ET2-02 Einführung in die Wechselstromtechnik

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Was unterscheidet Wechselstrom von Gleichstrom?
• Welche Größen beschreiben eine sinusförmige Wechselspannung vollständig?
• Wie groß ist die „wirksame” Spannung einer Sinusgröße – und warum ist sie kleiner als die Amplitude?
• Warum werden Wechselgrößen als rotierende Zeiger dargestellt?
• Weshalb brauchen wir komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie beschreiben sinusförmige Wechselgrößen durch Momentanwert, Amplitude, Kreisfrequenz, Periode und Phasenwinkel,
• berechnen Effektivwert, Gleichrichtwert, Scheitelfaktor und Formfaktor für sinusförmige Signale,
• stellen Wechselgrößen als rotierende Zeiger dar und lesen Zeigerdiagramme ab,
• begründen, warum die komplexe Darstellung die Berechnung von Wechselstromschaltungen vereinfacht.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Momentanwert, Amplitude, Kreisfrequenz, Periode, Phasenwinkel
• Effektivwert, Gleichrichtwert, Scheitelfaktor, Formfaktor
• Zeigerdarstellung sinusförmiger Größen
• Motivation der komplexen Wechselstromrechnung

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Von Gleichstrom zu Wechselstrom
2 Sinusförmige Wechselgrößen
3 Kenngrößen sinusförmiger Wechselgrößen
4 Zeigerdarstellung
5 Ausblick – Warum komplexe Zahlen?

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

In ET2-01 haben wir einen Überblick über das Modul Elektrotechnik 2 gewonnen und die zentralen Inhalte aus ET1 wiederholt: Grundgrößen (Spannung, Strom, Widerstand, Leistung), das Ohmsche Gesetz, die Kirchhoffschen Regeln, Reihen- und Parallelschaltungen sowie die Stern-Dreieck-Umwandlung. Der Rückblick endete mit der Frage: Was ändert sich, wenn wir von Gleichstrom (DC) zu Wechselstrom (AC) übergehen? Genau dort setzen wir jetzt an.

1 Von Gleichstrom zu Wechselstrom

In ET1 haben wir ausschließlich mit Gleichgrößen gearbeitet: Spannungen und Ströme, die zeitlich konstant sind. Eine Batterie liefert beispielsweise eine Gleichspannung von $U=12\mathrm{V}$ – dieser Wert ändert sich (idealerweise) nicht mit der Zeit. Die mathematische Behandlung solcher Schaltungen führt auf algebraische Gleichungen, die wir mit dem Ohmschen Gesetz und den Kirchhoffschen Regeln lösen können.

(Quelle: Wikimedia Commons, Autor: Zureks, Lizenz: Public Domain)

In der technischen Praxis dominiert jedoch der Wechselstrom (alternating current, AC). Die Steckdose an der Wand liefert keine konstante Spannung, sondern eine Spannung, die sich periodisch ändert – genauer: sie folgt einem sinusförmigen Zeitverlauf. Die Gründe dafür sind vielfältig und reichen von der Erzeugung (rotierende Generatoren erzeugen naturgemäß sinusförmige Spannungen) über die Übertragung (Transformatoren ermöglichen eine verlustarme Hochspannungsübertragung, funktionieren aber nur mit Wechselgrößen) bis hin zu zahlreichen Anwendungen in der Automatisierungstechnik, der Antriebstechnik und der Signalverarbeitung.

Wechselstromtechnik als Kern von ET2

Die Wechselstromtechnik ist das zentrale Thema von Elektrotechnik 2. Alle folgenden Lektionen – von der komplexen Rechnung (ET2-03) über Bauelemente im Wechselstromkreis (ET2-04) bis hin zur Leistungsberechnung (ET2-06) – bauen auf den Grundbegriffen dieser Lektion auf.

Wir beginnen damit, die sinusförmige Wechselgröße mathematisch zu beschreiben und ihre charakteristischen Kenngrößen einzuführen.

