Komplexe Zahlen (complex numbers)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02)

Komplexe Zahlen: Das mathematische Werkzeug, mit dem sich Amplitude und Phase in einem einzigen Ausdruck zusammenfassen lassen.

Komplexe Zahlen (complex numbers) erweitern die reellen Zahlen um eine imaginäre Komponente. In der Elektrotechnik sind sie das zentrale Rechenwerkzeug der Wechselstromanalyse: Sie ermöglichen es, sinusförmige Spannungen und Ströme als Zeiger in der komplexen Ebene darzustellen und Schaltungsberechnungen auf algebraische Operationen zurückzuführen.

Diese Seite fasst die mathematischen Grundlagen zusammen, die in der Lektion ET2-03 (Komplexe Wechselstromrechnung) für die Wechselstromanalyse benötigt werden.

1 Definition

Eine komplexe Zahl $\underline{z}$ besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil:

$$\underline{z}=a+jb$$

Dabei sind:

• $a=\mathrm{Re}(\underline{z})$ der Realteil
• $b=\mathrm{Im}(\underline{z})$ der Imaginärteil
• $j$ die imaginäre Einheit mit $j^2=-1$

In der Elektrotechnik wird j (nicht i) für die imaginäre Einheit verwendet, weil i bereits für die Stromstärke reserviert ist.

2 Darstellungsformen

2.1 Kartesische Form (Normalform)

$$\underline{z}=a+jb$$

Geeignet für Addition und Subtraktion.

2.2 Polarform (Exponentialform)

$$\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }$$

Dabei sind:

• $r=|\underline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$ der Betrag
• $\phi =\arg (\underline{z})=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ das Argument (Winkel)

Geeignet für Multiplikation und Division.

2.3 Umrechnung

Polarform → Kartesische Form:

$$a=r\cdot \cos \phi ,b=r\cdot \sin \phi$$

Kartesische Form → Polarform:

$$r=\sqrt{a^2+b^2},\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$

Bei der Berechnung von \varphi mit \arctan muss der Quadrant berücksichtigt werden. \arctan liefert nur Winkel im Bereich -90° bis +90°. Liegt \underline{z} im II. oder III. Quadranten (a < 0), muss 180° addiert werden.

3 Euler’sche Formel

Die Euler’sche Formel stellt den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen her:

$$e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$$

Sie ist nach Euler benannt und bildet die mathematische Grundlage für die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen als rotierende Zeiger.

Euler’sche Identität (Spezialfall $\phi =\pi$):

$$e^{j\pi }+1=0$$

4 Rechenregeln

4.1 Addition und Subtraktion

In kartesischer Form – Real- und Imaginärteile getrennt addieren:

$${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)$$

4.2 Multiplikation

In Polarform – Beträge multiplizieren, Winkel addieren:

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=r_1\cdot r_2\cdot e^{j({\phi }_1+{\phi }_2)}$$

4.3 Division

In Polarform – Beträge dividieren, Winkel subtrahieren:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot e^{j({\phi }_1-{\phi }_2)}$$

4.4 Konjugiert Komplexe

Der konjugiert komplexe Wert ${\underline{z}}^{\ast }$ entsteht durch Vorzeichenumkehr des Imaginärteils:

$${\underline{z}}^{\ast }=a-jb=r\cdot e^{-j\phi }$$

Nützlich z. B. bei der komplexen Scheinleistung: $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$.

5 Anwendung in der Wechselstromtechnik

Physikalische Größe	Komplexe Darstellung	Realteil =	Imaginärteil =
Impedanz	$\underline{Z}=R+jX$	Wirkwiderstand $R$	Blindwiderstand $X$
Spannung	$\underline{U}=U\cdot e^{j{\phi }_U}$	$U\cos {\phi }_U$	$U\sin {\phi }_U$
Strom	$\underline{I}=I\cdot e^{j{\phi }_I}$	$I\cos {\phi }_I$	$I\sin {\phi }_I$
Scheinleistung	$\underline{S}=P+jQ$	Wirkleistung $P$	Blindleistung $Q$

Die komplexe Darstellung erlaubt es, das Ohm’sche Gesetz auf Wechselstromkreise zu verallgemeinern:

$$\underline{U}=\underline{Z}\cdot \underline{I}$$

Durch Einführung der komplexen Impedanz lassen sich alle aus der Gleichstromtechnik bekannten Methoden (Spannungsteiler, Kirchhoff’sche Regeln, Superposition, Ersatzquellen) direkt auf Wechselstromschaltungen übertragen.

6 Praxis-/Rechenbeispiel

Gegeben: ${\underline{z}}_1=3+j4$ und ${\underline{z}}_2=1-j2$.

Betrag von ${\underline{z}}_1$:

$$|{\underline{z}}_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\underline{5}$$

Argument von ${\underline{z}}_1$:

$${\phi }_1=\arctan \left(\frac{4}{3}\right)=\underline{53,1°}$$

Polarform von ${\underline{z}}_1$:

$${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 53,1°}$$

Addition:

$${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=(3+1)+j(4-2)=\underline{4+j2}$$

Multiplikation (in kartesischer Form):

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=(3+j4)(1-j2)=3-j6+j4-j^2\cdot 8=3-j6+j4+8=\underline{11-j2}$$