Übung ET2-05.02 – RLC-Parallelschaltung mit Admittanz (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

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Aufgabe

Eine Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand $R$, einer Spule $L$ und einem Kondensator $C$ wird mit einer sinusförmigen Wechselspannung $U=10\mathrm{V}$ (Effektivwert) bei $f=1\mathrm{kHz}$ betrieben:

Gegeben: $R=1\mathrm{k\Omega }$, $L=10\mathrm{mH}$, $C=1\mu \mathrm{F}$, $U=10\mathrm{V}$, $f=1\mathrm{kHz}$

a) Berechnen Sie die Einzeladmittanzen ${\underline{Y}}_R$, ${\underline{Y}}_L$ und ${\underline{Y}}_C$ und daraus die Gesamtadmittanz ${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}$ in kartesischer Form.
b) Bestimmen Sie aus ${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtimpedanz ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ nach Betrag und Phase.
c) Berechnen Sie die drei Teilströme $I_R$, $I_L$, $I_C$ und den Gesamtstrom $I_{\mathrm{ges}}$ jeweils nach Betrag und Phasenwinkel relativ zur Spannung.
d) Wirkt die Schaltung bei dieser Frequenz induktiv oder kapazitiv? Welche Komponente dominiert den Blindstrom?

Lösung

a) ${\underline{Y}}_R=1\mathrm{mS}$, ${\underline{Y}}_L=-j15,92\mathrm{mS}$, ${\underline{Y}}_C=j6,28\mathrm{mS}$ → ${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}=(1-j9,63)\mathrm{mS}$
b) $|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|\approx 103\mathrm{\Omega }$, $\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})\approx +84,1°$ (induktiv)
c) $I_R=10,0\mathrm{mA}(0°)$; $I_L=159\mathrm{mA}(-90°)$; $I_C=62,8\mathrm{mA}(+90°)$; $I_{\mathrm{ges}}\approx 96,8\mathrm{mA}(-84,1°)$
d) Induktiv — der induktive Teilstrom $I_L$ ist deutlich größer als der kapazitive $I_C$, der resultierende Blindstrom ist negativ (eilt der Spannung nach).

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=1\mathrm{k\Omega }=1000\mathrm{\Omega }$
• $L=10\mathrm{mH}=0,01\mathrm{H}$
• $C=1\mu \mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$
• $U=10\mathrm{V}$ (Effektivwert)
• $f=1\mathrm{kHz}$

Bekannt:

• Admittanz (ET2-05 Abschnitt 1.2 / Leitwert): $\underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}$, Einheit $\mathrm{S}$
• Bei Parallelschaltung addieren sich die Admittanzen direkt: ${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Y}}_1+{\underline{Y}}_2+\dots$
• Einzeladmittanzen aus $\underline{Y}=1/\underline{Z}$:
  • ${\underline{Y}}_R=1/R$
  • ${\underline{Y}}_L=1/(j\omega L)=-j/(\omega L)$
  • ${\underline{Y}}_C=j\omega C$
• Bei Parallelschaltung liegt an allen Elementen dieselbe Spannung an: ${\underline{I}}_i={\underline{Y}}_i\cdot \underline{U}$

Gesucht

a) Einzeladmittanzen und ${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}$ in kartesischer Form
b) $|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|$ und $\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})$
c) Teilströme $I_R$, $I_L$, $I_C$ und Gesamtstrom $I_{\mathrm{ges}}$ nach Betrag und Phase
d) Charakter der Schaltung mit Begründung

a) Admittanzen

Kreisfrequenz:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 1000{\mathrm{s}}^{-1}\approx 6283{\mathrm{s}}^{-1}$$

