ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02, work-in-progress)

Überblick über diese Lektion

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Worum geht es in dieser Lektion? – Die Leitfragen:

• Was passiert mit der Leistung, wenn Spannung und Strom nicht mehr gleichphasig sind?
• Warum liefern Kondensatoren und Spulen im Mittel keine Leistung an den Verbraucher?
• Wie hängen Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung zusammen?
• Warum ist die Blindleistungskompensation für die Energieversorgung so wichtig?

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Was können Sie am Ende dieser Lektion? – Die angestrebten Lernergebnisse:

• Sie berechnen die Momentanleistung und die mittlere Leistung in Wechselstromkreisen.
• Sie unterscheiden Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung und ordnen diese den Bauelementen R, L und C zu.
• Sie bestimmen die komplexe Scheinleistung aus den komplexen Effektivwerten von Spannung und Strom.
• Sie ermitteln den Leistungsfaktor und dimensionieren einen Kompensationskondensator.

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Was kennen Sie am Ende dieser Lektion? – Die Wissensbausteine:

• Momentanleistung und mittlere Leistung
• Leistung an R, L und C
• Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung
• Komplexe Scheinleistung und Leistungsdreieck
• Leistungsfaktor und Blindleistungskompensation

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Wie sind die Inhalte gegliedert? – Der Aufbau:
1 Momentanleistung
2 Mittlere Leistung
3 Leistung an den Grundbauelementen
4 Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung
5 Komplexe Scheinleistung
6 Leistungsfaktor
7 Blindleistungskompensation

[!todo]- Rückblick auf die vorherige Lektion

In ET2-05 haben wir gelernt, wie man mit komplexen Impedanzen Wechselstromschaltungen berechnet:

• Reihen- und Parallelschaltung von Impedanzen
• Komplexer Spannungsteiler und Stromteiler
• RC-Tiefpass und RC-Hochpass: Frequenzgang-Herleitung
• Amplitudengang $|F(\omega )|$ und Phasengang $\phi (\omega )$
• RLC-Reihenschwingkreis und Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
• Verstärkung und Dämpfung in Dezibel (dB)

Mit dem Handwerkszeug der Schaltungsberechnung wenden wir uns nun der Frage zu, wie viel Leistung in Wechselstromkreisen tatsächlich umgesetzt wird.

1 Momentanleistung

In der Gleichstromtechnik war die Berechnung der Leistung unkompliziert: Spannung und Strom sind zeitlich konstant, und die Leistung ergibt sich einfach als Produkt $P=U\cdot I$. In der Wechselstromtechnik sind Spannung und Strom jedoch sinusförmige Funktionen der Zeit, und sie können zueinander phasenverschoben sein. Dadurch wird die Leistungsbetrachtung grundlegend anders – und deutlich interessanter.

Wir beginnen mit der Momentanleistung (instantaneous power), also der Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$. Die Momentanleistung ist definiert als das Produkt der Augenblickswerte von Spannung und Strom:

$$p(t)=u(t)\cdot i(t)$$

Dabei ist:

• $p(t)$ die Momentanleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $u(t)$ der Momentanwert der Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $i(t)$ der Momentanwert der Stromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Für sinusförmige Größen mit einer Phasenverschiebung $\phi$ zwischen Spannung und Strom setzen wir an:

$$u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$$ $$i(t)=\hat{ı}\cdot \sin (\omega t-\phi )$$

Dabei ist $\phi$ der Phasenwinkel, um den der Strom der Spannung nacheilt (bei induktiver Last, $\phi >0$) oder voreilt (bei kapazitiver Last, $\phi <0$). Wir folgen hier der in der Energietechnik üblichen Konvention, die Spannung als Bezugsgröße zu wählen und den Phasenwinkel am Strom abzutragen.

Die Momentanleistung ergibt sich durch Einsetzen:

$$p(t)=\hat{u}\cdot \hat{ı}\cdot \sin (\omega t)\cdot \sin (\omega t-\phi )$$

Trigonometrische Umformung

Mit der trigonometrischen Identität (Produktformel)

$$\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )=\frac{1}{2}\left[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right]$$

setzen wir $\alpha =\omega t$ und $\beta =\omega t-\phi$ ein:

$$\alpha -\beta =\omega t-(\omega t-\phi )=\phi$$ $$\alpha +\beta =\omega t+(\omega t-\phi )=2\omega t-\phi$$

Damit wird:

$$p(t)=\frac{\hat{u}\cdot \hat{ı}}{2}\left[\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi )\right]$$

