Übung ET2-09.02 – Transformatordimensionierung für den eigenen Betrieb (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02)

Bezug zu ET2-09 Transformator

Aufgabe

In der Praxisaufgabe zu ET1 haben Sie den Gesamtjahresenergiebedarf Ihres Ausbildungsbetriebs und die drei größten Verbraucher ermittelt. Jeder Industriebetrieb wird über mindestens einen Transformator aus dem Mittelspannungsnetz versorgt. In dieser Übung prüfen wir, welchen Transformator Ihr Betrieb benötigt, und berechnen die unvermeidlichen Verluste, die dabei auftreten – auch wenn gar keine Last angeschlossen ist.

Hinweis zu den Werten

Verwenden Sie für Teilaufgabe a) die Scheinleistungen Ihrer drei Verbraucher aus der Praxisaufgabe. Falls Sie dort nur die Wirkleistung $P$ ermittelt haben, rechnen Sie mit $S=P/\cos \phi$ unter Verwendung eines geschätzten Leistungsfaktors (z. B. $\cos \phi =0,8$). Die Musterlösung rechnet beispielhaft mit einem metallverarbeitenden Betrieb.

a) Berechnen Sie die Scheinleistung jedes Ihrer drei größten Verbraucher (falls noch nicht geschehen) und bilden Sie die Summe. Da diese drei nicht die einzigen Verbraucher im Betrieb sind (Beleuchtung, Lüftung, Kleinverbraucher etc.), schätzen Sie die gesamte Anschlussleistung Ihres Betriebs als das Zwei- bis Dreifache dieser Summe. Wählen Sie die nächstgrößere Normgröße aus der folgenden Tabelle:

$S_{\mathrm{N}}$ in $\mathrm{kVA}$	$P_0$ in $\mathrm{W}$	$P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$ in $\mathrm{W}$
$100$	$145$	$1250$
$160$	$200$	$1750$
$250$	$280$	$2450$
$400$	$387$	$3250$
$630$	$540$	$4600$
$1000$	$770$	$7600$

Typische Verlustdaten für dreiphasige, ölgekühlte Verteilnetztransformatoren (angelehnt an EU-Verordnung 2019/1783, Tier 2)

b) Lesen Sie aus der Tabelle die Leerlaufverluste $P_0$ und die Kurzschlussverluste bei Nennlast $P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$ für Ihre gewählte Transformatorgröße ab.

c) Nicht alle Verbraucher laufen gleichzeitig auf Volllast. Schätzen Sie den mittleren Belastungsgrad $\beta =S/S_{\mathrm{N}}$ Ihres Transformators. Berücksichtigen Sie dabei einen Gleichzeitigkeitsfaktor von $g\approx 0,6\dots 0,8$.

d) Berechnen Sie die Gesamtverlustleistung $P_{\mathrm{V}}$ und den Wirkungsgrad $\eta$ bei Ihrem geschätzten Belastungsgrad. Nehmen Sie für den Lastleistungsfaktor $\cos {\phi }_2=0,85$ an.

e) Berechnen Sie den jährlichen Energieverlust des Transformators. Wie hoch sind die jährlichen Kosten allein für die Leerlaufverluste, die $8760$ Stunden pro Jahr anfallen – auch an Wochenenden und Feiertagen? (Strompreis: $0,20EUR/kWh$)

f) Bei welchem Belastungsgrad ${\beta }_{\mathrm{opt}}$ erreicht Ihr Transformator den maximalen Wirkungsgrad?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Musterrechnung

Da jeder Studierende seine individuellen Betriebsdaten verwendet, zeigt diese Lösung eine beispielhafte Musterrechnung für einen metallverarbeitenden Betrieb. Ihre eigenen Zahlenwerte weichen ab – der Lösungsweg ist jedoch identisch.

Gegeben

Beispielwerte (metallverarbeitender Betrieb):

Drei größte Verbraucher aus der Praxisaufgabe zu ET1:

1. CNC-Fräsmaschine: $P_1=15\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_1=0,75$
2. Kompressor: $P_2=7,5\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_2=0,72$
3. Schweißgerät: $P_3=8,0\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_3=0,85$

Weitere Angaben:

• Gleichzeitigkeitsfaktor: $g=0,7$
• Lastleistungsfaktor: $\cos {\phi }_2=0,85$
• Netzfrequenz: $f=50\mathrm{Hz}$
• Strompreis: $k=0,20EUR/kWh$

Bekannt:

• Scheinleistung: $S=\frac{P}{\cos \phi }$
• Verlustleistung (vgl. ET2-09, Abschnitt 3.2 und ET2-10, Abschnitt 2.1): $P_{\mathrm{V}}=P_0+{\beta }^2\cdot P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$
• Wirkungsgrad (vgl. ET2-09 Transformator, Abschnitt 3.2): $\eta =\frac{P_2}{P_2+P_{\mathrm{V}}}$
• Optimaler Belastungsgrad (vgl. ET2-10, Abschnitt 2.1): ${\beta }_{\mathrm{opt}}=\sqrt{\frac{P_0}{P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}}}$

