Übung ET1-03.R3 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-09)

Bezug zu ET1-03 Elektrische Quellen

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Aufgabe

Ein Funksender für den Amateurfunkbetrieb hat folgende Nenndaten:

• Maximale HF-Ausgangsleistung: $P_{\mathrm{HF},\mathrm{n}}=100\mathrm{W}$
• Wirkungsgrad bei maximaler Leistung: $\eta =60\%$
• Nenn-Versorgungsspannung: $U_{\mathrm{n}}=13,8\mathrm{V}$ (Kfz-Bordnetz)

Der Sender wird über ein Kabel der Länge $l=3\mathrm{m}$ mit Querschnitt $A=2,5{\mathrm{mm}}^2$ aus Kupfer ($\rho =1,68\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$) direkt an eine Autobatterie angeschlossen.

Der Sender verhält sich elektrisch wie ein ohmscher Widerstand (vereinfachtes Modell).

a) Welche elektrische Eingangsleistung $P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}$ benötigt der Sender bei Nennbetrieb?

b) Welchen Strom $I_{\mathrm{n}}$ zieht der Sender bei Nennbetrieb? Bestimmen Sie den Eingangswiderstand $R_{\mathrm{Sender}}$ des Senders.

c) Berechnen Sie den Widerstand $R_{\mathrm{Kabel}}$ des Anschlusskabels (Hin- und Rückleitung).

d) Die verwendete Autobatterie hat eine Leerlaufspannung von $U_0=12,6\mathrm{V}$ und einen Innenwiderstand von $R_i=15\mathrm{m\Omega }$. Berechnen Sie den tatsächlichen Strom $I$ und die tatsächliche Spannung $U_{\mathrm{Sender}}$ am Sender unter Berücksichtigung aller Widerstände.

e) Welche HF-Ausgangsleistung $P_{\mathrm{HF}}$ kann der Sender unter diesen Bedingungen noch liefern?

f) Stellen Sie die Leistungsbilanz unter diesen Bedingungen auf, um zu prüfen, ob die von der Quelle gelieferte Leistung und die der Verbraucher übereinstimmt.

Lösung

a) $P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}\approx 167\mathrm{W}$
b) $I_{\mathrm{n}}\approx 12,1\mathrm{A}$; $R_{\mathrm{Sender}}\approx 1,14\Omega$
c) $R_{\mathrm{Kabel}}\approx 40\mathrm{m\Omega }$
d) $I\approx 10,5\mathrm{A}$; $U_{\mathrm{Sender}}\approx 12,0\mathrm{V}$
e) $P_{\mathrm{HF}}\approx 76\mathrm{W}$
f) $P_{\mathrm{Batterie}}\approx 133\mathrm{W};P_{{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}}\approx 1,7\mathrm{W};P_{\mathrm{Kabel}}\approx 4,5\mathrm{W};P_{\mathrm{Sender}}\approx 126\mathrm{W}$

Vollständige Lösung

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• HF-Ausgangsleistung (Nennbetrieb): $P_{\mathrm{HF},\mathrm{n}}=100\mathrm{W}$
• Wirkungsgrad: $\eta =60\%=0,6$
• Nenn-Versorgungsspannung: $U_{\mathrm{n}}=13,8\mathrm{V}$
• Kabellänge (einfach): $l=3\mathrm{m}$
• Kabelquerschnitt: $A=2,5{\mathrm{mm}}^2=2,5\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$
• Spezifischer Widerstand Kupfer: $\rho =1,68\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$
• Leerlaufspannung Batterie: $U_0=12,6\mathrm{V}$
• Innenwiderstand Batterie: $R_i=15\mathrm{m\Omega }=0,015\Omega$

Bekannt:

• Wirkungsgrad: $\eta =\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}$
• Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R$
• Leiterwiderstand: $R=\rho \cdot \frac{l}{A}$
• Ohmsches Gesetz: $U=R\cdot I$
• Lineare Spannungsquelle: $U_{\mathrm{Kl}}=U_0-R_{\mathrm{i}}\cdot I$