Einzeladmittanzen:

$${\underline{Y}}_R=\frac{1}{R}=\frac{1}{1000\mathrm{\Omega }}=1,00\mathrm{mS}$$ $${\underline{Y}}_L=-\frac{j}{\omega L}=-\frac{j}{6283\cdot 0,01}\mathrm{S}=-\frac{j}{62,83}\mathrm{S}\approx -j15,92\mathrm{mS}$$ $${\underline{Y}}_C=j\omega C=j\cdot 6283\cdot 10^{-6}\mathrm{S}\approx j6,28\mathrm{mS}$$

Die Admittanzen werden direkt addiert (Real- und Imaginärteile getrennt):

$${\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Y}}_R+{\underline{Y}}_L+{\underline{Y}}_C=1\mathrm{mS}+j(6,28-15,92)\mathrm{mS}=\underline{(1-j9,63)\mathrm{mS}}$$

Warum Admittanz bei Parallelschaltungen?

Bei einer Parallelschaltung müssten wir mit Impedanzen die Kehrwertformel $1/{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=\sum 1/{\underline{Z}}_i$ anwenden — also drei Brüche mit komplexem Nenner addieren. Mit Admittanzen wird daraus eine einfache Summe. Das ist die direkte Wechselstrom-Entsprechung zur Leitwertaddition $G_{\mathrm{ges}}=G_1+G_2+\dots$ aus der Gleichstromtechnik (ET1-05).

b) Gesamtimpedanz

Aus ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=1/{\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}$ folgt für Betrag und Phase:

$$|{\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}|=\sqrt{1^2+9,63^2}\mathrm{mS}=\sqrt{93,9}\mathrm{mS}\approx 9,68\mathrm{mS}$$ $$\arg ({\underline{Y}}_{\mathrm{ges}})=\arctan \left(\frac{-9,63}{1}\right)\approx -84,1°$$

Mit $|\underline{Z}|=1/|\underline{Y}|$ und $\arg (\underline{Z})=-\arg (\underline{Y})$:

$$|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|=\frac{1}{9,68\mathrm{mS}}\approx \underline{103\mathrm{\Omega }},\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})\approx \underline{+84,1°}$$

Der Phasenwinkel ist positiv — die Impedanz hat einen positiven Imaginärteil — die Schaltung wirkt induktiv.

c) Teilströme und Gesamtstrom

Mit der Spannung als Bezugsphase ($\underline{U}=10\mathrm{V}\angle 0°$) gilt für die Einzelströme ${\underline{I}}_i={\underline{Y}}_i\cdot \underline{U}$:

$$I_R=U\cdot |{\underline{Y}}_R|=10\mathrm{V}\cdot 1\mathrm{mS}=\underline{10,0\mathrm{mA}},{\phi }_{I_R}=0°$$ $$I_L=U\cdot |{\underline{Y}}_L|=10\mathrm{V}\cdot 15,92\mathrm{mS}\approx \underline{159\mathrm{mA}},{\phi }_{I_L}=-90°$$ $$I_C=U\cdot |{\underline{Y}}_C|=10\mathrm{V}\cdot 6,28\mathrm{mS}\approx \underline{62,8\mathrm{mA}},{\phi }_{I_C}=+90°$$

Woher kommen die Phasenwinkel 0°, -90° und +90°?

Bei der Multiplikation ${\underline{I}}_i={\underline{Y}}_i\cdot \underline{U}$ addieren sich die Phasen: ${\phi }_{I_i}=\arg ({\underline{Y}}_i)+\arg (\underline{U})$. Mit $\arg (\underline{U})=0°$ wird der Stromphasenwinkel direkt zum Argument der Admittanz:

• ${\underline{Y}}_R=1\mathrm{mS}$ ist reell positiv → ${\phi }_{I_R}=0°$ (Strom in Phase mit der Spannung)
• ${\underline{Y}}_L=-j15,92\mathrm{mS}$ ist negativ imaginär → ${\phi }_{I_L}=-90°$ (Strom eilt nach)
• ${\underline{Y}}_C=+j6,28\mathrm{mS}$ ist positiv imaginär → ${\phi }_{I_C}=+90°$ (Strom eilt vor)

Diese Phasenbeziehungen sind die Grundregel für R, L und C im Wechselstromkreis — Merksatz: „Kondensator — Strom vor, Spule — Strom nach” (siehe ET2-04 Abschnitt 5.1).