Nach Anwendung der trigonometrischen Produktformel erhalten wir die Momentanleistung in einer Form, die ihre physikalische Bedeutung besser erkennen lässt:

$$\boxed{p(t)=\frac{\hat{u}\cdot \hat{ı}}{2}\left[\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi )\right]}$$

Dabei ist:

• $\hat{u}$ die Spannungsamplitude in Volt ($\mathrm{V}$)
• $\hat{ı}$ die Stromamplitude in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\phi$ der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom
• $\omega$ die Kreisfrequenz in $rad/s$

Diese Darstellung offenbart zwei wesentliche Eigenschaften der Momentanleistung:

1. Ein konstanter Anteil $\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\cos \phi$, der nicht von der Zeit abhängt. Er ist umso größer, je kleiner der Phasenwinkel $\phi$ ist. Für $\phi =0$ (rein ohmscher Verbraucher) wird er maximal, für $\phi =\pm 90°$ (rein reaktiver Verbraucher) wird er null.
2. Ein Wechselanteil $-\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\cos (2\omega t-\phi )$, der mit der doppelten Frequenz $2\omega$ schwingt. Dieser Anteil pendelt symmetrisch um den konstanten Anteil.

Doppelte Frequenz der Leistung

Die Momentanleistung schwingt mit der doppelten Frequenz der Spannung und des Stroms. Bei einer Netzfrequenz von $50\mathrm{Hz}$ pulsiert die Leistung also mit $100\mathrm{Hz}$.

Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

2 Mittlere Leistung

Die Momentanleistung schwankt fortwährend – für die technische Praxis interessiert uns jedoch vor allem der zeitliche Mittelwert der Leistung über eine volle Periode $T$. Diesen Mittelwert nennen wir die mittlere Leistung (average power) und berechnen ihn durch Integration der Momentanleistung über eine Periode:

$$P=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t$$

Dabei ist:

• $P$ die mittlere Leistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $T$ die Periodendauer in Sekunden ($\mathrm{s}$)
• $p(t)$ die Momentanleistung in Watt ($\mathrm{W}$)

Setzen wir unseren Ausdruck für $p(t)$ ein:

$$P=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi )\right]\mathrm{d}t$$

Auswertung des Integrals

Das Integral lässt sich in zwei Summanden zerlegen:

$$P=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2T}\underset{=T\cdot \cos \phi }{\underbrace{{\int }_0^T\cos \phi \mathrm{d}t}}-\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2T}\underset{=0}{\underbrace{{\int }_0^T\cos (2\omega t-\phi )\mathrm{d}t}}$$

Der erste Summand ist eine Konstante, die über die Periode $T$ integriert einfach $T\cdot \cos \phi$ ergibt.
Der zweite Summand ist das Integral einer Kosinusfunktion über genau eine Periode (die Kosinusfunktion hat die Frequenz $2\omega =2\cdot \frac{2\pi }{T}$, also die Periodendauer $T/2$). Das Integral über eine ganzzahlige Anzahl von Perioden ergibt null.

Der Wechselanteil liefert über eine volle Periode gemittelt keinen Beitrag – er pendelt gleich viel in den positiven wie in den negativen Bereich. Übrig bleibt nur der konstante Anteil. Mit $\hat{u}=\sqrt{2}U$ und $\hat{ı}=\sqrt{2}I$ (wobei $U$ und $I$ die Effektivwerte sind) erhalten wir:

$$P=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\cos \phi =\frac{\sqrt{2}U\cdot \sqrt{2}I}{2}\cos \phi$$ $$\boxed{P=U\cdot I\cdot \cos \phi }$$

Dabei ist:

• $P$ die mittlere Leistung (Wirkleistung) in Watt ($\mathrm{W}$)
• $U$ der Effektivwert der Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $I$ der Effektivwert des Stroms in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\cos \phi$ der Leistungsfaktor (dimensionslos)

Zentrale Aussage

Die mittlere Leistung im Wechselstromkreis hängt nicht nur von den Effektivwerten von Spannung und Strom ab, sondern auch vom Phasenwinkel $\phi$ zwischen beiden. Je größer die Phasenverschiebung, desto kleiner die tatsächlich nutzbare Leistung – obwohl Spannung und Strom gleich groß bleiben.

3 Leistung an den Grundbauelementen

Wie verhalten sich die drei Grundbauelemente R, L und C hinsichtlich der Leistung? Die Antwort ergibt sich unmittelbar aus den jeweiligen Phasenbeziehungen, die wir in ET2-04 kennengelernt haben.