Dabei ist:

• $\eta$ der Wirkungsgrad (dimensionslos)
• $P_{\mathrm{HF}}$ die HF-Ausgangsleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $P_{\mathrm{in}}$ die elektrische Eingangsleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $P_{\mathrm{out}}$ die Ausgangsleistung in Watt ($\mathrm{W}$)
• $\rho$ der spezifische Widerstand in $\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$
• $l$ die Leitungslänge in Meter ($\mathrm{m}$)
• $A$ die Querschnittsfläche in Quadratmeter (${\mathrm{m}}^2$)
• $R_i$ der Innenwiderstand der Quelle in Ohm ($\Omega$)
• $U_0$ die Leerlaufspannung der Quelle in Volt ($\mathrm{V}$)
• $U_{\mathrm{Kl}}$ die Klemmenspannung in Volt ($\mathrm{V}$)

Gesucht

a) Eingangsleistung $P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}$ bei Nennbetrieb
b) Nennstrom $I_{\mathrm{n}}$ und Eingangswiderstand $R_{\mathrm{Sender}}$
c) Kabelwiderstand $R_{\mathrm{Kabel}}$
d) Tatsächlicher Strom $I$ und Klemmenspannung $U_{\mathrm{Sender}}$
e) Tatsächliche HF-Ausgangsleistung $P_{\mathrm{HF}}$
f) Vollständige Leistungsbilanz

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a) Eingangsleistung bei Nennbetrieb

Der Sender wandelt elektrische Eingangsleistung mit dem Wirkungsgrad $\eta$ in HF-Ausgangsleistung um:

$$P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}=\frac{P_{\mathrm{HF},\mathrm{n}}}{\eta }=\frac{100\mathrm{W}}{0,6}=166,67\mathrm{W}\approx \underline{167\mathrm{W}}$$

b) Nennstrom und Eingangswiderstand

Bei der Nenn-Versorgungsspannung:

$$I_{\mathrm{n}}=\frac{P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}}{U_{\mathrm{n}}}=\frac{166,67\mathrm{W}}{13,8\mathrm{V}}=12,08\mathrm{A}\approx \underline{12,1\mathrm{A}}$$

Da der Sender sich wie ein ohmscher Widerstand verhält, gilt:

$$R_{\mathrm{Sender}}=\frac{U_{\mathrm{n}}}{I_{\mathrm{n}}}=\frac{13,8\mathrm{V}}{12,08\mathrm{A}}=\underline{1,142\Omega }$$

Kontrolle über Leistungsformel:

$R_{\mathrm{Sender}}=\frac{U_{\mathrm{n}}^2}{P_{\mathrm{in},\mathrm{n}}}=\frac{(13,8\mathrm{V}{)}^2}{166,67\mathrm{W}}=\frac{190,44{\mathrm{V}}^2}{166,67\mathrm{W}}=1,143\Omega$ ✔

c) Kabelwiderstand

Das Kabel besteht aus Hin- und Rückleitung, also doppelte Länge:

$$l_{\mathrm{ges}}=2\cdot l=2\cdot 3\mathrm{m}=6\mathrm{m}$$

Der Leiterwiderstand berechnet sich nach:

$$R_{\mathrm{Kabel}}=\rho \cdot \frac{l_{\mathrm{ges}}}{A}=1,68\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}\cdot \frac{6\mathrm{m}}{2,5\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{Kabel}}=1,68\cdot 10^{-8}\cdot 2,4\cdot 10^6\Omega =0,0403\Omega \approx \underline{40\mathrm{m\Omega }}$$

d) Tatsächlicher Strom und Klemmenspannung

Wichtige Überlegung

Der Sender ist eine ohmsche Last mit konstantem Widerstand $R_{\mathrm{Sender}}$. Er bildet zusammen mit dem Kabelwiderstand und dem Innenwiderstand der Batterie einen Spannungsteiler. Der Strom stellt sich entsprechend dem Gesamtwiderstand ein – nicht nach der Nennleistung!