2 Sinusförmige Wechselgrößen

2.1 Momentanwert und Zeitfunktion

Eine sinusförmige Wechselspannung wird durch folgende Zeitfunktion beschrieben:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_0)$$

Dabei ist:

• $u(t)$ der Momentanwert (instantaneous value) der Spannung zum Zeitpunkt $t$, gemessen in $\mathrm{V}$
• $\hat{u}$ die Amplitude oder der Scheitelwert (peak value), also der Maximalwert der Spannung, gemessen in $\mathrm{V}$
• $\omega$ die Kreisfrequenz (angular frequency), gemessen in $rad/s$
• $t$ die Zeit, gemessen in $\mathrm{s}$
• ${\phi }_0$ der Nullphasenwinkel (initial phase angle), gemessen in $\mathrm{rad}$ oder $°$

Der Momentanwert $u(t)$ gibt den augenblicklichen Wert der Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Er kann positiv, negativ oder null sein und durchläuft periodisch alle Werte zwischen $-\hat{u}$ und $+\hat{u}$.

Für den Strom gilt die analoge Gleichung:

$$i(t)=\hat{ı}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_0)$$

Konvention: Großbuchstaben und Kleinbuchstaben

In der Wechselstromtechnik wird konsequent zwischen Großbuchstaben und Kleinbuchstaben unterschieden: Zeitlich veränderliche Größen (Momentanwerte) werden mit Kleinbuchstaben geschrieben ($u$, $i$, $p$), zeitlich konstante Größen und Kennwerte (Effektivwert, Amplitude, Gleichanteil) mit Großbuchstaben ($U$, $I$, $P$, $\hat{U}$). Diese Konvention werden wir durchgängig beibehalten.

2.2 Amplitude

Die Amplitude $\hat{u}$ (auch: Scheitelwert, Spitzenwert) ist der maximale Betrag, den der Momentanwert annimmt. Für die Spannung in der Steckdose beträgt sie:

$$\hat{u}=\sqrt{2}\cdot 230\mathrm{V}\approx 325\mathrm{V}$$

Der Zusammenhang zwischen Amplitude und dem aus dem Alltag bekannten Wert von $230\mathrm{V}$ wird im Abschnitt zum Effektivwert (Abschnitt 3.1) erläutert.

Der Spitze-Spitze-Wert (peak-to-peak value) $u_{SS}$ beschreibt die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Momentanwert:

$$u_{SS}=2\cdot \hat{u}$$

Bei der Netzspannung beträgt er demnach $u_{SS}\approx 650\mathrm{V}$ – die Spannung an der Steckdose schwankt also tatsächlich über einen Bereich von mehr als einem halben Kilovolt.

2.3 Periode und Frequenz

Die Periodendauer $T$ (period) ist die Zeitspanne, nach der sich die Wechselgröße exakt wiederholt:

$$u(t+T)=u(t)\text{fu¨r alle }t$$

Die Frequenz $f$ (frequency) gibt an, wie viele vollständige Schwingungen pro Sekunde durchlaufen werden:

$$f=\frac{1}{T}$$

Dabei ist:

• $T$ die Periodendauer in $\mathrm{s}$
• $f$ die Frequenz in $\mathrm{Hz}$ (Hertz), benannt nach Heinrich Hertz

Das europäische Stromnetz arbeitet mit einer Frequenz von $f=50\mathrm{Hz}$, die Netzspannung durchläuft also 50 vollständige Schwingungen pro Sekunde. Die Periodendauer beträgt:

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50\mathrm{Hz}}=\underline{20\mathrm{ms}}$$

Netzfrequenzen weltweit

In Europa, Asien und den meisten Teilen der Welt beträgt die Netzfrequenz $50\mathrm{Hz}$. In Nord- und Mittelamerika sowie Teilen Japans wird mit $60\mathrm{Hz}$ gearbeitet. Für viele industrielle Anwendungen (z. B. Ultraschall, Funk, Signalverarbeitung) sind wesentlich höhere Frequenzen im $\mathrm{kHz}$- bis $\mathrm{GHz}$-Bereich relevant.

