Übung ET2-04.02 – Frequenzgang von Blindwiderständen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-28)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Gegeben sind ein Kondensator mit $C=1,0\mu \mathrm{F}$ und eine ideale Spule mit $L=100\mathrm{mH}$. Beide werden in einem weiten Frequenzbereich betrieben.

a) Füllen Sie die folgende Tabelle der Beträge der Blindwiderstände aus:

$f$	$|X_C|=1/(\omega C)$	$X_L=\omega L$
$10\mathrm{Hz}$	?	?
$100\mathrm{Hz}$	?	?
$1\mathrm{kHz}$	?	?
$10\mathrm{kHz}$	?	?

b) Welche Frequenzabhängigkeit zeigen $|X_C|$ und $X_L$ qualitativ (z. B. „verzehnfacht/halbiert sich, wenn die Frequenz…”)? Wie würden die beiden Verläufe in einem doppelt-logarithmischen Diagramm aussehen (Gestalt und Steigung der Geraden)?

c) Bezeichnen Sie das Verhalten qualitativ: Welches Bauelement wirkt als Tiefpass-Element (lässt niedrige Frequenzen leichter durch) und welches als Hochpass-Element? Begründen Sie über die Beträge.

d) Was passiert in den beiden Grenzfällen $f\to 0$ (Gleichstrom) und $f\to \infty$? Welches praktische Verhalten der Bauelemente leitet sich daraus ab?

Lösung

a) $|X_C|$: $15,9\mathrm{k\Omega }$ / $1,59\mathrm{k\Omega }$ / $159\mathrm{\Omega }$ / $15,9\mathrm{\Omega }$ — $X_L$: $6,28\mathrm{\Omega }$ / $62,8\mathrm{\Omega }$ / $628\mathrm{\Omega }$ / $6,28\mathrm{k\Omega }$
b) $|X_C|\propto 1/f$ (verzehnfache $f$ → ein Zehntel), $X_L\propto f$ (verzehnfache $f$ → das Zehnfache); im doppelt-log Diagramm zwei Geraden mit Steigung $-1$ (Kondensator) und $+1$ (Spule)
c) Kondensator → Hochpass-Element (sperrt tiefe Frequenzen); Spule → Tiefpass-Element (sperrt hohe Frequenzen)
d) $f\to 0$: Kondensator sperrt, Spule wird Kurzschluss. $f\to \infty$: umgekehrt.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $C=1,0\mu \mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$
• $L=100\mathrm{mH}=0,1\mathrm{H}$
• Frequenzliste: $10\mathrm{Hz}$, $100\mathrm{Hz}$, $1\mathrm{kHz}$, $10\mathrm{kHz}$

Bekannt (ET2-04 Abschnitt 3.5 / Abschnitt 4.5):

• $|X_C|=1/(\omega C)$ — fällt umgekehrt proportional zu $\omega$
• $X_L=\omega L$ — wächst direkt proportional zu $\omega$
• $\omega =2\pi f$

Vorzeichen vs. Betrag

Die Lektion definiert $X_C=-1/(\omega C)$ vorzeichenbehaftet (siehe ET2-04 Abschnitt 3.4). Frequenzgang-Tabellen und doppelt-logarithmische Diagramme arbeiten naturgemäß mit dem Betrag $|X_C|=1/(\omega C)$ — der Logarithmus negativer Zahlen wäre sonst nicht definiert. Die Vorzeicheninformation steckt weiterhin in der komplexen Impedanz ${\underline{Z}}_C=-j/(\omega C)$ und im Phasenwinkel ${\phi }_C=-90°$ und geht hier nicht verloren.

Gesucht

a) $|X_C|(f)$, $X_L(f)$ tabellarisch
b) Qualitative Frequenzabhängigkeit, doppelt-log Darstellung
c) Tiefpass-/Hochpass-Zuordnung
d) Grenzfälle $f\to 0$ und $f\to \infty$

a) Tabelle

Hilfsgrößen für $f=1\mathrm{Hz}$ als Referenz: ${\omega }_1=2\pi {\mathrm{s}}^{-1}$, $|X_C|(1\mathrm{Hz})=1/(2\pi \cdot 10^{-6})\approx 159,15\mathrm{k\Omega }$, $X_L(1\mathrm{Hz})=2\pi \cdot 0,1\approx 0,628\mathrm{\Omega }$. Beide Größen skalieren danach linear in $1/f$ bzw. $f$.