Ersatzschaltbild:

Gesamtwiderstand im Stromkreis:

$$R_{\mathrm{ges}}=R_i+R_{\mathrm{Kabel}}+R_{\mathrm{Sender}}=0,015\Omega +0,0403\Omega +1,142\Omega =1,197\Omega$$

Tatsächlicher Strom (Ohmsches Gesetz):

$$I=\frac{U_0}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{12,6\mathrm{V}}{1,197\Omega }=\underline{10,53\mathrm{A}}$$

Klemmenspannung am Sender:

$$U_{\mathrm{Sender}}=I\cdot R_{\mathrm{Sender}}=10,53\mathrm{A}\cdot 1,142\Omega =\underline{12,02\mathrm{V}}$$

Kontrolle über Spannungsabfall an den Verlustwiderständen:

$U_{\mathrm{Sender}}=U_0-I\cdot (R_i+R_{\mathrm{Kabel}})=12,6\mathrm{V}-10,53\mathrm{A}\cdot 0,0553\Omega =12,6\mathrm{V}-0,58\mathrm{V}=12,02\mathrm{V}$ ✔

e) Tatsächliche HF-Ausgangsleistung

Elektrische Eingangsleistung am Sender:

$$P_{\mathrm{in}}=U_{\mathrm{Sender}}\cdot I=12,02\mathrm{V}\cdot 10,53\mathrm{A}=126,6\mathrm{W}$$

Oder über den Widerstand:

$P_{\mathrm{in}}=\frac{U_{\mathrm{Sender}}^2}{R_{\mathrm{Sender}}}=\frac{(12,02\mathrm{V}{)}^2}{1,142\Omega }=126,5\mathrm{W}$ ✔

HF-Ausgangsleistung:

$$P_{\mathrm{HF}}=\eta \cdot P_{\mathrm{in}}=0,6\cdot 126,6\mathrm{W}=\underline{75,9\mathrm{W}}$$

Leistungseinbuße

Der Sender liefert nur noch 76 W statt der nominellen 100 W HF-Ausgangsleistung – ein Verlust von 24 %!

Dies liegt an:

1. Niedrigere Leerlaufspannung der Batterie ($12,6\mathrm{V}$ statt $13,8\mathrm{V}$)
2. Spannungsabfall an Innenwiderstand und Kabel

Fehlerbetrachtung: Was passiert, wenn wir hier mit dem zuvor ermittelten Nennstrom rechnen?

Ein naheliegender, aber falscher Ansatz wäre: „Der Sender braucht $167\mathrm{W}$, also fließen $12,1\mathrm{A}$, und damit berechne ich den Spannungsabfall.”

Fehlerhafte Rechnung mit Nennstrom $I_{\mathrm{n}}=12,08\mathrm{A}$:

Spannungsabfall an den Verlustwiderständen:

$$\Delta U_{\mathrm{falsch}}=I_{\mathrm{n}}\cdot (R_i+R_{\mathrm{Kabel}})=12,08\mathrm{A}\cdot 0,0553\Omega =0,668\mathrm{V}$$

Klemmenspannung am Sender (falsch):

$$U_{\mathrm{Sender},\mathrm{falsch}}=U_0-\Delta U_{\mathrm{falsch}}=12,6\mathrm{V}-0,668\mathrm{V}=11,93\mathrm{V}$$

Vergleich mit korrekten Werten:

Größe	Korrekt	Falsch (mit $I_{\mathrm{n}}$)	Fehler
Strom $I$	$10,53\mathrm{A}$	$12,08\mathrm{A}$	$+14,7\%$
Klemmenspannung $U_{\mathrm{Sender}}$	$12,02\mathrm{V}$	$11,93\mathrm{V}$	$-0,7\%$
Leistung Sender $P_{\mathrm{Sender}}$	$126,6\mathrm{W}$	$144,2\mathrm{W}$*	$+13,9\%$

*berechnet mit $U_{\mathrm{Sender},\mathrm{falsch}}\cdot I_{\mathrm{n}}=11,93\mathrm{V}\cdot 12,08\mathrm{A}$

Analyse des Fehlers
Warum ist der Spannungsfehler klein, aber der Stromfehler groß?