Der Gesamtstrom folgt aus ${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Y}}_{\mathrm{ges}}\cdot \underline{U}$ — oder alternativ über $|{\underline{I}}_{\mathrm{ges}}|=U/|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|$:

$$I_{\mathrm{ges}}=\frac{U}{|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|}=\frac{10\mathrm{V}}{103\mathrm{\Omega }}\approx \underline{96,8\mathrm{mA}},{\phi }_{I_{\mathrm{ges}}}=-\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})\approx \underline{-84,1°}$$

Woher kommt das Minuszeichen vor dem Argument?

Aus der Division komplexer Zeiger ${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}=\underline{U}/{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$: Beträge werden geteilt, Phasen subtrahiert:

$\arg ({\underline{I}}_{\mathrm{ges}})=\arg (\underline{U})-\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})$

Da die Spannung als Bezugsphase $\underline{U}=U\angle 0°$ gewählt wurde, fällt $\arg (\underline{U})=0°$ weg, und es bleibt für den Stromphasenwinkel${\phi }_{I_{\mathrm{ges}}}=-\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})$. Anschaulich: Bei induktiver Impedanz ($\arg (\underline{Z})>0$) eilt der Strom der Spannung nach — daher das negative Vorzeichen.

Plausibilitätscheck — Knotenregel

An einem Knoten gilt ${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}={\underline{I}}_R+{\underline{I}}_L+{\underline{I}}_C$ (Kirchhoff). Mit den komplexen Werten:
${\underline{I}}_R+{\underline{I}}_L+{\underline{I}}_C=10-j159+j62,8\mathrm{mA}=(10-j96,3)\mathrm{mA}$
Betrag: $\sqrt{10^2+96,3^2}\mathrm{mA}\approx 96,8\mathrm{mA}$ ✓

Die Beträge der Teilströme dürfen also nicht addiert werden — $159+62,8+10=232\mathrm{mA}$ wäre falsch.

d) Charakter der Schaltung

Die Schaltung wirkt bei $f=1\mathrm{kHz}$ induktiv. Begründung:

• Der induktive Teilstrom $I_L\approx 159\mathrm{mA}$ ist mehr als doppelt so groß wie der kapazitive Teilstrom $I_C\approx 62,8\mathrm{mA}$. Beide stehen um $180°$ gegenüber, der resultierende Blindstrom $I_L-I_C\approx 96,3\mathrm{mA}$ ist daher induktiv (nacheilend).
• Konsistent dazu hat ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ einen positiven Phasenwinkel ($+84,1°$), und der Gesamtstrom eilt der Spannung um $84,1°$ nach.

Brücke zu Abschnitt 7: Parallelresonanz

Bei welcher Frequenz wären $I_L$ und $I_C$ betragsmäßig gleich groß? Aus $\omega L=1/(\omega C)$ folgt ${\omega }_{\mathrm{res}}=1/\sqrt{LC}$ — exakt dieselbe Resonanzbedingung wie beim Reihenschwingkreis. Mit den Werten dieser Aufgabe: $f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{0,01\cdot 10^{-6}}}\mathrm{Hz}\approx 1,59\mathrm{kHz}$. Bei dieser Frequenz heben sich ${\underline{I}}_L$ und ${\underline{I}}_C$ exakt auf, und es fließt nur noch $I_R$ — das ist die Parallelresonanz (auch Stromresonanz). Sie verhält sich qualitativ entgegengesetzt zur Reihenresonanz aus Abschnitt 7: Dort wird $|\underline{Z}|$ minimal, hier wird $|\underline{Z}|$ maximal.

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