Beispielrechnung für $f=100\mathrm{Hz}$:

$$|X_C|=\frac{1}{2\pi \cdot 100\mathrm{Hz}\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=\frac{1}{6,283\cdot 10^{-4}\mathrm{S}}\approx 1591,5\mathrm{\Omega }$$ $$X_L=2\pi \cdot 100\mathrm{Hz}\cdot 0,1\mathrm{H}\approx 62,83\mathrm{\Omega }$$

Vollständige Tabelle:

$f$	$|X_C|=1/(\omega C)$	$X_L=\omega L$
$10\mathrm{Hz}$	$\underline{15,92\mathrm{k\Omega }}$	$\underline{6,283\mathrm{\Omega }}$
$100\mathrm{Hz}$	$\underline{1,592\mathrm{k\Omega }}$	$\underline{62,83\mathrm{\Omega }}$
$1\mathrm{kHz}$	$\underline{159,2\mathrm{\Omega }}$	$\underline{628,3\mathrm{\Omega }}$
$10\mathrm{kHz}$	$\underline{15,92\mathrm{\Omega }}$	$\underline{6,283\mathrm{k\Omega }}$

b) Frequenzabhängigkeit und doppelt-log Darstellung

Qualitativ:

• Verzehnfacht man $f$, so fällt $|X_C|$ auf ein Zehntel.
• Verzehnfacht man $f$, so wächst $X_L$ auf das Zehnfache.

Das ist genau das Verhalten von $1/f$ bzw. $f$ — beides Potenzfunktionen vom Grad $\mp 1$.

Doppelt-logarithmische Darstellung: Trägt man ${\log }_{10}(X)$ über ${\log }_{10}(f)$ auf, so erscheinen Potenzfunktionen $X=a\cdot f^n$ als Geraden mit Steigung $n$:

$$\log |X_C|=-\log f-\log (2\pi C)\Rightarrow \text{Steigung }-1$$ $$\log X_L=+\log f+\log (2\pi L)\Rightarrow \text{Steigung }+1$$

Die beiden Geraden kreuzen sich an genau einer Stelle. Aus den Tabellenwerten lesen wir den Schnittpunkt zwischen $100\mathrm{Hz}$ und $1\mathrm{kHz}$ ab. Rechnerisch ($|X_C|=X_L$):

$$\frac{1}{\omega C}=\omega L\Rightarrow {\omega }^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Mit den gegebenen Werten:

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{0,1\mathrm{H}\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}}=\frac{1}{2\pi \cdot 3,162\cdot 10^{-4}\mathrm{s}}\approx 503\mathrm{Hz}$$

Bei dieser Frequenz beträgt $|X_C|=X_L\approx 316\mathrm{\Omega }$. Bemerkenswert: Diese Frequenz $f_0$ ist die Resonanzfrequenz eines Reihenschwingkreises aus dem gegebenen $L$ und $C$ — sie ist Hauptthema der nächsten Lektion ET2-05.

c) Tiefpass / Hochpass

Stellt man sich beide Bauelemente jeweils als Längsglied in einem Spannungsteiler vor (also in Reihe zur Last), gilt: Je größer $|X|$, desto stärker dämpft das Bauelement.

Kondensator als Längsglied:

• Bei tiefen Frequenzen: $|X_C|$ groß → starke Dämpfung
• Bei hohen Frequenzen: $|X_C|$ klein → fast Kurzschluss
• Hochfrequente Signale „kommen durch”, niederfrequente werden gesperrt
• ⇒ Hochpass-Verhalten

Spule als Längsglied:

• Bei tiefen Frequenzen: $X_L$ klein → fast Kurzschluss
• Bei hohen Frequenzen: $X_L$ groß → starke Dämpfung
• Niederfrequente Signale „kommen durch”, hochfrequente werden gesperrt
• ⇒ Tiefpass-Verhalten

d) Grenzfälle

Grenzfall	Kondensator	Spule	Praktische Konsequenz
$f\to 0$ (DC)	$|X_C|\to \infty$, sperrt	$X_L\to 0$, Kurzschluss (bis auf Drahtwiderstand)	Kondensatoren werden zur Gleichstromtrennung zwischen Schaltungsstufen eingesetzt; eine Spule (Drossel) lässt im DC-Pfad nahezu beliebigen Strom fließen
$f\to \infty$	$|X_C|\to 0$, Kurzschluss	$X_L\to \infty$, sperrt	Kondensatoren werden zur Hochfrequenz-Ableitung an die Masse geschaltet (Stütz- und Abblockkondensatoren); Drosseln blockieren Hochfrequenzstörungen (z. B. Funkentstördrosseln)

Eselsbrücke „Was lässt es durch?"

• C lässt AC durch und blockiert DC (engl. „capacitor blocks DC, passes AC”)
• L lässt DC durch und blockiert AC (engl. „inductor passes DC, blocks AC”)

Das ist die qualitative Kurzform der Frequenzgänge — und der erste Schritt zu jedem Filterentwurf.

Im Kontext von ET2

Die nächste Übung ET2-04.04 kombiniert R und C zum Spannungsteiler und berechnet das frequenzabhängige Übertragungsverhältnis konkret. Damit wird aus dem qualitativen „Hochpass/Tiefpass-Element” der quantitative Frequenzgang einer Schaltung — die Grundlage für Praktikum 2.

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