2.4 Kreisfrequenz

Die Kreisfrequenz $\omega$ (angular frequency) verknüpft die Frequenz $f$ mit dem Argument der Sinusfunktion. Sie gibt an, welchen Winkel (im Bogenmaß) die Sinusfunktion pro Sekunde durchläuft:

$$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$$

Dabei ist:

• $\omega$ die Kreisfrequenz in $rad/s$
• $f$ die Frequenz in $\mathrm{Hz}$
• $T$ die Periodendauer in $\mathrm{s}$

Der Name „Kreisfrequenz” wird verständlich, wenn wir uns den Zusammenhang geometrisch vorstellen: Eine vollständige Schwingung ($T$) entspricht einem vollen Umlauf im Kreis, also dem Winkel $2\pi \mathrm{rad}$ (= $360°$). Die Kreisfrequenz gibt an, wie schnell dieser Umlauf erfolgt. Diese Vorstellung wird in Abschnitt 4 (Zeigerdarstellung) zentral.

Für die Netzfrequenz ergibt sich:

$$\omega =2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=\underline{314,2rad/s}$$

2.5 Phasenwinkel

Der Nullphasenwinkel ${\phi }_0$ (initial phase angle) legt fest, bei welchem Wert die Sinusfunktion zum Zeitpunkt $t=0$ beginnt. Für ${\phi }_0=0$ startet die Spannung bei null und steigt zunächst an; für ${\phi }_0=\pi /2$ beginnt sie bei ihrem Scheitelwert.

(Quelle: Wikimedia Commons, Autor: Saure, Lizenz: Public Domain)

Besonders wichtig wird der Phasenwinkel, wenn wir zwei Wechselgrößen miteinander vergleichen. Betrachten wir eine Spannung und einen Strom im selben Stromkreis:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_u)$$ $$i(t)=\hat{ı}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_i)$$

Die Phasenverschiebung $\phi$ zwischen Spannung und Strom ist definiert als:

$$\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$$

Dabei ist:

• $\phi >0$: Die Spannung eilt dem Strom voraus (Spannung erreicht ihr Maximum früher)
• $\phi <0$: Die Spannung eilt dem Strom nach (der Strom erreicht sein Maximum früher)
• $\phi =0$: Spannung und Strom sind in Phase (sie erreichen ihr Maximum gleichzeitig)

Phasenverschiebung ist nicht mit dem Nullphasenwinkel zu verwechseln

Der Nullphasenwinkel ${\phi }_0$ einer einzelnen Größe hängt von der Wahl des Zeitnullpunkts ab und ist daher willkürlich. Die Phasenverschiebung $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$ zwischen zwei Größen desselben Kreises ist dagegen eine physikalisch bedeutsame Eigenschaft der Schaltung – sie ist unabhängig von der Wahl des Zeitnullpunkts. In ET2-04 werden wir sehen, dass die Phasenverschiebung davon abhängt, welche Bauelemente (Widerstand, Kondensator, Spule) im Stromkreis vorhanden sind.

An einem rein ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase ($\phi =0$), wie wir es aus der Gleichstromtechnik kennen. An einem Kondensator oder einer Spule treten dagegen Phasenverschiebungen von $\pm 90°$ auf – ein Phänomen, das in der Gleichstromtechnik kein Gegenstück hat und das die Wechselstromtechnik grundlegend von der Gleichstromtechnik unterscheidet.

3 Kenngrößen sinusförmiger Wechselgrößen

Die Zeitfunktion $u(t)$ enthält zwar die vollständige Information über den Spannungsverlauf, doch für viele praktische Fragestellungen benötigen wir kompaktere Kenngrößen. Welche Heizleistung liefert eine Wechselspannung an einem Widerstand? Welchen Wert zeigt ein Drehspulmessgerät an? Diese Fragen führen auf den Effektivwert und den Gleichrichtwert.

