Übung ET2-04.01 – Kondensator und Spule am 50-Hz-Netz (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-28)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

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Aufgabe

In dieser Aufgabe vergleichen Sie das Verhalten eines Kondensators und einer idealen Spule direkt nebeneinander an derselben Netzspannung. Beide Bauelemente werden einzeln (also nicht zusammen verschaltet) zwischen die Klemmen einer Steckdose gehängt.

• Kondensator: $C=4,7\mu \mathrm{F}$
• Spule (ideal, $R=0$): $L=250\mathrm{mH}$
• Klemmenspannung: $u(t)=\hat{u}\cdot \sin (\omega t)$ mit $U=230\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$

a) Berechnen Sie den Betrag des kapazitiven Blindwiderstands $|X_C|$ und den induktiven Blindwiderstand $X_L$.

b) Bestimmen Sie für jedes Bauelement den Effektivwert des Stroms.

c) Geben Sie für jedes Bauelement die vollständige Stromzeitfunktion $i(t)$ an (Amplitude und Phasenlage gegenüber $u(t)$).

d) Welches der beiden Bauelemente zieht den größeren Strom? Ein Kollege fragt: „Wenn ich beide parallel an die Steckdose hänge, fließt dann $I_C+I_L$ oder etwas anderes?” Antworten Sie qualitativ und begründen Sie mit den Phasenlagen.

Lösung

a) $|X_C|\approx 677\mathrm{\Omega }$, $X_L\approx 78,5\mathrm{\Omega }$
b) $I_C\approx 340\mathrm{mA}$, $I_L\approx 2,93\mathrm{A}$
c) $i_C(t)=0,480\mathrm{A}\cdot \sin (\omega t+90°)$, $i_L(t)=4,14\mathrm{A}\cdot \sin (\omega t-90°)$
d) Die Spule zieht knapp das 9-fache; bei Parallelschaltung subtrahieren sich die Beträge der Blindströme (Vorzeichen entgegengesetzt), nicht addieren.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Kapazität: $C=4,7\mu \mathrm{F}=4,7\cdot 10^{-6}\mathrm{F}$
• Induktivität: $L=250\mathrm{mH}=0,25\mathrm{H}$
• Spannungseffektivwert: $U=230\mathrm{V}$
• Frequenz: $f=50\mathrm{Hz}$, also $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Beträge der Blindwiderstände (ET2-04 Abschnitt 3 / Abschnitt 4): $|X_C|=1/(\omega C)$, $X_L=\omega L$
• Phasenwinkel: Kondensator ${\phi }_C=-90°$ (Strom eilt der Spannung vor), Spule ${\phi }_L=+90°$ (Strom eilt nach)
• Effektivwert: $I=U/|\underline{Z}|$
• Amplitude: $\hat{ı}=\sqrt{2}\cdot I$

Gesucht

a) $|X_C|$, $X_L$
b) $I_C$, $I_L$
c) $i_C(t)$, $i_L(t)$
d) Vergleich, qualitative Diskussion der Parallelschaltung

a) Blindwiderstände

$$|X_C|=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 4,7\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=\frac{1}{1,476\cdot 10^{-3}\mathrm{S}}\approx \underline{677\mathrm{\Omega }}$$ $$X_L=\omega L=314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,25\mathrm{H}\approx \underline{78,5\mathrm{\Omega }}$$

b) Effektivwerte der Ströme

Da beide Bauelemente einzeln an derselben Spannung liegen, gilt $I=U/|\underline{Z}|$ jeweils mit $|{\underline{Z}}_C|=|X_C|$ und $|{\underline{Z}}_L|=X_L$:

$$I_C=\frac{U}{|X_C|}=\frac{230\mathrm{V}}{677\mathrm{\Omega }}\approx \underline{0,340\mathrm{A}=340\mathrm{mA}}$$ $$I_L=\frac{U}{X_L}=\frac{230\mathrm{V}}{78,5\mathrm{\Omega }}\approx \underline{2,93\mathrm{A}}$$

c) Stromzeitfunktionen

Die Stromamplituden ergeben sich aus den Effektivwerten:

$${\hat{ı}}_C=\sqrt{2}\cdot I_C\approx \sqrt{2}\cdot 0,340\mathrm{A}\approx 0,480\mathrm{A}$$ $${\hat{ı}}_L=\sqrt{2}\cdot I_L\approx \sqrt{2}\cdot 2,93\mathrm{A}\approx 4,14\mathrm{A}$$