Der Spannungsabfall an $R_i+R_{\mathrm{Kabel}}$ beträgt nur ca. $0,6\mathrm{V}$ – ob wir mit $10,5\mathrm{A}$ oder $12,1\mathrm{A}$ rechnen, ändert diesen Wert nur um $\approx 0,09\mathrm{V}$. Die Spannung am Sender ist also relativ robust gegenüber dem Stromfehler.

Aber: Der Strom selbst wird um fast $15\%$ überschätzt! Und da die Leistung proportional zu $I^2$ ist, pflanzt sich dieser Fehler in alle Leistungsberechnungen fort.

Der fundamentale Denkfehler:

Die Annahme „Der Sender zieht immer seinen Nennstrom” ist falsch. Ein ohmscher Verbraucher hat einen festen Widerstand, nicht eine feste Stromaufnahme. Der Strom ergibt sich aus dem Zusammenspiel von Quellenspannung und Gesamtwiderstand:

$$I=\frac{U_0}{R_i+R_{\mathrm{Kabel}}+R_{\mathrm{Sender}}}$$

Der Sender kann bei reduzierter Versorgungsspannung nicht mehr seine Nennleistung aufnehmen – er nimmt nur so viel Leistung auf, wie ihm bei der anliegenden Spannung durch seinen Widerstand „erlaubt” wird.

Praxisrelevanz
In der Praxis verhalten sich viele elektronische Geräte nicht rein ohmsch:

• Schaltnetzteile versuchen, konstante Leistung zu ziehen (Strom steigt bei sinkender Spannung)
• Lineare Regler begrenzen den Strom bei Unterspannung
• Motoren ändern ihren Widerstand lastabhängig

Das ohmsche Modell ist eine Vereinfachung, die für Grundlagenberechnungen gut geeignet ist. Für präzise Analysen muss das tatsächliche Lastverhalten berücksichtigt werden.

f) Leistungsbilanz

Leistung, die die Batterie liefert:

$$P_{\mathrm{Batterie}}=U_0\cdot I=12,6\mathrm{V}\cdot 10,53\mathrm{A}=\underline{132,7\mathrm{W}}$$

Verlustleistung am Innenwiderstand der Batterie:

$$P_{R_i}=R_i\cdot I^2=0,015\Omega \cdot (10,53\mathrm{A}{)}^2=0,015\cdot 110,9\mathrm{W}=\underline{1,66\mathrm{W}}$$

Verlustleistung im Kabel:

$$P_{\mathrm{Kabel}}=R_{\mathrm{Kabel}}\cdot I^2=0,0403\Omega \cdot (10,53\mathrm{A}{)}^2=\underline{4,47\mathrm{W}}$$

Leistung am Sender:

$$P_{\mathrm{Sender}}=R_{\mathrm{Sender}}\cdot I^2=1,142\Omega \cdot (10,53\mathrm{A}{)}^2=\underline{126,6\mathrm{W}}$$

Kontrolle – Leistungsbilanz:

$$P_{\mathrm{Batterie}}=P_{R_i}+P_{\mathrm{Kabel}}+P_{\mathrm{Sender}}$$

$132,7\mathrm{W}\stackrel{?}{=}1,66\mathrm{W}+4,47\mathrm{W}+126,6\mathrm{W}=132,7\mathrm{W}$ ✔

Komponente	Leistung	Anteil
Sender	$126,6\mathrm{W}$	$95,4\%$
Kabel	$4,47\mathrm{W}$	$3,4\%$
Batterie-$R_i$	$1,66\mathrm{W}$	$1,2\%$
Summe	$132,7\mathrm{W}$	$100\%$