3.1 Effektivwert

Der Effektivwert (root mean square value, RMS) ist die wichtigste Kenngröße einer Wechselgröße. Er gibt an, welche Gleichspannung $U$ an einem Widerstand $R$ dieselbe mittlere Leistung erzeugen würde wie die betrachtete Wechselspannung $u(t)$.

Die Idee ist folgende: An einem Widerstand $R$ beträgt die momentane Leistung:

$$p(t)=\frac{u^2(t)}{R}$$

Um die über eine Periode gemittelte Leistung zu erhalten, bilden wir den zeitlichen Mittelwert:

$$\overline{P}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{u^2(t)}{R}\mathrm{d}t=\frac{1}{R}\cdot \frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t$$

Ein Gleichspannungswert $U$, der dieselbe mittlere Leistung erzeugt, muss die Bedingung $\overline{P}=U^2/R$ erfüllen. Gleichsetzen liefert:

$$U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t}$$

Dies ist die allgemeine Definition des Effektivwertes: Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats – daher die englische Bezeichnung root mean square (RMS).

Herleitung des Effektivwertes für sinusförmige Spannung

Wir setzen $u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$ ein (ohne Einschränkung der Allgemeinheit mit ${\phi }_0=0$):

$$U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{\hat{u}}^2{\sin }^2(\omega t)\mathrm{d}t}$$

Die Amplitude $\hat{u}$ ist konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

$$U=\hat{u}\cdot \sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2(\omega t)\mathrm{d}t}$$

Nun nutzen wir die trigonometrische Identität ${\sin }^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos (2x))$:

$$U=\hat{u}\cdot \sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}\left(1-\cos (2\omega t)\right)\mathrm{d}t}$$

Das Integral zerfällt in zwei Teile:

$$\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}\cos (2\omega t)\mathrm{d}t=0$$

Der zweite Term verschwindet, weil das Integral über eine volle Periode einer Kosinusfunktion null ergibt. Damit folgt:

$$U=\hat{u}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}$$

Für eine sinusförmige Wechselspannung ergibt die Auswertung des Integrals (siehe eingeklappte Herleitung):

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}\approx 0,707\cdot \hat{u}$$

Dabei ist:

• $U$ der Effektivwert der Spannung in $\mathrm{V}$
• $\hat{u}$ die Amplitude (Scheitelwert) in $\mathrm{V}$

Umgekehrt gilt:

$$\hat{u}=\sqrt{2}\cdot U\approx 1,414\cdot U$$

Der Faktor \frac{1}{\sqrt{2}} gilt nur für Sinusgrößen

Der Zusammenhang $U=\hat{u}/\sqrt{2}$ gilt ausschließlich für rein sinusförmige Wechselgrößen. Für andere Kurvenformen (Dreieck, Rechteck, verzerrte Signale) ergeben sich andere Verhältnisse zwischen Amplitude und Effektivwert. Die allgemeine Definition über das Integral bleibt aber stets gültig.

Für den Strom gilt analog:

$$I=\frac{\hat{ı}}{\sqrt{2}}$$

Netzspannung

Die in Europa übliche Netzspannung wird mit $U=230\mathrm{V}$ angegeben. Dabei handelt es sich um den Effektivwert. Die Amplitude der Netzspannung ist also deutlich höher:

$$\hat{u}=\sqrt{2}\cdot 230\mathrm{V}=\underline{325\mathrm{V}}$$

Zwischen den Leitungsspitzen liegt also ein Spitze-Spitze-Wert von $u_{SS}=2\cdot 325\mathrm{V}=650\mathrm{V}$. Diese Information ist für die Dimensionierung von Bauteilen (z. B. die Spannungsfestigkeit von Kondensatoren) von unmittelbarer praktischer Bedeutung.

3.1.1 Rechenbeispiel

Eine sinusförmige Wechselspannung hat die Amplitude $\hat{u}=100\mathrm{V}$ und die Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$.

