Übung ET2-04.04 – RC-Spannungsteiler bei zwei Frequenzen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Gegeben ist ein RC-Spannungsteiler mit $R=1,0\mathrm{k\Omega }$ und $C=100\mathrm{nF}$. Die Eingangsspannung ${\underline{U}}_1$ liegt zwischen den äußeren Klemmen, die Ausgangsspannung ${\underline{U}}_2$ wird über dem Kondensator abgegriffen:

a) Leiten Sie das Übertragungsverhältnis $\underline{H}(\omega )={\underline{U}}_2/{\underline{U}}_1$ in geschlossener Form aus dem komplexen Spannungsteiler her. Schreiben Sie das Ergebnis in der kompakten Form $\underline{H}(\omega )=1/(1+j\omega RC)$.

b) Berechnen Sie Betrag $|\underline{H}|$ und Phasenwinkel $\arg (\underline{H})$ bei $f_1=100\mathrm{Hz}$ und bei $f_2=10\mathrm{kHz}$.

c) Was bedeuten die beiden Ergebnisse, wenn die Eingangsspannung jeweils ${\hat{u}}_1=5\mathrm{V}$ Amplitude hat? Geben Sie die Ausgangsamplitude und die Phasenverschiebung gegenüber dem Eingang qualitativ an.

d) Bei welcher Grenzfrequenz $f_g$ fällt $|\underline{H}|$ auf $1/\sqrt{2}\approx 0,707$ ($\widehat{=}-3\mathrm{dB}$)? Stellen Sie zunächst eine allgemeine Formel auf und setzen Sie dann die Zahlenwerte ein.

Lösung

a) $\underline{H}(\omega )=1/(1+j\omega RC)$ — direkte Anwendung des Spannungsteilers mit ${\underline{Z}}_C=1/(j\omega C)$
b) bei $100\mathrm{Hz}$: $|H|\approx 0,998$, $\arg (H)\approx -3,6°$ — bei $10\mathrm{kHz}$: $|H|\approx 0,157$, $\arg (H)\approx -81°$
c) bei $100\mathrm{Hz}$: nahezu unverändert durchgereicht; bei $10\mathrm{kHz}$: stark gedämpft auf ca. $0,79\mathrm{V}$, fast $90°$ Phasenversatz — typisches Tiefpassverhalten
d) $f_g=1/(2\pi RC)\approx 1,59\mathrm{kHz}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=1,0\mathrm{k\Omega }=1000\mathrm{\Omega }$
• $C=100\mathrm{nF}=100\cdot 10^{-9}\mathrm{F}=10^{-7}\mathrm{F}$
• Frequenzen: $f_1=100\mathrm{Hz}$, $f_2=10\mathrm{kHz}$
• Eingangsamplitude (Teil c): ${\hat{u}}_1=5\mathrm{V}$

Bekannt:

• Komplexer Spannungsteiler (ET2-04 Abschnitt 7.3 / ET2-03): ${\underline{U}}_2={\underline{U}}_1\cdot {\underline{Z}}_C/({\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_C)$
• Impedanzen: ${\underline{Z}}_R=R$, ${\underline{Z}}_C=1/(j\omega C)$
• Betrag und Phase einer komplexen Zahl $1/(1+jx)$: $|H|=1/\sqrt{1+x^2}$, $\arg (H)=-\arctan (x)$

Gesucht

a) $\underline{H}(\omega )={\underline{U}}_2/{\underline{U}}_1$ in geschlossener Form
b) $|\underline{H}|$ und $\arg (\underline{H})$ bei $f_1$ und $f_2$
c) Interpretation für ${\hat{u}}_1=5\mathrm{V}$
d) Grenzfrequenz $f_g$ mit $|\underline{H}|=1/\sqrt{2}$

a) Übertragungsverhältnis

Die Schaltung ist ein komplexer Spannungsteiler. Mit der Spannungsteilerregel:

$$\underline{H}(\omega )=\frac{{\underline{U}}_2}{{\underline{U}}_1}=\frac{{\underline{Z}}_C}{{\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}$$

Erweitern mit $j\omega C$ in Zähler und Nenner:

$$\underline{H}(\omega )=\frac{1}{j\omega RC+1}=\underline{\frac{1}{1+j\omega RC}}$$

Das Produkt $RC$ hat die Einheit Sekunde und heißt Zeitkonstante $\tau =RC$. Mit $\omega \tau =\omega RC$ wird die Übertragungsfunktion zu:

$$\underline{H}(\omega )=\frac{1}{1+j\omega \tau }$$

Diese Form heißt PT1-Glied und ist die Standardform jedes RC-Tiefpasses 1. Ordnung.

