Resonanzfrequenz (resonance frequency)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-03-02)

Resonanzfrequenz: Die Frequenz, bei der sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand aufheben – der Schwingkreis schwingt frei.

Die Resonanzfrequenz (resonance frequency) ist die Frequenz, bei der ein Schwingkreis aus Spule und Kondensator seine größte Schwingneigung zeigt. Bei Resonanz heben sich der induktive und der kapazitive Blindwiderstand gegenseitig auf: Im Reihenschwingkreis wird die Impedanz minimal (rein reell), im Parallelschwingkreis maximal.

1 Formelzeichen und Einheit

Das Formelzeichen der Resonanzfrequenz ist $f_{\mathrm{res}}$ (auch $f_0$).
Die Einheit ist das Hertz:

$$[f_{\mathrm{res}}]=\mathrm{Hz}$$

Alternativ wird die Resonanzkreisfrequenz ${\omega }_{\mathrm{res}}=2\pi f_{\mathrm{res}}$ in $rad/s$ angegeben.

2 Herleitung

Die Resonanzbedingung lautet: induktiver Blindwiderstand gleich kapazitivem Blindwiderstand:

$$X_L=X_C\Rightarrow {\omega }_{\mathrm{res}}L=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{res}}C}$$

Auflösen nach ${\omega }_{\mathrm{res}}$:

$${\omega }_{\mathrm{res}}^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow {\omega }_{\mathrm{res}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Daraus folgt die Thomson’sche Schwingungsgleichung:

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Dabei sind:

• $L$ die Induktivität in Henry (H)
• $C$ die Kapazität in Farad (F)

Die Formel gilt exakt für den ungedämpften Schwingkreis ( R = 0). Bei realen Schwingkreisen mit endlichem R weicht die Resonanzfrequenz geringfügig ab; für typische Güten Q > 10 ist der Unterschied vernachlässigbar.

3 Praxis-/Rechenbeispiele

3.1 RLC-Reihenschwingkreis

Ein Schwingkreis besteht aus $L=10\mathrm{mH}$ und $C=100\mathrm{nF}$.

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10\cdot 10^{-3}\mathrm{H}\cdot 100\cdot 10^{-9}\mathrm{F}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-9}{\mathrm{s}}^2}}=\frac{1}{2\pi \cdot 31,62\cdot 10^{-6}\mathrm{s}}=\underline{5,03\mathrm{kHz}}$$

Bei dieser Frequenz ist die Impedanz des Reihenschwingkreises minimal und rein reell: ${\underline{Z}}_{\mathrm{res}}=R$.

3.2 UKW-Empfänger

Ein Radioempfänger soll auf $f_{\mathrm{res}}=100\mathrm{MHz}$ abgestimmt werden. Die Spule hat $L=50\mathrm{nH}$. Gesucht: Kapazität.

$$C=\frac{1}{(2\pi f_{\mathrm{res}}{)}^2\cdot L}=\frac{1}{(2\pi \cdot 100\cdot 10^6\mathrm{Hz}{)}^2\cdot 50\cdot 10^{-9}\mathrm{H}}=\underline{50,7\mathrm{pF}}$$

4 Gängige Größenordnungen

Anwendung	Resonanzfrequenz	Typische Bauelemente
Netzfilter	$50\mathrm{Hz}$	$L\sim \mathrm{mH}$, $C\sim \mathrm{mF}$
Audiofrequenzen	$20\mathrm{Hz}$ bis $20\mathrm{kHz}$	$L\sim \mathrm{mH}$, $C\sim \mathrm{nF}$ bis $\mu \mathrm{F}$
AM-Radio (Mittelwelle)	$0,5$ bis $1,6\mathrm{MHz}$	$L\sim \mu \mathrm{H}$, $C\sim \mathrm{nF}$
FM-Radio (UKW)	$87,5$ bis $108\mathrm{MHz}$	$L\sim \mathrm{nH}$, $C\sim \mathrm{pF}$

5 Formulierungsbeispiele

• „Die Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises beträgt $f_{\mathrm{res}}=5,03\mathrm{kHz}$.”
• „Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand gegenseitig auf.”
• „Die Güte $Q$ des Schwingkreises bestimmt die Schärfe der Resonanz und damit die Bandbreite.”
• „Durch Verändern der Kapazität lässt sich die Resonanzfrequenz verschieben – dieses Prinzip nutzt jeder abstimmbare Empfänger.”

6 Verwandte Größen

• Frequenz: $f_{\mathrm{res}}$ ist eine spezielle Frequenz
• Kreisfrequenz: ${\omega }_{\mathrm{res}}=2\pi f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
• Induktivität und Kapazität: bestimmen $f_{\mathrm{res}}$
• Blindwiderstand: bei Resonanz $X_L=|X_C|$, Gesamtblindwiderstand $X=0$
• Impedanz: bei Resonanz rein reell ($\underline{Z}=R$)
• Güte (quality factor): $Q=\frac{f_{\mathrm{res}}}{\Delta f}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$, bestimmt die Bandbreite
• Bandbreite: $\Delta f=\frac{f_{\mathrm{res}}}{Q}$, Frequenzbereich um die Resonanz

7 Verwandte Bauelemente

• Spule: speichert Energie im Magnetfeld, bestimmt $f_{\mathrm{res}}$ zusammen mit $C$
• Kondensator: speichert Energie im elektrischen Feld, bestimmt $f_{\mathrm{res}}$ zusammen mit $L$
• Widerstand: bestimmt die Dämpfung und Güte des Schwingkreises