Gegeben: $\hat{u}=100\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$

Gesucht: Effektivwert $U$, Kreisfrequenz $\omega$, Periodendauer $T$

Lösung:

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}=\frac{100\mathrm{V}}{\sqrt{2}}=\underline{70,7\mathrm{V}}$$ $$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}=\underline{314,2rad/s}$$ $$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50\mathrm{Hz}}=\underline{20\mathrm{ms}}$$

Der Effektivwert von $70,7\mathrm{V}$ beträgt also rund $71\%$ der Amplitude – genau der Faktor $1/\sqrt{2}$. Die Periodendauer von $20\mathrm{ms}$ entspricht der Netzfrequenz; die Kreisfrequenz $\omega \approx 314rad/s$ taucht im Argument der Sinusfunktion auf. Die vollständige Zeitfunktion lautet damit:

$$u(t)=100\mathrm{V}\cdot \sin (314,2rad/s\cdot t)$$

An einem Widerstand von $R=100\mathrm{\Omega }$ erzeugt diese Wechselspannung dieselbe mittlere Leistung wie eine Gleichspannung von $70,7\mathrm{V}$:

$$\overline{P}=\frac{U^2}{R}=\frac{(70,7\mathrm{V}{)}^2}{100\mathrm{\Omega }}=\underline{50\mathrm{W}}$$

3.2 Gleichrichtwert

Der Gleichrichtwert $\overline{|u|}$ (average rectified value) ist der arithmetische Mittelwert des Betrags der Wechselgröße über eine volle Periode:

$$\overline{|u|}=\frac{1}{T}{\int }_0^T|u(t)|\mathrm{d}t$$

Bei einer Sinusschwingung wechselt der Betrag $|u(t)|$ nicht das Vorzeichen – graphisch entspricht das einer Gleichrichtung, bei der die negativen Halbwellen „nach oben geklappt” werden. Für eine sinusförmige Spannung ergibt die Integration:

$$\overline{|u|}=\frac{2}{\pi }\cdot \hat{u}\approx 0,637\cdot \hat{u}$$

Herleitung des Gleichrichtwerts

Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion genügt die Integration über eine Halbwelle, multipliziert mit 2:

$$\overline{|u|}=\frac{1}{T}{\int }_0^T|\hat{u}\sin (\omega t)|\mathrm{d}t=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}\hat{u}\sin (\omega t)\mathrm{d}t$$ $$=\frac{2\hat{u}}{T}{\left[-\frac{1}{\omega }\cos (\omega t)\right]}_0^{T/2}=\frac{2\hat{u}}{T}\cdot \frac{1}{\omega }\left[-\cos (\pi )+\cos (0)\right]$$

Mit $\cos (\pi )=-1$ und $\cos (0)=1$ sowie $\omega =2\pi /T$:

$$=\frac{2\hat{u}}{T}\cdot \frac{T}{2\pi }\cdot 2=\frac{2\hat{u}}{\pi }$$

Der Gleichrichtwert hat praktische Bedeutung in der Messtechnik: Einfache Drehspulmessgeräte mit vorgeschaltetem Gleichrichter messen physikalisch den Gleichrichtwert, zeigen aber – unter Annahme einer sinusförmigen Kurvenform – den Effektivwert an. Diese Umrechnung funktioniert nur dann korrekt, wenn das Signal tatsächlich sinusförmig ist.

3.3 Scheitelfaktor und Formfaktor

Aus den drei Kenngrößen Amplitude $\hat{u}$, Effektivwert $U$ und Gleichrichtwert $\overline{|u|}$ lassen sich zwei dimensionslose Verhältniszahlen bilden, die die Kurvenform einer Wechselgröße charakterisieren:

Der Scheitelfaktor (crest factor) ist das Verhältnis von Amplitude zu Effektivwert:

$$k_S=\frac{\hat{u}}{U}$$

Für Sinusgrößen:

$$k_S=\frac{\hat{u}}{\hat{u}/\sqrt{2}}=\underline{\sqrt{2}\approx 1,414}$$

Der Formfaktor (form factor) ist das Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert:

$$k_F=\frac{U}{\overline{|u|}}$$

Für Sinusgrößen:

$$k_F=\frac{\hat{u}/\sqrt{2}}{2\hat{u}/\pi }=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}=\underline{\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\approx 1,111}$$