Die Phasenlagen folgen aus den Kernaussagen der Lektion:

• Kondensator: Der Strom eilt der Spannung um $90°$ voraus, also ${\phi }_{i,C}=+90°$ gegenüber $u(t)$.

$$\underline{i_C(t)=0,480\mathrm{A}\cdot \sin (\omega t+90°)}$$

• Spule: Der Strom eilt der Spannung um $90°$ nach, also ${\phi }_{i,L}=-90°$ gegenüber $u(t)$.

$$\underline{i_L(t)=4,14\mathrm{A}\cdot \sin (\omega t-90°)}$$

d) Vergleich und Parallelschaltung

Größenvergleich:

$$\frac{I_L}{I_C}=\frac{2,93\mathrm{A}}{0,340\mathrm{A}}\approx 8,6$$

Die Spule zieht knapp das Neunfache des Kondensatorstroms. Bei $50\mathrm{Hz}$ ist sie das deutlich „durchlässigere” Bauelement.

Parallelschaltung an derselben Steckdose:

Die naive Erwartung „$I_{\mathrm{ges}}=I_C+I_L=3,27\mathrm{A}$” wäre falsch. Beide Ströme schwingen mit derselben Frequenz, aber mit entgegengesetzter Phasenlage: $i_C$ liegt bei $+90°$, $i_L$ bei $-90°$. Sie sind also $180°$ gegenphasig — wenn $i_C$ ihr Maximum hat, ist $i_L$ in ihrem Minimum.

Mit der Knotenregel in komplexer Form (vgl. ET2-03):

$${\underline{I}}_{\mathrm{ges}}={\underline{I}}_C+{\underline{I}}_L=j\cdot 0,340\mathrm{A}+(-j)\cdot 2,93\mathrm{A}=-j\cdot 2,59\mathrm{A}$$ $$I_{\mathrm{ges}}=|{\underline{I}}_{\mathrm{ges}}|\approx 2,59\mathrm{A}$$

Der Gesamtstrom ist kleiner als der Spulenstrom allein. Die beiden Blindströme kompensieren sich teilweise — genau das ist das physikalische Prinzip hinter der Blindstromkompensation, mit der Industriebetriebe ihren induktiven Blindstrom durch parallele Kondensatoren reduzieren.

Vorzeichen vs. Betrag

Die Lektion definiert $X_C=-1/(\omega C)$ vorzeichenbehaftet (siehe ET2-04 Abschnitt 3.4). In dieser Aufgabe rechnen wir konsequent mit dem Betrag $|X_C|=1/(\omega C)$, weil Strombeträge wie $I_C=U/|X_C|$ definitionsgemäß positiv sind und das Vorzeichen aus der Lektionskonvention bereits in der komplexen Impedanz ${\underline{Z}}_C$ und im Phasenwinkel ${\phi }_C=-90°$ steckt. Sobald beide Elemente in derselben Schaltung liegen (z. B. RLC-Reihe), führt man mit der signierten Größe $X_C$ direkt die komplexe Rechnung — dann entsteht die teilweise Auslöschung von selbst.

Im Kontext von ET2

Die zahlenmäßige Dominanz des Spulenstroms gegenüber dem Kondensatorstrom kehrt sich bei höheren Frequenzen um: $X_L$ wächst linear mit $f$, $|X_C|$ fällt mit $1/f$. Es gibt also genau eine Frequenz, bei der $X_L=|X_C|$ gilt — bei dieser Frequenz heben sich beide Blindströme exakt auf. Diese Frequenz heißt Resonanzfrequenz und ist das zentrale Thema von ET2-05 (Schwingkreise und Resonanz). Die Übung ET2-04.02 bereitet den Boden, indem sie $|X_C|(f)$ und $X_L(f)$ tabellarisch nebeneinanderstellt.

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