3.1 Leistung am ohmschen Widerstand

Am ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase: $\phi =0$. Damit wird:

$$p_R(t)=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[\cos 0°-\cos (2\omega t-0°)\right]=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[1-\cos (2\omega t)\right]$$

Die Momentanleistung am Widerstand ist stets positiv oder null – sie wird nie negativ. Das bedeutet: Der Widerstand nimmt zu jedem Zeitpunkt Energie aus dem Netz auf und wandelt sie irreversibel in Wärme um. Er gibt niemals Energie an das Netz zurück.

Die mittlere Leistung beträgt:

$$P_R=U\cdot I\cdot \cos 0°=U\cdot I$$

Mit $U=R\cdot I$ lässt sich die Wirkleistung am Widerstand auch schreiben als:

$$\underline{P_R=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R}$$

Das ist dieselbe Formel wie in der Gleichstromtechnik – wenig überraschend, denn der Widerstand ist das einzige Grundbauelement, das tatsächlich Energie verbraucht. Sein Verhalten ist rein resistiv.

3.2 Leistung an der idealen Spule

An der idealen Spule eilt der Strom der Spannung um $90°$ nach: $\phi =+90°$. Damit wird:

$$p_L(t)=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[\cos 90°-\cos (2\omega t-90°)\right]=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[0-\cos (2\omega t-90°)\right]$$ $$p_L(t)=-\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\cos (2\omega t-90°)=-\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\sin (2\omega t)$$

Die Momentanleistung der Spule ist eine reine Wechselgröße, die symmetrisch um null pendelt. In der einen Halbperiode nimmt die Spule Energie auf und speichert sie im magnetischen Feld; in der nächsten Halbperiode gibt sie diese Energie vollständig an das Netz zurück.

Die mittlere Leistung beträgt:

$$\underline{P_L=U\cdot I\cdot \cos 90°=0}$$

Energie wird „geborgt", nicht verbraucht

Die ideale Spule verbraucht keine Energie. Sie tauscht mit dem Netz lediglich Energie hin und her – ein ständiges Aufladen und Entladen des magnetischen Feldes. Diese zwischen Quelle und Spule pendelnde Leistung nennen wir Blindleistung.

3.3 Leistung am idealen Kondensator

Am idealen Kondensator eilt der Strom der Spannung um $90°$ vor: $\phi =-90°$. Damit wird:

$$p_C(t)=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\left[\cos (-90°)-\cos (2\omega t+90°)\right]=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\sin (2\omega t)$$

Auch hier pendelt die Momentanleistung symmetrisch um null, allerdings gegenphasig zur Spule. Der Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld und gibt sie wieder ab – genau wie die Spule verbraucht er im Mittel keine Energie.

Die mittlere Leistung beträgt:

$$\underline{P_C=U\cdot I\cdot \cos (-90°)=0}$$

Häufiger Denkfehler

„Wenn die mittlere Leistung an L und C null ist, fließt doch gar kein Strom?” – Doch, es fließt sehr wohl Strom! Und dieser Strom belastet Leitungen, Transformatoren und Generatoren, obwohl er keine nutzbare Leistung liefert. Das ist genau das Problem der Blindleistung, auf das wir in den folgenden Abschnitten eingehen.

[!question] Reflexionsfrage

Ein Verbraucher wird an $230\mathrm{V}$ betrieben und es fließt ein Strom von $10\mathrm{A}$. Trotzdem zeigt ein Leistungsmesser nur $1,15\mathrm{kW}$ an statt $2,3\mathrm{kW}$. Wie ist das möglich?

Antwort
Der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom beträgt \varphi = 60°, denn P = U \cdot I \cdot \cos\varphi = 230\,\mathrm{V} \cdot 10\,\mathrm{A} \cdot \cos 60° = 2300\,\mathrm{W} \cdot 0{,}5 = 1150\,\mathrm{W} = 1{,}15\,\mathrm{kW}. Nur die Hälfte der „anscheinenden" Leistung wird tatsächlich in nutzbare Leistung umgesetzt.

4 Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung

Die Betrachtung der Leistung an den Grundbauelementen hat gezeigt, dass in Wechselstromkreisen zwei grundverschiedene Arten des Energietransfers auftreten: irreversible Umwandlung in Wärme (am Widerstand) und reversibler Austausch von Feldenergie (an Spule und Kondensator). Um diese Leistungsarten sauber zu trennen und mit ihnen rechnen zu können, führen wir drei Leistungsgrößen ein.

