Magnetischer Widerstand (magnetic resistance)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-09)

Der magnetische Widerstand (die Reluktanz) beschreibt, wie stark ein Werkstoff/Abschnitt den magnetischen Fluss in einem magnetischen Kreis behindert. Geometrie und Permeabilität bestimmen seinen Wert.

Analogie Magnetkreis/Stromkreis

Die Reluktanz entspricht dem elektrischen Widerstand im Stromkreis.

In den ET-Grundlagen (ET1) nur zur Vollständigkeit

Diese Größe kommt im ET1-Skript nur der Vollständigkeit halber vor, weil sie zu den Bauteilen Spule und Kondensator dazugehört. Berechnungen und das tiefer Verständnis sind Teil der Wechselstromlehre (ET2).

1 Formelzeichen und Einheit

Das Formelzeichen des magnetischen Widerstandes ist $R_{\mathrm{m}}$.
Seine Einheit ist „Ampere pro Weber“ oder „eins durch Henry“:

$$[R_{\mathrm{m}}]=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}={\mathrm{H}}^{-1}$$

2 Praxis-/Rechenbeispiele

Im homogenen Feld gilt:

$$R_{\mathrm{m}}=\frac{l}{\mu A},\mu ={\mu }_0{\mu }_r$$

Dabei sind:

• $l$ die Weglänge
• $A$ der wirksame Querschnitt senkrecht zum Fluss
• $\mu$ die Permeabilität des Materials mit
  • der magnetischen Feldkonstante ${\mu }_0$ (Permeabilität des Vakuums)
  • der Permeabilitätszahl des Materials ${\mu }_r$

2.1 Kern ohne Luftspalt (homogener Querschnitt)

Gegeben: $l=0,10\mathrm{m}$, $A=1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, ${\mu }_r=2000$.

Reluktanz:

$$R_{\mathrm{m}}=\frac{l}{{\mu }_0{\mu }_{r}A}\approx \underline{3,98\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Zusammenhang:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m}}},B=\frac{\Phi }{A}$$

Dabei sind:

• $\Phi$ die magnetische Flussdichte
• $\Theta$ die magnetische Durchflutung
• $B$ die magnetische Flussdichte
• $A$ der wirksame Querschnitt senkrecht zum Fluss

Beispiel:

$$\Theta =400\mathrm{A}\Rightarrow \Phi \approx 1,01\mathrm{mWb},B\approx \underline{10,1\mathrm{mT}}$$

2.2 Einfluss eines Luftspalts

Luftspalt $l=1,0\mathrm{mm}$ mit gleichem Querschnitt $A$:
$R_{\mathrm{L}}=\frac{g}{{\mu }_{0}A}\approx \underline{7,96\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$

Gesamtreluktanz:

$$R_{\mathrm{m},\Sigma }=R_{\mathrm{Kern}}+R_L\approx 8,36\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

Für denselben Fluss wie in 2.1 ($\Phi \approx 1,0\mathrm{mWb}$) benötigt man:

$$\Theta =R_{\mathrm{m},\Sigma }\Phi \approx \underline{8,36\cdot 10^3\mathrm{A}}$$

Mit $N=100$ Windungen: $I=\Theta /N\approx \underline{83,6\mathrm{A}}$.

2.3 Serien- und Parallelschaltung von Reluktanzen

Serienpfade (gleicher Fluss $\Phi$)

$$R_{\mathrm{m},\Sigma }=R_{\mathrm{m},1}+R_{\mathrm{m},2}+\dots$$

Parallele Zweige (gleiche Durchflutung $\Theta$, Flussaufteilung)

\;\Rightarrow\; \frac{1}{R_{\mathrm{m},\mathrm{eq}}}=\sum_i \frac{1}{R_{\mathrm{m},i}}$$ ### 2.4 Zielgröße Feldstärke Mittlere Feldstärke bei homogenem Weg:

H\approx \frac{\Theta}{l}

Dabei ist: - $H$ die [[Magnetische Feldstärke (magnetic field strength)|magnetische Feldstärke]] Beispiel: $l=0{,}10\,\mathrm{m}$ und $\Theta=100\,\mathrm{A}:$ $H\approx \underline{1000\,\mathrm{A/m}}$ ## 3 Gängige Größenordnungen - Weicheisenkern (ohne Luftspalt, $\mu_r= 10^3\text{...}10^4$): $R_\mathrm{m}= 10^{4}\text{...}10^{6}\,\tfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$ - Luftspalt $l=0{,}5\text{...}2\,\mathrm{mm}$, $A= 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$: $R_\mathrm{L}= 4\cdot10^{6}\text{...}1{,}6\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$ - Ergebnis: Der Luftspalt dominiert oft die Gesamtreluktanz. ## 4 Formulierungsbeispiele - „Die Reluktanz des Luftspalts beträgt $8\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$.“ - „Reluktanzen in Reihe addieren sich; der Luftspalt bestimmt die Summe.“ - „Für den gewünschten Fluss gilt $\Theta=R_\mathrm{m}\,\Phi$.“ ## 5 Verwandte Größen und Zusammenhänge - [[Magnetische Durchflutung (magnetomotive force)|magnetische Durchflutung]]:

\Theta=\oint \vec H\cdot \mathrm d\vec l,\qquad \Theta=N,I

$$-[[MagnetischerFluss(magneticflux)|magnetischerFluss]]und[[MagnetischeFlussdichte(magneticfluxdensity)|Flussdichte]]:$$

\Phi=\int_A \vec B\cdot \mathrm d\vec A,\qquad \vec B=\mu,\vec H

$$-AnalogieMagnetkreis/Stromkreis:$$

\Phi=\frac{\Theta}{R_\mathrm{m}}\quad\leftrightarrow\quad I=\frac{U}{R}

- Der [[Magnetischer Fluss (magnetic flux)|magnetische Fluss]] $\Phi$ entspricht der [[Stromstärke (current)|elektrischen Stromstärke]] $I$. - Die [[Magnetische Durchflutung (magnetomotive force)|magnetische Durchflutung]] $\Theta$ entspricht der [[Spannung (voltage)|elektrischen Spannung]] $U$. - Der [[Reluktanz (reluctance)|magnetische Widerstand]] $R_\mathrm{m}$, a.k.a. Reluktanz, entspricht dem [[Widerstand (resistance)|elektrischen Widerstand]] $R$. - Flussverkettung und [[Induktivität (inductance)|Induktivität]] (idealer homogener Kreis):

\Lambda=N,\Phi,\qquad L=\frac{N^2}{R_\mathrm{m}}

## 6 Verwandte Bauelemente - [[Spule (coil)|Spule]] - [[Relais (relay)|Relais]] und [[Schütz (contactor)|Schütz]] - [[Transformator (transformer)|Transformator]] - Elektromagnet (Magnetkreis mit Luftspalt)