Bedeutung von Scheitel- und Formfaktor

Der Scheitelfaktor gibt an, um wie viel der Spitzenwert über dem Effektivwert liegt. Er ist wichtig für die Dimensionierung von Bauteilen, die den Spitzenwert aushalten müssen (z. B. Isolationsfestigkeit, Durchbruchspannung von Halbleitern).

Der Formfaktor beschreibt das Verhältnis zwischen „wirksamer” Größe (Effektivwert) und „mittlerer” Größe (Gleichrichtwert). Bei nicht-sinusförmigen Signalen weicht er von $1,111$ ab – dieser Umstand führt zu Messfehlern bei Drehspulmessgeräten mit Gleichrichter, wenn das Messsignal keine reine Sinusform hat.

Die folgende Tabelle fasst die Kenngrößen für sinusförmige Wechselgrößen zusammen:

Kenngröße	Formel (Sinus)	Zahlenwert
Amplitude $\hat{u}$	$\hat{u}$	$\hat{u}$
Effektivwert $U$	$\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}$	$\approx 0,707\cdot \hat{u}$
Gleichrichtwert $\overline{	u	}$
Scheitelfaktor $k_S$	$\sqrt{2}$	$\approx 1,414$
Formfaktor $k_F$	$\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$	$\approx 1,111$

Mit Amplitude, Effektivwert, Gleichrichtwert und den daraus abgeleiteten Formfaktoren haben wir das rechnerische Handwerkszeug für sinusförmige Wechselgrößen beisammen. Im nächsten Schritt wechseln wir die Perspektive und betrachten Wechselgrößen nicht mehr als Zeitfunktionen, sondern als rotierende Zeiger in der Ebene – eine Darstellungsform, die insbesondere das Zusammenwirken mehrerer phasenverschobener Größen anschaulich macht.

4 Zeigerdarstellung

4.1 Vom Zeitverlauf zum rotierenden Zeiger

Die Sinusfunktion hat eine enge Verbindung zur Kreisbewegung. Betrachten wir einen Punkt, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einem Kreis mit Radius $\hat{u}$ bewegt. Die Projektion dieses Punktes auf die vertikale Achse liefert genau den Wert $\hat{u}\cdot \sin (\omega t+{\phi }_0)$ – also den Momentanwert unserer Wechselspannung.

(Quelle: Wikimedia Commons, Autor: jjbeard, Lizenz: Public Domain)

Diese Beobachtung führt zur Zeigerdarstellung: Wir stellen eine sinusförmige Wechselgröße als einen rotierenden Zeiger (phasor) in der Ebene dar. Der Zeiger hat die Länge $\hat{u}$ (die Amplitude) und dreht sich mit der Kreisfrequenz $\omega$ gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positive Drehrichtung). Sein Winkel zur horizontalen Achse zum Zeitpunkt $t$ beträgt $\omega t+{\phi }_0$.

Die Vorteile dieser Darstellung sind beträchtlich:

• Zwei Informationen auf einen Blick: Der Zeiger codiert gleichzeitig die Amplitude (Zeigerlänge) und den Phasenwinkel (Zeigerrichtung).
• Phasenverschiebungen werden sichtbar: Zwei Zeiger, die dieselbe Frequenz haben, aber unterschiedliche Phasenwinkel, stehen in einem festen Winkel zueinander. Der Winkel zwischen ihnen ist direkt die Phasenverschiebung $\phi$.
• Addition wird geometrisch: Die Summe zweier sinusförmiger Größen gleicher Frequenz lässt sich als vektorielle Addition ihrer Zeiger darstellen, anstatt trigonometrische Additionstheoreme anwenden zu müssen.