4.1 Wirkleistung

Die Wirkleistung (active power) $P$ ist der zeitliche Mittelwert der Momentanleistung. Sie gibt an, welcher Anteil der übertragenen Leistung tatsächlich in eine andere Energieform (Wärme, mechanische Arbeit, Licht) umgewandelt wird:

$$\boxed{P=U\cdot I\cdot \cos \phi }$$

Dabei ist:

• $P$ die Wirkleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $U$ der Effektivwert der Spannung in Volt ($\mathrm{V}$)
• $I$ der Effektivwert des Stroms in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $\cos \phi$ der Leistungsfaktor (dimensionslos)

Die Wirkleistung ist die Leistung, die auf dem Stromzähler des Energieversorgers erfasst wird und für die der Haushaltskunde bezahlt. Sie ist stets positiv oder null.

4.2 Blindleistung

Die Blindleistung (reactive power) $Q$ beschreibt die Leistung, die zwischen Quelle und reaktivem Verbraucher (Spule oder Kondensator) hin- und herpendelt, ohne im Mittel Energie zu übertragen:

$$\boxed{Q=U\cdot I\cdot \sin \phi }$$

Dabei ist:

• $Q$ die Blindleistung in Var ($\mathrm{var}$)
• $\sin \phi$ der „Blindfaktor” (dimensionslos)

Einheit der Blindleistung

Obwohl die Blindleistung physikalisch dieselbe Dimension wie die Wirkleistung hat ($\mathrm{V}\cdot \mathrm{A}$), wird ihr die eigene Einheit Var ($\mathrm{var}$, von „Volt-Ampere reaktiv”) zugeordnet. Damit wird in der Praxis auf den ersten Blick erkennbar, ob ein Leistungswert Wirk- oder Blindleistung darstellt.

Die Blindleistung kann positiv oder negativ sein:

• $Q>0$: induktive Blindleistung (Strom eilt Spannung nach, $\phi >0$)
• $Q<0$: kapazitive Blindleistung (Strom eilt Spannung vor, $\phi <0$)

4.3 Scheinleistung

Die Scheinleistung (apparent power) $S$ ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom – unabhängig vom Phasenwinkel:

$$\boxed{S=U\cdot I}$$

Dabei ist:

• $S$ die Scheinleistung in Voltampere ($\mathrm{VA}$)

Die Scheinleistung gibt die maximal mögliche Leistungsübertragung an, die bei gegebenen Effektivwerten erreichbar wäre, wenn Spannung und Strom in Phase lägen ($\phi =0$). Sie beschreibt damit die Belastung der Betriebsmittel (Leitungen, Transformatoren, Generatoren) und ist die maßgebliche Größe für deren Dimensionierung.

Praxisbezug

Transformatoren und Generatoren werden in VA bzw. kVA bemessen, nicht in Watt. Ein Transformator mit einer Bemessungsscheinleistung von $S=100\mathrm{kVA}$ kann maximal $100\mathrm{kW}$ Wirkleistung übertragen – und das auch nur, wenn $\cos \phi =1$ ist. Bei $\cos \phi =0,8$ liefert er nur $P=80\mathrm{kW}$ Wirkleistung, obwohl er voll ausgelastet ist.

4.4 Zusammenhang der Leistungsarten

Zwischen den drei Leistungsgrößen besteht der Zusammenhang:

$$\boxed{S=\sqrt{P^2+Q^2}}$$

Dieser Zusammenhang entspricht dem Satz des Pythagoras und lässt sich geometrisch als rechtwinkliges Dreieck darstellen – das Leistungsdreieck:

Quelle: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Im Leistungsdreieck ist:

• $P$ die horizontale Kathete (Wirkleistung)
• $Q$ die vertikale Kathete (Blindleistung)
• $S$ die Hypotenuse (Scheinleistung)
• $\phi$ der Winkel zwischen $S$ und $P$

Das Leistungsdreieck ist maßstäblich zum Impedanzdreieck und zum Spannungsdreieck, die wir aus ET2-04 kennen. Das ist kein Zufall – alle drei Dreiecke werden durch denselben Phasenwinkel $\phi$ bestimmt.

4.4.1 Rechenbeispiel

Ein einphasiger Motor wird am $230\mathrm{V}$-Netz betrieben und nimmt einen Strom von $I=8,5\mathrm{A}$ bei einem Phasenwinkel von $\phi =37°$ auf.

