzwerk identisch, sofern nur eine Frequenz vorhanden ist. Genau deshalb kann er bei der Berechnung von Netzwerken weggelassen werden — er kürzt sich in jeder Gleichung heraus.

Kernidee der komplexen Wechselstromrechnung

Da alle Größen im Netzwerk mit derselben Frequenz $\omega$ schwingen, enthält der Drehfaktor $e^{j\omega t}$ keine zusätzliche Information für die Netzwerkberechnung. Es genügt, mit den komplexen Amplituden (oder Effektivwerten) zu rechnen. Dies reduziert die Aufgabe auf die Lösung algebraischer Gleichungen mit komplexen Zahlen — die zeitaufwendige Arbeit mit trigonometrischen Funktionen entfällt vollständig.

4.3 Komplexer Effektivwert

In der Praxis rechnet man häufig nicht mit Amplituden, sondern mit Effektivwerten. Analog zum reellen Zusammenhang $U=\hat{U}/\sqrt{2}$ definieren wir den komplexen Effektivwert als:

$$\underline{U}=\frac{\underline{\hat{U}}}{\sqrt{2}}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}\cdot e^{j{\phi }_u}=U\cdot e^{j{\phi }_u}$$

Dabei ist:

• $\underline{U}$ der komplexe Effektivwert der Spannung
• $U=|\underline{U}|=\hat{U}/\sqrt{2}$ der (reelle) Effektivwert
• ${\phi }_u$ der Nullphasenwinkel

Die Phasenlage bleibt beim Übergang von der komplexen Amplitude zum komplexen Effektivwert unverändert — nur der Betrag wird um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner.

Für den Strom gelten die gleichen Definitionen:

$$\underline{I}=I\cdot e^{j{\phi }_i}$$

Dabei ist:

• $\underline{I}$ der komplexe Effektivwert des Stromes
• $I=|\underline{I}|=\hat{I}/\sqrt{2}$ der (reelle) Effektivwert
• ${\phi }_i$ der Nullphasenwinkel des Stromes

Rechenbeispiel: Komplexer Effektivwert

Eine Spannung hat die Zeitfunktion $u(t)=325,3\mathrm{V}\cdot \cos (\omega t+30°)$.

Die komplexe Amplitude beträgt:

$$\underline{\hat{U}}=325,3\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 30°}$$

Der komplexe Effektivwert beträgt:

$$\underline{U}=\frac{325,3\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\cdot e^{j\cdot 30°}=230\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 30°}$$

Der Betrag des Effektivwerts ist $U=230\mathrm{V}$ — das ist die Netzspannung. Der Nullphasenwinkel ${\phi }_u=30°$ gibt die Phasenlage gegenüber der Referenz an.

In kartesischer Form:

$$\underline{U}=230\mathrm{V}\cdot (\cos 30°+j\sin 30°)=230\mathrm{V}\cdot (0,866+j\cdot 0,5)=\underline{199,2\mathrm{V}+j\cdot 115,0\mathrm{V}}$$

4.4 Phasenverschiebung

In Wechselstromschaltungen haben Spannung und Strom im Allgemeinen unterschiedliche Phasenwinkel ${\phi }_u$ und ${\phi }_i$. Die Differenz der Nullphasenwinkel heißt Phasenverschiebungswinkel $\phi$:

$$\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$$

Dabei ist:

• $\phi >0$: die Spannung eilt dem Strom voraus (induktives Verhalten)
• $\phi <0$: die Spannung eilt dem Strom nach, d. h. der Strom eilt der Spannung voraus (kapazitives Verhalten)
• $\phi =0$: Spannung und Strom sind in Phase (rein resistives Verhalten)

Der Phasenverschiebungswinkel wird uns in den folgenden Lektionen bei der Beschreibung der Bauelemente R, L und C wieder begegnen.

5 Kirchhoffsche Regeln in komplexer Form

Die Kirchhoffschen Regeln, die wir in ET1-06 für Gleichstromnetzwerke kennengelernt haben, gelten unverändert auch für Wechselstromnetzwerke — man muss lediglich die reellen Größen durch ihre komplexen Entsprechungen ersetzen.

5.1 Knotenpunktregel (KCL) in komplexer Form

Die Knotenpunktregel (Kirchhoff’s Current Law, KCL) besagt: Die Summe aller komplexen Ströme in einem Knoten ist null.

$$\sum _{k=1}^n{\underline{I}}_k=0$$

Dabei ist:

• ${\underline{I}}_k$ der komplexe Effektivwert des $k$-ten Stromes am Knoten
• $n$ die Anzahl der Zweige am betrachteten Knoten

Die Vorzeichenkonvention bleibt wie in ET1-06: Zufließende Ströme positiv, abfließende Ströme negativ (oder umgekehrt, sofern konsistent).