4.2 Das Zeigerdiagramm

Im Zeigerdiagramm werden alle Wechselgrößen eines Stromkreises als Zeiger dargestellt. Da alle Größen in einem linearen Netzwerk dieselbe Frequenz $\omega$ haben, drehen sich alle Zeiger mit derselben Winkelgeschwindigkeit. Ihre relative Lage zueinander bleibt daher konstant – es genügt, ein „Schnappschuss” zu einem festen Zeitpunkt (meist $t=0$) zu zeichnen.

Konvention im Zeigerdiagramm

In der Praxis wird das Zeigerdiagramm für den Zeitpunkt $t=0$ gezeichnet. Die Zeiger stehen dann unter den Winkeln ${\phi }_u$ bzw. ${\phi }_i$ zur horizontalen Achse. Die horizontale Achse zeigt nach rechts und entspricht der Bezugsrichtung. Häufig wird der Spannungszeiger als Bezugszeiger gewählt und horizontal gelegt – dann gibt der Winkel des Stromzeigers direkt die Phasenverschiebung $\phi$ an.

Betrachten wir als Beispiel eine Spannung $u(t)=\hat{u}\sin (\omega t)$ und einen Strom $i(t)=\hat{ı}\sin (\omega t-\phi )$ mit einer Phasenverschiebung $\phi >0$: Der Strom eilt der Spannung nach. Im Zeigerdiagramm liegt der Spannungszeiger auf der horizontalen Achse, der Stromzeiger steht um den Winkel $\phi$ im Uhrzeigersinn zurückgedreht.

Reflexionsfrage

An einem rein ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase ($\phi =0$). Wie sieht das Zeigerdiagramm für diesen Fall aus?

Antwort
Beide Zeiger – der Spannungszeiger und der Stromzeiger – liegen auf derselben Linie und zeigen in dieselbe Richtung. Die Zeiger haben im Allgemeinen unterschiedliche Längen, denn die Amplitude der Spannung \hat{u} und die Amplitude des Stroms \hat{\imath} sind durch \hat{u} = R \cdot \hat{\imath} verknüpft und haben unterschiedliche Einheiten.

4.3 Addition im Zeigerdiagramm

Ein wesentlicher Vorteil der Zeigerdarstellung zeigt sich bei der Addition sinusförmiger Größen gleicher Frequenz. Liegt beispielsweise eine Reihenschaltung vor, so muss nach der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe aller Teilspannungen die Gesamtspannung ergeben. In der Zeitdarstellung wäre dazu ein trigonometrisches Additionstheorem erforderlich:

$$u_1(t)+u_2(t)={\hat{u}}_1\sin (\omega t+{\phi }_1)+{\hat{u}}_2\sin (\omega t+{\phi }_2)={\hat{u}}_{ges}\sin (\omega t+{\phi }_{ges})$$

Die Bestimmung von ${\hat{u}}_{ges}$ und ${\phi }_{ges}$ aus dieser Gleichung ist algebraisch aufwendig. Im Zeigerdiagramm dagegen wird die Addition zur einfachen vektoriellen Addition: Man legt die Zeiger „Spitze an Schaft” aneinander – der resultierende Zeiger von Ursprung zur letzten Spitze ist der Summenzeiger. Seine Länge ist die Gesamtamplitude, sein Winkel der resultierende Phasenwinkel.

Zeigeraddition ist keine skalare Addition

Die Amplituden zweier Wechselspannungen gleicher Frequenz dürfen nicht einfach addiert werden, wenn die Spannungen phasenverschoben sind. Die Gesamtamplitude hängt von der Phasenverschiebung ab: Bei $\phi =0°$ (gleichphasig) ist ${\hat{u}}_{ges}={\hat{u}}_1+{\hat{u}}_2$, bei $\phi =180°$ (gegenphasig) ist ${\hat{u}}_{ges}=|{\hat{u}}_1-{\hat{u}}_2|$, und bei beliebigem $\phi$ ergibt sich ein Wert dazwischen. Nur die Zeigeraddition (oder die komplexe Rechnung) liefert das korrekte Ergebnis.