Gegeben: $U=230\mathrm{V}$, $I=8,5\mathrm{A}$, $\phi =37°$

Gesucht: $S$, $P$, $Q$

$$S=U\cdot I=230\mathrm{V}\cdot 8,5\mathrm{A}=\underline{1955\mathrm{VA}\approx 1,96\mathrm{kVA}}$$ $$P=U\cdot I\cdot \cos \phi =1955\mathrm{VA}\cdot \cos 37°=1955\cdot 0,799=\underline{1562\mathrm{W}\approx 1,56\mathrm{kW}}$$ $$Q=U\cdot I\cdot \sin \phi =1955\mathrm{VA}\cdot \sin 37°=1955\cdot 0,602=\underline{1176\mathrm{var}\approx 1,18\mathrm{kvar}}$$

Probe mit dem Satz des Pythagoras:

$$S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{1562^2+1176^2}\mathrm{VA}=\sqrt{2,440\cdot 10^6+1,383\cdot 10^6}\mathrm{VA}\approx 1955\mathrm{VA}✓$$

Der Motor setzt also von den $1,96\mathrm{kVA}$ Scheinleistung nur $1,56\mathrm{kW}$ in mechanische Arbeit und Wärme um. Die verbleibenden $1,18\mathrm{kvar}$ Blindleistung pendeln zwischen Netz und Motor hin und her, ohne nutzbare Arbeit zu verrichten.

5 Komplexe Scheinleistung

In der komplexen Wechselstromrechnung lassen sich Wirk- und Blindleistung elegant in einer einzigen komplexen Größe zusammenfassen. Die komplexe Scheinleistung (complex apparent power) $\underline{S}$ ist definiert als:

$$\boxed{\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }}$$

Dabei ist:

• $\underline{S}$ die komplexe Scheinleistung
• $\underline{U}$ der komplexe Effektivwert der Spannung
• ${\underline{I}}^{\ast }$ der konjugiert komplexe Effektivwert des Stroms

Konjugiert komplex – warum?

Es wird nicht $\underline{U}\cdot \underline{I}$ gerechnet, sondern $\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$ – also mit dem konjugiert Komplexen des Stroms. Ohne die Konjugation würde sich das Vorzeichen des Phasenwinkels im Ergebnis umkehren, und die Zuordnung induktiv/kapazitiv ginge verloren.

5.1 Herleitung

Wir wählen die Spannung als Bezugszeiger, also $\underline{U}=U\cdot e^{j\cdot 0°}=U$ (rein reell). Der Strom hat dann die Phase $-\phi$:

$$\underline{I}=I\cdot e^{-j\phi }$$

Der konjugiert komplexe Strom ist:

$${\underline{I}}^{\ast }=I\cdot e^{+j\phi }$$

Damit wird die komplexe Scheinleistung:

$$\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }=U\cdot I\cdot e^{j\phi }=U\cdot I\cdot (\cos \phi +j\sin \phi )$$ $$\boxed{\underline{S}=P+jQ}$$

Dabei ist:

• $\mathrm{Re}\{\underline{S}\}=P=U\cdot I\cdot \cos \phi$ die Wirkleistung
• $\mathrm{Im}\{\underline{S}\}=Q=U\cdot I\cdot \sin \phi$ die Blindleistung
• $|\underline{S}|=S=U\cdot I$ die Scheinleistung

Die komplexe Scheinleistung vereint also alle drei Leistungsarten in einer kompakten Darstellung. Wirkleistung und Blindleistung lassen sich direkt als Real- und Imaginärteil ablesen. Der Betrag ergibt die Scheinleistung.

Kompakte Leistungsberechnung

In der Praxis ist $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$ oft der schnellste Weg zur Leistungsberechnung: Man multipliziert die ohnehin bekannten komplexen Effektivwerte und liest Real- und Imaginärteil ab – fertig.

5.2 Rechenbeispiel

An einer Impedanz liegt die Spannung $\underline{U}=230\mathrm{V}\cdot e^{j\cdot 0°}$ an, und es fließt der Strom $\underline{I}=5\mathrm{A}\cdot e^{-j\cdot 30°}$.

Gegeben: $\underline{U}=230\mathrm{V}$, $\underline{I}=5\mathrm{A}\cdot e^{-j30°}$

Gesucht: $\underline{S}$, $P$, $Q$, $S$

$${\underline{I}}^{\ast }=5\mathrm{A}\cdot e^{+j30°}$$ $$\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }=230\mathrm{V}\cdot 5\mathrm{A}\cdot e^{j30°}=1150\mathrm{VA}\cdot e^{j30°}$$ $$\underline{S}=1150\mathrm{VA}\cdot (\cos 30°+j\sin 30°)=1150\cdot (0,866+j\cdot 0,5)\mathrm{VA}$$ $$\underline{S}=\underline{(996+j575)\mathrm{VA}}$$

Daraus lesen wir ab:

• Wirkleistung: $\underline{P=996\mathrm{W}\approx 1,0\mathrm{kW}}$
• Blindleistung: $\underline{Q=575\mathrm{var}}$ (induktiv, da $Q>0$)
• Scheinleistung: $\underline{S=|\underline{S}|=1150\mathrm{VA}=1,15\mathrm{kVA}}$

6 Leistungsfaktor

6.1 Definition

Der Leistungsfaktor (power factor) gibt an, welcher Anteil der Scheinleistung als Wirkleistung genutzt wird:

$$\boxed{\cos \phi =\frac{P}{S}}$$

Dabei ist:

• $\cos \phi$ der Leistungsfaktor (dimensionslos, Wertebereich $0\le \cos \phi \le 1$)
• $P$ die Wirkleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $S$ die Scheinleistung in Voltampere ($\mathrm{VA}$)

Für $\cos \phi =1$ sind Spannung und Strom in Phase – die gesamte Scheinleistung wird als Wirkleistung umgesetzt. Für $\cos \phi =0$ ist die Phasenverschiebung $90°$ – es wird nur Blindleistung ausgetauscht, aber keine Wirkleistung übertragen.

Verschiebungsfaktor vs. Leistungsfaktor

Der Verschiebungsfaktor $\cos \phi$ gilt ausschließlich für sinusförmige Größen, während der allgemeine Leistungsfaktor $\lambda =P/S$ auch bei nichtsinusförmigen Strömen anwendbar ist. Für ET2 (rein sinusförmig) sind beide identisch.

6.2 Typische Leistungsfaktoren

Verbraucher	$\cos \phi$ (typisch)	Art
Glühlampe	$1,0$	rein ohmsch
Elektroheizung	$\approx 1,0$	rein ohmsch
Einphasiger Motor (Leerlauf)	$0,2\dots 0,4$	induktiv
Einphasiger Motor (Volllast)	$0,7\dots 0,85$	induktiv
Leuchtstofflampe (ohne Kompensation)	$0,4\dots 0,6$	induktiv
Kompensierte Industrieanlage	$>0,9$	—

Bedeutung für die Praxis

Ein niedriger Leistungsfaktor bedeutet, dass für die gleiche Wirkleistung ein höherer Strom fließen muss. Dieser höhere Strom verursacht in den Leitungen Verluste ($P_V=I^2\cdot R_L$), die mit dem Quadrat des Stroms wachsen. Außerdem müssen Leitungen, Transformatoren und Generatoren für den höheren Strom dimensioniert werden. Ein schlechter Leistungsfaktor kostet daher den Energieversorger Geld – und ab einem bestimmten Grenzwert stellt er dem Industriekunden die Blindleistung in Rechnung.

6.2.1 Rechenbeispiel

Ein Industriebetrieb bezieht eine Wirkleistung von $P=50\mathrm{kW}$ bei einem Leistungsfaktor von $\cos {\phi }_1=0,7$ aus dem $400\mathrm{V}$-Netz (einphasig betrachtet).

Gegeben: $P=50\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_1=0,7$, $U=400\mathrm{V}$

Gesucht: $S$, $Q$, $I$

$$S=\frac{P}{\cos {\phi }_1}=\frac{50\mathrm{kW}}{0,7}=\underline{71,4\mathrm{kVA}}$$ $$Q=\sqrt{S^2-P^2}=\sqrt{71,4^2-50^2}\mathrm{kvar}=\underline{51,0\mathrm{kvar}}$$ $$I=\frac{S}{U}=\frac{71400\mathrm{VA}}{400\mathrm{V}}=\underline{178,6\mathrm{A}}$$

Zum Vergleich: Bei $\cos \phi =1,0$ wäre der Strom nur $I=P/U=50000/400=125\mathrm{A}$. Der schlechte Leistungsfaktor erzwingt also einen um $43\%$ höheren Strom, mit entsprechend höheren Leitungsverlusten.

7 Blindleistungskompensation

7.1 Grundgedanke

Die meisten industriellen Verbraucher – insbesondere Motoren, Transformatoren und Leuchtstofflampen – arbeiten mit induktiver Last und ziehen daher induktive Blindleistung aus dem Netz. Um den Leistungsfaktor zu verbessern und die Netze zu entlasten, wird ein Kondensator parallel zum Verbraucher geschaltet. Dieser Kondensator liefert die vom Verbraucher benötigte induktive Blindleistung lokal, sodass sie nicht mehr über die Netzleitungen transportiert werden muss.