Gesucht

a) Scheinleistungen $S_1$, $S_2$, $S_3$, Summe $\sum S_i$ und Normgröße $S_{\mathrm{N}}$
b) Leerlaufverluste $P_0$ und Kurzschlussverluste $P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$ aus der Tabelle
c) Belastungsgrad $\beta$
d) Verlustleistung $P_{\mathrm{V}}$ in $\mathrm{W}$ und Wirkungsgrad $\eta$ in $\%$
e) Jährlicher Energieverlust in $kWh/a$ und jährliche Kosten der Leerlaufverluste in $EUR/a$
f) Optimaler Belastungsgrad ${\beta }_{\mathrm{opt}}$

a) Transformatordimensionierung

Die Scheinleistung jedes Verbrauchers ergibt sich aus der Wirkleistung und dem Leistungsfaktor:

$$S=\frac{P}{\cos \phi }$$

CNC-Fräsmaschine:

$$S_1=\frac{P_1}{\cos {\phi }_1}=\frac{15\mathrm{kW}}{0,75}=20,0\mathrm{kVA}$$

Kompressor:

$$S_2=\frac{P_2}{\cos {\phi }_2}=\frac{7,5\mathrm{kW}}{0,72}=10,4\mathrm{kVA}$$

Schweißgerät:

$$S_3=\frac{P_3}{\cos {\phi }_3}=\frac{8,0\mathrm{kW}}{0,85}=9,4\mathrm{kVA}$$

Summe der drei größten Verbraucher:

$$\sum S_i=S_1+S_2+S_3=20,0+10,4+9,4=\underline{39,8\mathrm{kVA}\approx 40\mathrm{kVA}}$$

Die drei größten Verbraucher allein ergeben ca. $40\mathrm{kVA}$. Berücksichtigt man weitere Verbraucher im Betrieb (Beleuchtung, Lüftung, Bürogeräte, Kleinverbraucher), kann die gesamte Anschlussleistung als das Zwei- bis Dreifache geschätzt werden:

$$S_{\mathrm{ges}}\approx 3\cdot 40\mathrm{kVA}=120\mathrm{kVA}$$

Aus der Tabelle wird die nächstgrößere Normgröße gewählt:

$$S_{\mathrm{N}}=\underline{160\mathrm{kVA}}$$

Ein Transformator mit $160\mathrm{kVA}$ Nennscheinleistung bietet ausreichend Reserve für Lastspitzen und zukünftige Erweiterungen.

b) Verlustdaten

Aus der Tabelle für $S_{\mathrm{N}}=160\mathrm{kVA}$:

$$\underline{P_0=200\mathrm{W}}$$ $$\underline{P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}=1.750\mathrm{W}}$$

Dabei beschreibt $P_0$ die Leerlaufverluste (Eisenverluste im Kern, lastunabhängig) und $P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$ die Kurzschlussverluste bei Nennlast (Kupferverluste in den Wicklungen, lastabhängig).

c) Belastungsgrad

Nicht alle Verbraucher laufen gleichzeitig auf Volllast. Mit dem Gleichzeitigkeitsfaktor $g=0,7$ ergibt sich die mittlere gleichzeitige Last:

$$S_{\mathrm{Last}}=g\cdot S_{\mathrm{ges}}=0,7\cdot 120\mathrm{kVA}=84\mathrm{kVA}$$

Der Belastungsgrad berechnet sich als Verhältnis der tatsächlichen Last zur Nennleistung:

$$\beta =\frac{S_{\mathrm{Last}}}{S_{\mathrm{N}}}=\frac{84\mathrm{kVA}}{160\mathrm{kVA}}=0,525\approx \underline{0,5}$$

Der Transformator wird also im Mittel nur zu etwa $50\%$ ausgelastet – ein typischer Wert für Verteilnetztransformatoren in Industriebetrieben.

d) Verlustleistung und Wirkungsgrad

Verlustleistung:

Die Gesamtverlustleistung setzt sich aus den lastunabhängigen Leerlaufverlusten und den lastabhängigen Kurzschlussverlusten zusammen:

$$P_{\mathrm{V}}=P_0+{\beta }^2\cdot P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$$ $$P_{\mathrm{V}}=200\mathrm{W}+0,5^2\cdot 1.750\mathrm{W}=200\mathrm{W}+0,25\cdot 1.750\mathrm{W}$$ $$P_{\mathrm{V}}=200\mathrm{W}+437,5\mathrm{W}=\underline{637,5\mathrm{W}}$$

Abgegebene Wirkleistung:

Die vom Transformator an die Last abgegebene Wirkleistung beträgt:

$$P_2=\beta \cdot S_{\mathrm{N}}\cdot \cos {\phi }_2=0,5\cdot 160.000\mathrm{VA}\cdot 0,85$$ $$P_2=\underline{68.000\mathrm{W}=68\mathrm{kW}}$$

Wirkungsgrad:

$$\eta =\frac{P_2}{P_2+P_{\mathrm{V}}}=\frac{68.000\mathrm{W}}{68.000\mathrm{W}+637,5\mathrm{W}}=\frac{68.000}{68.637,5}$$ $$\eta =0,9907=\underline{99,07\%}$$

Der Wirkungsgrad von über $99\%$ zeigt, dass der Transformator sehr effizient arbeitet. Dennoch bedeutet selbst $1\%$ Verlust bei $68\mathrm{kW}$ Durchsatz eine dauerhafte Verlustleistung von über $600\mathrm{W}$ – das entspricht der Leistung eines kleinen Heizlüfters.

e) Jährlicher Energieverlust

Leerlaufverluste (8760 h/a):

Die Leerlaufverluste fallen $8760$ Stunden pro Jahr an, da der Transformator permanent am Netz angeschlossen ist:

$$W_0=P_0\cdot t_{\mathrm{Jahr}}=200\mathrm{W}\cdot 8.760\mathrm{h}=1.752.000\mathrm{Wh}=\underline{1.752kWh/a}$$

Jährliche Kosten der Leerlaufverluste:

$$K_0=W_0\cdot k=1.752\mathrm{kWh}\cdot 0,20EUR/kWh=\underline{350,40EUR/a}$$

Gesamte jährliche Verlustenergie:

Für die lastabhängigen Verluste wird angenommen, dass der Betrieb ca. $t_{\mathrm{Last}}=4.000h/a$ unter Last arbeitet (Ein-Schicht-Betrieb mit Wochenenden):

$$W_{\mathrm{V}}=P_0\cdot t_{\mathrm{Jahr}}+{\beta }^2\cdot P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}\cdot t_{\mathrm{Last}}$$ $$W_{\mathrm{V}}=200\mathrm{W}\cdot 8.760\mathrm{h}+0,25\cdot 1.750\mathrm{W}\cdot 4.000\mathrm{h}$$ $$W_{\mathrm{V}}=1.752.000\mathrm{Wh}+1.750.000\mathrm{Wh}=3.502.000\mathrm{Wh}=\underline{3.502kWh/a}$$

Gesamte jährliche Verlustkosten:

$$K_{\mathrm{V}}=W_{\mathrm{V}}\cdot k=3.502\mathrm{kWh}\cdot 0,20EUR/kWh=\underline{700EUR/a}$$

Leerlaufverluste als permanenter Kostenfaktor

Die Leerlaufverluste kosten $350EUR/a$, selbst wenn kein einziger Verbraucher im Betrieb eingeschaltet ist – an jedem Wochenende, jedem Feiertag, in jeder Nacht. Dies zeigt, warum moderne Energiespartransformatoren mit amorphem Kern, die $40$ bis $70\%$ geringere Leerlaufverluste aufweisen, wirtschaftlich attraktiv sein können – insbesondere für Betriebe mit langen Stillstandszeiten.

f) Optimaler Belastungsgrad

Der maximale Wirkungsgrad wird erreicht, wenn die lastunabhängigen Verluste (Eisenverluste) gleich den lastabhängigen Verlusten (Kupferverluste) sind. Aus der Bedingung $P_0={\beta }^2\cdot P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}$ folgt:

$${\beta }_{\mathrm{opt}}=\sqrt{\frac{P_0}{P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}}}=\sqrt{\frac{200\mathrm{W}}{1.750\mathrm{W}}}=\sqrt{0,1143}$$ $${\beta }_{\mathrm{opt}}=0,338\approx \underline{0,34}$$

Der maximale Wirkungsgrad wird also bereits bei nur $34\%$ Auslastung erreicht. Dies ist typisch für Verteilnetztransformatoren: Die Eisenverluste sind konstruktionsbedingt deutlich kleiner als die Kupferverluste bei Nennlast. In der Praxis werden Transformatoren dennoch häufig oberhalb dieses Optimums betrieben, da sie für Lastspitzen dimensioniert sein müssen.

Zusammenhang mit ET2-09 Transformator, Abschnitt 3.2

Die Bedingung für den maximalen Wirkungsgrad lautet: Die Kupferverluste (lastabhängig, $\propto {\beta }^2$) müssen gleich den Eisenverlusten (lastunabhängig, $P_0=const.$) sein. Mathematisch: $P_{\mathrm{Cu}}=P_{\mathrm{Fe}}$. Daraus folgt unmittelbar ${\beta }_{\mathrm{opt}}=\sqrt{P_0/P_{\mathrm{k},\mathrm{N}}}$.