5 Ausblick – Warum komplexe Zahlen?

Die Zeigerdarstellung löst das Problem der Phasenverschiebung anschaulich – aber sie hat eine praktische Einschränkung: Zeichnerische Zeigerkonstruktionen werden bei mehr als zwei oder drei Größen schnell unübersichtlich, und sie liefern nur graphische Näherungen, keine exakten Rechenwerte.

Hier kommen die komplexen Zahlen ins Spiel. Ein Zeiger in der Ebene lässt sich mathematisch exakt als komplexe Zahl beschreiben: Die Länge des Zeigers entspricht dem Betrag der komplexen Zahl, der Winkel ihrem Argument (Phase). Die Eulersche Formel stellt den Zusammenhang her:

$$e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$$

Damit lässt sich eine sinusförmige Spannung mit Amplitude $\hat{u}$ und Phasenwinkel ${\phi }_u$ als komplexe Zahl schreiben:

$$\underline{\hat{u}}=\hat{u}\cdot e^{j{\phi }_u}$$

Die entscheidenden Vorteile der komplexen Darstellung gegenüber der rein graphischen Zeigerdarstellung sind:

1. Exakte Rechnung statt graphischer Näherung: Amplituden und Phasen werden als Zahlen berechnet, nicht abgelesen.
2. Algebraische Einfachheit: Die Addition von Zeigern wird zur Addition komplexer Zahlen. Die Multiplikation von Zeigern (wichtig für Impedanzen) wird zur Multiplikation komplexer Zahlen – Beträge multiplizieren, Winkel addieren.
3. Kirchhoff weiterhin gültig: Die Kirchhoffschen Regeln gelten in komplexer Schreibweise unverändert: $\sum {\underline{U}}_k=0$ (Maschenregel), $\sum {\underline{I}}_k=0$ (Knotenregel). Damit können alle aus ET1 bekannten Netzwerkverfahren direkt auf Wechselstromschaltungen übertragen werden.
4. Ohmsches Gesetz in komplexer Form: Der Zusammenhang $U=R\cdot I$ wird zu $\underline{U}=\underline{Z}\cdot \underline{I}$, wobei die komplexe Impedanz $\underline{Z}$ sowohl den Betrag des Widerstands als auch die von ihm verursachte Phasenverschiebung enthält.

Ausblick auf ET2-03 und ET2-04

In ET2-03 werden wir die komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln im Detail einführen. In ET2-04 lernen wir dann die komplexen Impedanzen der drei Grundbauelemente kennen: ${\underline{Z}}_R=R$, ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}$ und ${\underline{Z}}_L=j\omega L$. Mit diesen Werkzeugen lassen sich Wechselstromschaltungen genauso systematisch berechnen wie Gleichstromschaltungen in ET1.

[!question] Reflexionsfrage

Zwei sinusförmige Spannungen gleicher Frequenz und Amplitude ${\hat{u}}_1={\hat{u}}_2=100\mathrm{V}$ werden addiert. Im ersten Fall sind sie gleichphasig ($\phi =0°$), im zweiten Fall um $90°$ phasenverschoben. Wie groß ist die Gesamtamplitude jeweils?

Antwort
Fall 1 (\varphi = 0°): Die Zeiger zeigen in dieselbe Richtung, also \hat{u}_{ges} = 100\,\mathrm{V} + 100\,\mathrm{V} = 200\,\mathrm{V}.

Fall 2 ($\phi =90°$): Die Zeiger stehen senkrecht aufeinander, also ${\hat{u}}_{ges}=\sqrt{100^2+100^2}\mathrm{V}=100\sqrt{2}\mathrm{V}\approx 141\mathrm{V}$.

Die Gesamtamplitude hängt also entscheidend von der Phasenlage ab – eine einfache skalare Addition der Amplituden wäre nur im Fall 1 korrekt.

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Übungen zu dieser Lektion

Übung ET2-02.01 – …

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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