Man spricht von Blindleistungskompensation (power factor correction). Das Prinzip ist einfach: Die kapazitive Blindleistung des Kondensators kompensiert (ganz oder teilweise) die induktive Blindleistung des Verbrauchers.

Quelle: Wikimedia Commons, gemeinfrei

[!EXAMPLE] Alltagsanalogie

Stellen Sie sich einen Pendel vor, der in einem Uhrwerk hin- und herschwingt. Die Pendelbewegung (Blindleistung) überträgt keine Nutzenergie, belastet aber die Aufhängung (das Netz). Bringt man ein Gegengewicht an, das den Pendelausschlag dämpft, wird die Aufhängung entlastet – obwohl das Uhrwerk weiterhin funktioniert. Genau das leistet der Kompensationskondensator.

7.2 Berechnung des Kompensationskondensators

Gegeben sei ein Verbraucher mit der Wirkleistung $P$ und dem ursprünglichen Phasenwinkel ${\phi }_1$ (also dem Leistungsfaktor $\cos {\phi }_1$). Durch die Kompensation soll der Phasenwinkel auf ${\phi }_2$ verbessert werden (also auf den Leistungsfaktor $\cos {\phi }_2$).

Die benötigte kapazitive Blindleistung des Kondensators ergibt sich als Differenz der Blindleistungen vor und nach der Kompensation:

$$\boxed{Q_C=P\cdot (\tan {\phi }_1-\tan {\phi }_2)}$$

Dabei ist:

• $Q_C$ die vom Kondensator zu liefernde Blindleistung in Var ($\mathrm{var}$)
• $P$ die Wirkleistung des Verbrauchers in Watt ($\mathrm{W}$)
• ${\phi }_1$ der Phasenwinkel vor der Kompensation
• ${\phi }_2$ der Phasenwinkel nach der Kompensation

Herleitung der Kompensationsformel

Vor der Kompensation beträgt die Blindleistung:

$$Q_1=P\cdot \tan {\phi }_1$$

Nach der Kompensation soll die Blindleistung betragen:

$$Q_2=P\cdot \tan {\phi }_2$$

Die Wirkleistung $P$ ändert sich durch die Parallelschaltung des Kondensators nicht (ein idealer Kondensator nimmt keine Wirkleistung auf). Der Kondensator muss also die Blindleistungsdifferenz liefern:

$$Q_C=Q_1-Q_2=P\cdot \tan {\phi }_1-P\cdot \tan {\phi }_2=P\cdot (\tan {\phi }_1-\tan {\phi }_2)$$

Die Blindleistung eines Kondensators an der Spannung $U$ beträgt $Q_C=\omega C{U}^2$ (da am Kondensator $Q_C=U\cdot I_C$ mit $I_C=U\cdot \omega C$). Damit lässt sich die erforderliche Kapazität berechnen:

$$\boxed{C=\frac{Q_C}{\omega U^2}}$$

Dabei ist:

• $C$ die Kapazität des Kompensationskondensators in Farad ($\mathrm{F}$)
• $\omega =2\pi f$ die Kreisfrequenz in $rad/s$
• $U$ der Effektivwert der Netzspannung in Volt ($\mathrm{V}$)

7.3 Vollkompensation

Bei der Vollkompensation wird der Phasenwinkel auf ${\phi }_2=0°$ gebracht, also $\cos {\phi }_2=1$. In diesem Fall vereinfacht sich die Formel zu:

$$Q_C=P\cdot \tan {\phi }_1(\text{da }\tan 0°=0)$$

Die gesamte Blindleistung wird dann vom Kondensator geliefert, und aus dem Netz fließt nur noch der Wirkstrom. In der Praxis wird oft nicht auf $\cos \phi =1,0$ kompensiert, sondern auf $\cos \phi =0,9\dots 0,95$, um eine Überkompensation (kapazitiver Leistungsfaktor) sicher zu vermeiden und die Kondensatorkosten zu begrenzen.

Überkompensation vermeiden

Wird der Kompensationskondensator zu groß dimensioniert, kann der Leistungsfaktor kapazitiv werden ($\cos \phi$ auf der „falschen Seite”). Dies kann im Zusammenspiel mit Netzinduktivitäten zu unerwünschten Resonanzen und Spannungsüberhöhungen führen.

7.4 Rechenbeispiel: Kompensation eines Motors

Der Industriemotor aus dem Rechenbeispiel in Abschnitt 6.2.1 ($P=50\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_1=0,7$, $U=400\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$) soll auf $\cos {\phi }_2=0,95$ kompensiert werden.