Physikalische Grundlage

Die Knotenpunktregel basiert auf der Ladungserhaltung. Da diese ein universelles Naturgesetz ist, gilt sie für alle Stromformen — Gleichstrom, Wechselstrom und beliebige zeitliche Verläufe. Der Übergang zur komplexen Form ist daher keine neue Physik, sondern lediglich eine andere mathematische Darstellung.

5.2 Maschenregel (KVL) in komplexer Form

Die Maschenregel (Kirchhoff’s Voltage Law, KVL) besagt: Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer geschlossenen Masche ist null.

$$\sum _{k=1}^n{\underline{U}}_k=0$$

Dabei ist:

• ${\underline{U}}_k$ die komplexe Spannung über dem $k$-ten Element in der Masche
• $n$ die Anzahl der Elemente in der betrachteten Masche

Auch hier bleiben die Vorzeichenregeln aus ET1-06 bestehen: Spannungen in Umlaufrichtung erhalten ein positives, Spannungen gegen die Umlaufrichtung ein negatives Vorzeichen.

Übertragbarkeit aller DC-Methoden

Durch die komplexe Darstellung lassen sich alle aus der Gleichstromtechnik bekannten Analysemethoden auf Wechselstromkreise übertragen:

• Reihen- und Parallelschaltung (mit komplexen Impedanzen statt reellen Widerständen)
• Spannungsteiler und Stromteiler
• Knotenpotentialverfahren
• Maschenstromverfahren
• Überlagerungssatz (Superposition)
• Ersatzquellen (Thévenin, Norton)

Die konkrete Anwendung dieser Methoden folgt in den Lektionen ET2-04 und ET2-05.

5.3 Rechenbeispiel: Knotenpunktregel komplex

An einem Knoten treffen drei Ströme zusammen. Zwei davon sind bekannt:

Gegeben:

$${\underline{I}}_1=2\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 0°}=2\mathrm{A}+j\cdot 0\mathrm{A}$$ $${\underline{I}}_2=3\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 90°}=0\mathrm{A}+j\cdot 3\mathrm{A}$$

Beide Ströme fließen zum Knoten hin, ${\underline{I}}_3$ fließt vom Knoten weg.

Gesucht: ${\underline{I}}_3$

Lösung:

Nach der Knotenpunktregel gilt:

$${\underline{I}}_1+{\underline{I}}_2-{\underline{I}}_3=0$$ $${\underline{I}}_3={\underline{I}}_1+{\underline{I}}_2=(2+j\cdot 0)\mathrm{A}+(0+j\cdot 3)\mathrm{A}=(2+j\cdot 3)\mathrm{A}$$

Umrechnung in Polarform:

$$|{\underline{I}}_3|=\sqrt{2^2+3^2}\mathrm{A}=\sqrt{13}\mathrm{A}\approx 3,61\mathrm{A}$$ $${\phi }_3=\arctan \left(\frac{3}{2}\right)=56,31°$$ $$\underline{{\underline{I}}_3=3,61\mathrm{A}\cdot e^{j\cdot 56,31°}}$$

Der Strom ${\underline{I}}_3$ hat einen Effektivwert von $3,61\mathrm{A}$ und eilt der Referenz (${\underline{I}}_1$) um $56,31°$ voraus. Bemerkenswert ist, dass die Beträge sich bei der Addition komplexer Ströme nicht einfach addieren ($2\mathrm{A}+3\mathrm{A}\ne 3,61\mathrm{A}$) — die Phasenlagen müssen berücksichtigt werden.

Reflexionsfrage

Warum ist $|{\underline{I}}_3|=3,61\mathrm{A}$ und nicht $5\mathrm{A}$, obwohl $|{\underline{I}}_1|+|{\underline{I}}_2|=2\mathrm{A}+3\mathrm{A}=5\mathrm{A}$?

Antwort
Die beiden Ströme haben eine Phasenverschiebung von 90° zueinander. Bei der Addition komplexer Zeiger werden die Zeigerlängen nur dann direkt addiert, wenn die Zeiger in die gleiche Richtung weisen (\Delta\varphi = 0°). Bei einer Phasenverschiebung von 90° gilt der Satz des Pythagoras: |\underline{I}_3| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\,\mathrm{A}. Dies ist ein fundamentaler Unterschied zur Gleichstromtechnik, in der Ströme keine Phasen besitzen und sich algebraisch addieren.

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Übungen zu dieser Lektion

• Übung ET2-03.01

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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⏭️ Hier geht’s weiter: ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis 🔗