Übung ET2-06.03 – Leistung an R, L und C (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Drei Bauelemente werden einzeln an das einphasige $230\mathrm{V}$-Netz mit der Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$ angeschlossen:

• ein ohmscher Widerstand $R=100\Omega$
• eine ideale Spule mit $L=200\mathrm{mH}$
• ein idealer Kondensator mit $C=40\mu \mathrm{F}$

a) Berechnen Sie für jedes Bauelement den Effektivstrom $I$, die Scheinleistung $S$, die Wirkleistung $P$ und die Blindleistung $Q$. Tragen Sie die Ergebnisse in eine Tabelle ein.

b) Begründen Sie das Vorzeichen der Blindleistung bei $L$ und $C$ mithilfe der Vorzeichenkonvention für $\phi$ aus Abschnitt 1 der Lektion.

c) Spule und Kondensator führen in dieser Aufgabe deutlich unterschiedliche Effektivströme. Begründen Sie das mit dem Verhältnis ihrer Blindwiderstände $X_L$ und $X_C$. Bei welcher Frequenz $f_0$ wären die Beträge der beiden Ströme gleich? Welche Bedeutung hat diese Frequenz aus ET2-05?

d) Wie ändern sich $S$, $P$ und $Q$ aller drei Bauelemente, wenn die Netzfrequenz auf $f^{\prime }=100\mathrm{Hz}$ verdoppelt wird (Effektivspannung bleibt $230\mathrm{V}$)? Geben Sie für jedes Bauelement nur eine kurze Aussage mit Skalierungsfaktor an.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $U=230\mathrm{V}$ (Effektivwert), $f=50\mathrm{Hz}$, also $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$
• $R=100\Omega$
• $L=200\mathrm{mH}=0,2\mathrm{H}$
• $C=40\mu \mathrm{F}=4\cdot 10^{-5}\mathrm{F}$

Bekannt:

• Blindwiderstände (ET2-04): $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$
• Leistung an $R$, $L$, $C$ (ET2-06 Abschnitt 3): ${\phi }_R=0$, ${\phi }_L=+90°$, ${\phi }_C=-90°$
• Scheinleistung: $S=U\cdot I$; Wirkleistung: $P=UI\cos \phi$; Blindleistung: $Q=UI\sin \phi$

Gesucht

a) $I$, $S$, $P$, $Q$ für $R$, $L$, $C$ einzeln
b) Vorzeichenbegründung von $Q$ für $L$ und $C$
c) Erklärung der unterschiedlichen Stromwerte bei $L$ und $C$ + Frequenz für gleichen Strom
d) Skalierungsverhalten bei verdoppelter Frequenz

a) Effektivstrom und Leistungen

Ohmscher Widerstand $R$:

$$I_R=\frac{U}{R}=\frac{230\mathrm{V}}{100\Omega }=\underline{2,30\mathrm{A}}$$ $$S_R=U\cdot I_R=230\cdot 2,30\mathrm{VA}=\underline{529\mathrm{VA}}$$

Mit ${\phi }_R=0$ folgt $\cos {\phi }_R=1$, $\sin {\phi }_R=0$:

$$P_R=S_R\cdot \cos 0°=\underline{529\mathrm{W}},Q_R=S_R\cdot \sin 0°=\underline{0\mathrm{var}}$$

Ideale Spule $L$:

$$X_L=\omega L=314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,2\mathrm{H}\approx 62,83\Omega$$ $$I_L=\frac{U}{X_L}=\frac{230\mathrm{V}}{62,83\Omega }\approx \underline{3,66\mathrm{A}}$$ $$S_L=U\cdot I_L=230\cdot 3,66\mathrm{VA}\approx \underline{842\mathrm{VA}}$$

Mit ${\phi }_L=+90°$ folgt $\cos {\phi }_L=0$, $\sin {\phi }_L=+1$:

$$P_L=S_L\cdot \cos 90°=\underline{0\mathrm{W}},Q_L=S_L\cdot \sin 90°=\underline{+842\mathrm{var}}$$

Idealer Kondensator $C$:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314,16\cdot 4\cdot 10^{-5}}\Omega =\frac{1}{0,01257}\Omega \approx 79,58\Omega$$ $$I_C=\frac{U}{X_C}=\frac{230\mathrm{V}}{79,58\Omega }\approx \underline{2,89\mathrm{A}}$$ $$S_C=U\cdot I_C=230\cdot 2,89\mathrm{VA}\approx \underline{665\mathrm{VA}}$$

Mit ${\phi }_C=-90°$ folgt $\cos {\phi }_C=0$, $\sin {\phi }_C=-1$:

$$P_C=S_C\cdot \cos (-90°)=\underline{0\mathrm{W}},Q_C=S_C\cdot \sin (-90°)=\underline{-665\mathrm{var}}$$

Zusammenfassung:

Bauelement	$I$	$S$	$P$	$Q$
$R=100\Omega$	$2,30\mathrm{A}$	$529\mathrm{VA}$	$529\mathrm{W}$	$0\mathrm{var}$
$L=200\mathrm{mH}$	$3,66\mathrm{A}$	$842\mathrm{VA}$	$0\mathrm{W}$	$+842\mathrm{var}$
$C=40\mu \mathrm{F}$	$2,89\mathrm{A}$	$665\mathrm{VA}$	$0\mathrm{W}$	$-665\mathrm{var}$

b) Vorzeichen der Blindleistung

Die Vorzeichenkonvention der Lektion (Spannung als Bezugszeiger, Phasenwinkel am Strom abgetragen) liefert direkt:

• An der Spule eilt der Strom der Spannung um $90°$ nach ⇒ ${\phi }_L=+90°$ ⇒ $\sin {\phi }_L=+1$ ⇒ $Q_L>0$ (induktive Blindleistung).
• Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um $90°$ vor ⇒ ${\phi }_C=-90°$ ⇒ $\sin {\phi }_C=-1$ ⇒ $Q_C<0$ (kapazitive Blindleistung).

Anschaulich: Spule und Kondensator pendeln Energie mit dem Netz hin und her, aber gegenphasig zueinander. Wenn die Spule gerade Energie aufnimmt, gibt der Kondensator gerade Energie ab — und umgekehrt. Das Vorzeichen von $Q$ codiert genau diese Phasenlage.

c) Warum sind die Ströme an $L$ und $C$ unterschiedlich?

Beide Bauelemente liegen an derselben Spannung $U=230\mathrm{V}$, also entscheidet allein der Blindwiderstand über den Strom. Bei $f=50\mathrm{Hz}$ ist

$$X_L=\omega L\approx 62,83\Omega \text{und}{X}_C=\frac{1}{\omega C}\approx 79,58\Omega .$$

Der Kondensator hat den größeren Blindwiderstand, also fließt durch ihn der kleinere Strom: $I_C\approx 2,89\mathrm{A}<I_L\approx 3,66\mathrm{A}$.

Bei welcher Frequenz wären beide Ströme gleich? Genau dann, wenn die Beträge der beiden Blindwiderstände übereinstimmen:

$${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}\iff {\omega }_0^2=\frac{1}{LC}\iff {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Mit den Zahlenwerten:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{0,2\mathrm{H}\cdot 4\cdot 10^{-5}\mathrm{F}}}=\frac{1}{\sqrt{8\cdot 10^{-6}{\mathrm{s}}^2}}\approx 353,55{\mathrm{s}}^{-1}$$ $$f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\approx \underline{56,3\mathrm{Hz}}$$

Bei dieser Frequenz wären $X_L=X_C\approx 70,71\Omega$ und damit $I_L=I_C=230/70,71\approx 3,25\mathrm{A}$ — exakt gleich.

Das ist genau die Resonanzbedingung des RLC-Reihenschwingkreises aus ET2-05. Im Reihenschwingkreis heben sich bei dieser Frequenz die beiden Blindwiderstände sogar gegenseitig auf — die Schaltung verhält sich rein ohmsch.

d) Skalierung bei verdoppelter Frequenz

Mit $f^{\prime }=2f$ wird ${\omega }^{\prime }=2\omega$. Die Spannung $U$ bleibt unverändert.

• Widerstand $R$: $X_R=R$ ist frequenzunabhängig. Alles unverändert.
• Spule $L$: $X_L^{\prime }={\omega }^{\prime }L=2X_L$, also halbiert sich der Strom: $I_L^{\prime }=U/X_L^{\prime }=I_L/2$. Damit halbieren sich auch $S_L$ und $Q_L$ (während $P_L=0$ bleibt). Skalierungsfaktor $\frac{1}{2}$.
• Kondensator $C$: $X_C^{\prime }=1/({\omega }^{\prime }C)=X_C/2$, also verdoppelt sich der Strom: $I_C^{\prime }=2I_C$. Damit verdoppeln sich $S_C$ und $|Q_C|$ (Vorzeichen von $Q_C$ bleibt negativ, $P_C=0$ bleibt). Skalierungsfaktor $2$.

Merkbild

Spule und Kondensator reagieren gegensätzlich auf Frequenzänderungen — die Spule sperrt bei höherer Frequenz mehr (drosselnd, daher der Name Drossel), der Kondensator weniger (durchlassend bei hohen Frequenzen). Genau dieses gegensätzliche Verhalten haben Sie bereits in Übung ET2-04.02 berechnet — hier sehen Sie die Folgen für die Leistungsbilanz.

Brücke zu Abschnitt 4

Die Tabelle zeigt: Spule und Kondensator setzen keine Wirkleistung um, ziehen aber trotzdem mehrere Ampere aus dem Netz ($3,66\mathrm{A}$ bzw. $2,89\mathrm{A}$) und übertragen Scheinleistungen im hohen VA-Bereich ($842\mathrm{VA}$ bzw. $665\mathrm{VA}$). Genau dieser Strom belastet die Zuleitung — und genau dafür gibt es die Begriffe Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung, die in Abschnitt 4 der Lektion sauber getrennt werden. In Übung ET2-06.04 werden diese drei Größen am realen Mischfall (Motor) zusammengeführt.