Gegeben: $P=50\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_1=0,7\Rightarrow {\phi }_1=45,6°$, $\cos {\phi }_2=0,95\Rightarrow {\phi }_2=18,2°$, $U=400\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$

Gesucht: $Q_C$, $C$, neuer Strom $I_2$

Schritt 1: Erforderliche Kompensationsblindleistung

$$Q_C=P\cdot (\tan {\phi }_1-\tan {\phi }_2)=50\mathrm{kW}\cdot (\tan 45,6°-\tan 18,2°)$$ $$Q_C=50\mathrm{kW}\cdot (1,020-0,329)=50\cdot 0,691\mathrm{kvar}=\underline{34,6\mathrm{kvar}}$$

Schritt 2: Erforderliche Kapazität

$$C=\frac{Q_C}{\omega U^2}=\frac{34,6\cdot 10^3\mathrm{var}}{2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\cdot (400\mathrm{V}{)}^2}=\frac{34600}{314,2\cdot 160000}\mathrm{F}$$ $$C=\frac{34600}{50,27\cdot 10^6}\mathrm{F}=\underline{688\mu \mathrm{F}}$$

Schritt 3: Neuer Netzstrom nach Kompensation

$$S_2=\frac{P}{\cos {\phi }_2}=\frac{50\mathrm{kW}}{0,95}=52,6\mathrm{kVA}$$ $$I_2=\frac{S_2}{U}=\frac{52600\mathrm{VA}}{400\mathrm{V}}=\underline{131,6\mathrm{A}}$$

Ergebnisvergleich

Durch die Kompensation von $\cos {\phi }_1=0,7$ auf $\cos {\phi }_2=0,95$ sinkt der Netzstrom von $178,6\mathrm{A}$ auf $131,6\mathrm{A}$ – eine Reduktion um $26\%$. Die Leitungsverluste, die mit $I^2$ wachsen, sinken sogar um ca. $46\%$. Der Verbraucher leistet dabei weiterhin dieselbe Wirkleistung von $50\mathrm{kW}$.

[!TIP] Roter Faden – Praxisaufgabe aus ET1

In der Praxisaufgabe zu ET1 haben Sie die Typenschilder Ihrer größten Verbraucher dokumentiert. Damals haben Sie die Leistung einfach vom Typenschild abgelesen – aber die Angabe in Ampere bezieht sich auf den Nennstrom bei Volllast, der auch die Blindleistung einschließt. Mit den Werkzeugen dieser Lektion können Sie nun erstmals berechnen, wie viel Blindleistung Ihr größter Verbraucher tatsächlich aus dem Netz zieht – und wie sich dieses Problem durch Kompensation lösen lässt. Genau das machen wir in der Übung ET2-06.02.

[!info] Vorbereitung auf Praktikum 4

Im Praktikumsversuch 4 (Elektrische Leistung im Wechselstromkreis) werden Sie die hier behandelten Zusammenhänge messtechnisch überprüfen: Momentanleistung am Oszilloskop beobachten, Wirk- und Blindleistung messen und die Wirkung eines Kompensationskondensators experimentell nachweisen. Die theoretischen Grundlagen aus dieser Lektion bilden dafür die unmittelbare Grundlage.

[!question] Reflexionsfrage

Ein Energieversorger speist über eine Leitung mit dem Widerstand $R_L=0,5\Omega$ einen Verbraucher mit $P=10\mathrm{kW}$ bei $U=230\mathrm{V}$. Berechnen Sie die Leitungsverluste $P_V=I^2\cdot R_L$ für $\cos \phi =1,0$ und für $\cos \phi =0,5$. Um welchen Faktor steigen die Verluste?

Antwort
Für \cos\varphi = 1{,}0: I = P/(U \cdot \cos\varphi) = 10\,000/(230 \cdot 1{,}0) = 43{,}5\,\mathrm{A}, also P_V = 43{,}5^2 \cdot 0{,}5 = 946\,\mathrm{W}.
Für \cos\varphi = 0{,}5: I = 10\,000/(230 \cdot 0{,}5) = 86{,}9\,\mathrm{A}, also P_V = 86{,}9^2 \cdot 0{,}5 = 3\,778\,\mathrm{W}.
Die Leitungsverluste vervierfachen sich (Faktor 4), obwohl dieselbe Wirkleistung übertragen wird. Das zeigt, warum Energieversorger auf einen guten Leistungsfaktor bestehen.

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Übungen zu dieser Lektion

• Übung ET2-06.02 – Typenschildanalyse und Blindleistung im eigenen Betrieb

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Lehrveranstaltung aus vorherigen Semestern

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