b) Betrag und Phase bei $f_1$ und $f_2$

Mit $\tau =RC=1000\mathrm{\Omega }\cdot 10^{-7}\mathrm{F}=10^{-4}\mathrm{s}$ und $\omega =2\pi f$:

$$|\underline{H}(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}},\arg (\underline{H}(\omega ))=-\arctan (\omega \tau )$$

Bei $f_1=100\mathrm{Hz}$:

$${\omega }_1\tau =2\pi \cdot 100\mathrm{Hz}\cdot 10^{-4}\mathrm{s}\approx 0,0628$$ $$|{\underline{H}}_1|=\frac{1}{\sqrt{1+0,0628^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,00395}}\approx \underline{0,998}$$ $$\arg ({\underline{H}}_1)=-\arctan (0,0628)\approx \underline{-3,6°}$$

Bei $f_2=10\mathrm{kHz}$:

$${\omega }_2\tau =2\pi \cdot 10000\mathrm{Hz}\cdot 10^{-4}\mathrm{s}\approx 6,283$$ $$|{\underline{H}}_2|=\frac{1}{\sqrt{1+6,283^2}}=\frac{1}{\sqrt{40,48}}\approx \underline{0,157}$$ $$\arg ({\underline{H}}_2)=-\arctan (6,283)\approx \underline{-81,0°}$$

c) Interpretation bei ${\hat{u}}_1=5\mathrm{V}$

Die Ausgangsamplitude ist ${\hat{u}}_2=|\underline{H}|\cdot {\hat{u}}_1$, die Ausgangsphase ergibt sich durch Addition von $\arg (\underline{H})$ zur Eingangsphase.

Bei $f_1=100\mathrm{Hz}$:

$${\hat{u}}_2(f_1)\approx 0,998\cdot 5\mathrm{V}\approx 4,99\mathrm{V},\Delta \phi \approx -3,6°$$

Das Signal wird fast unverändert durchgereicht. Die kleine Phasennacheilung ist im Oszilloskop-Bild kaum erkennbar.

Bei $f_2=10\mathrm{kHz}$:

$${\hat{u}}_2(f_2)\approx 0,157\cdot 5\mathrm{V}\approx 0,79\mathrm{V},\Delta \phi \approx -81°$$

Das Signal wird auf etwa ein Sechstel seiner Amplitude reduziert und um knapp $90°$ in der Phase nach hinten verschoben. Das ist typisches Tiefpassverhalten: niedrige Frequenzen passieren, hohe werden gedämpft.

d) Grenzfrequenz $-3\mathrm{dB}$

Allgemein gilt:

$$|\underline{H}(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\iff 1+(\omega \tau {)}^2=2\iff \omega \tau =1\iff {\omega }_g=\frac{1}{RC}$$

Daraus folgt die Grenzfrequenz:

$$f_g=\frac{{\omega }_g}{2\pi }=\underline{\frac{1}{2\pi RC}}$$

Mit den gegebenen Werten:

$$f_g=\frac{1}{2\pi \cdot 1000\mathrm{\Omega }\cdot 10^{-7}\mathrm{F}}=\frac{1}{6,283\cdot 10^{-4}\mathrm{s}}\approx \underline{1591\mathrm{Hz}\approx 1,59\mathrm{kHz}}$$

Bei dieser Frequenz beträgt die Ausgangsamplitude exakt $1/\sqrt{2}\approx 70,7\%$ der Eingangsamplitude und die Phasenverschiebung beträgt genau $-45°$.

Plausibilität der beiden Messpunkte

$f_1=100\mathrm{Hz}$ liegt weit unterhalb $f_g$ ($f_1/f_g\approx 1/16$): Der Tiefpass ist hier in seinem Durchlassbereich, $|H|\to 1$, Phase $\to 0°$.
$f_2=10\mathrm{kHz}$ liegt weit oberhalb $f_g$ ($f_2/f_g\approx 6,3$): Der Tiefpass ist hier im Sperrbereich, $|H|\to 0$, Phase $\to -90°$.
Genau das geben die Zahlen aus Teil b) wieder.

Im Kontext von ET2

Das hier eingeführte Konzept der Übertragungsfunktion $\underline{H}(\omega )$ ist das Werkzeug der Wahl, sobald in ET2-05 systematisch Filter und Schwingkreise behandelt werden. In Praktikum 2 messen Sie genau diese Übertragungsfunktion punktweise mit dem Funktionsgenerator und dem Oszilloskop und vergleichen die Messpunkte mit der hier hergeleiteten Formel — Ihr Bode-Diagramm wird genau die zwei Grenzgeraden mit Knickpunkt bei $f_g$ zeigen.

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