Übung ET1-07.02 — Ersatzquellen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-09)

Bezug zu ET1-07 Analyse linearer Schaltungen

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Aufgabe

Die skizzierte Schaltung ist gegeben mit:

• Spannungsquelle: $U_0=18\mathrm{V}$ mit Innenwiderstand $R_i=15\Omega$
• Vorwiderstand $R_1=75\Omega$ in Reihe zur Quelle
• Parallel zur Ausgangsklemme: $R_2=1,5\mathrm{k\Omega }$

a) Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle (Thévenin): Leerlaufspannung $U_{\mathrm{qe}}$ und Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}$!
b) Berechnen Sie Klemmenspannung $U$ und Stromstärke $I$ bei angeschlossenem Lastwiderstand $R_{\mathrm{L}}=100\Omega$!
c) Bei welchem Lastwiderstand $R_{\mathrm{L}}$ wird die maximale Leistung übertragen? Wie groß ist diese Leistung?

Lösung

a) $U_{\mathrm{qe}}\approx 17\mathrm{V}$, $R_{\mathrm{ie}}\approx 85\Omega$
b) $U\approx 9,2\mathrm{V}$, $I\approx 92\mathrm{mA}$
c) $R_{\mathrm{L}}\approx 85\Omega$, $P_{\max }\approx 0,85\mathrm{W}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungsquelle: $U_0=18\mathrm{V}$, Innenwiderstand $R_i=15\Omega$
• Widerstände: $R_1=75\Omega$, $R_2=1,5\mathrm{k\Omega }$
• Lastwiderstand: $R_{\mathrm{L}}=100\Omega$ (für Teilaufgabe b)

Bekannt:

• Thévenin-Theorem: Ersatzspannungsquelle mit Leerlaufspannung und Innenwiderstand
• Spannungsteiler: $U_{\mathrm{aus}}=U_{\mathrm{ein}}\cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}$
• Parallelschaltung: $R_{\mathrm{parallel}}=\frac{R_a\cdot R_b}{R_a+R_b}$
• Leistungsanpassung: $P_{\max }$ bei $R_{\mathrm{L}}=R_{\mathrm{ie}}$
• Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R$

Gesucht

a) Leerlaufspannung $U_{\mathrm{qe}}$ in $\mathrm{V}$, Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}$ in $\Omega$
b) Klemmenspannung $U$ in $\mathrm{V}$, Strom $I$ in $\mathrm{A}$
c) Lastwiderstand $R_{\mathrm{L}}$ für maximale Leistung in $\Omega$, maximale Leistung $P_{\max }$ in $\mathrm{W}$

a) Ersatzspannungsquelle (Thévenin)

Leerlaufspannung $U_{\mathrm{qe}}$:
Bei offenen Klemmen (Leerlauf, ohne $R_{\mathrm{L}}$) fließt der Strom durch die Reihenschaltung von $R_i$, $R_1$ und $R_2$:

Gesamtwiderstand im Leerlauf:

$$R_{\mathrm{gesamt}}=R_i+R_1+R_2=15\Omega +75\Omega +1500\Omega =1590\Omega$$

Strom im Leerlauf:

$$I_{\mathrm{Leerlauf}}=\frac{U_0}{R_{\mathrm{gesamt}}}=\frac{18\mathrm{V}}{1590\Omega }\approx 0,01132\mathrm{A}=11,32\mathrm{mA}$$

Leerlaufspannung (= Spannung über $R_2$):

$$U_{\mathrm{qe}}=R_2\cdot I_{\mathrm{Leerlauf}}=1500\Omega \cdot 0,01132\mathrm{A}=16,98\mathrm{V}\approx \underline{17\mathrm{V}}$$

Alternativ mit Spannungsteiler:

$$U_{\mathrm{qe}}=U_0\cdot \frac{R_2}{R_i+R_1+R_2}=18\mathrm{V}\cdot \frac{1500\Omega }{1590\Omega }=16,98\mathrm{V}\approx \underline{17\mathrm{V}}$$

Innenwiderstand $R_{\mathrm{ie}}$:
Zur Bestimmung des Innenwiderstands wird die Spannungsquelle deaktiviert (kurzgeschlossen).

Die Reihenschaltung von $R_i$ und $R_1$ liegt dann parallel zu $R_2$:

$$R_{\mathrm{ie}}=\frac{(R_i+R_1)\cdot R_2}{(R_i+R_1)+R_2}=\frac{90\Omega \cdot 1500\Omega }{90\Omega +1500\Omega }=\frac{135000{\Omega }^2}{1590\Omega }=84,91\Omega \approx \underline{85\Omega }$$

b) Klemmenspannung und Strom bei $R_{\mathrm{L}}=100\Omega$

Mit der Ersatzspannungsquelle:

Laststrom:

$$I=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{R_{\mathrm{ie}}+R_{\mathrm{L}}}=\frac{16,98\mathrm{V}}{84,91\Omega +100\Omega }=\frac{16,98\mathrm{V}}{184,91\Omega }=91,84\mathrm{mA}\approx \underline{92\mathrm{mA}}$$

Klemmenspannung:

$$U=U_{\mathrm{qe}}-R_{\mathrm{ie}}\cdot I=16,98\mathrm{V}-84,91\Omega \cdot 0,09184\mathrm{A}\approx 16,98\mathrm{V}-7,80\mathrm{V}=9,18\mathrm{V}\approx \underline{9,2\mathrm{V}}$$

Alternativ:

$$U=R_{\mathrm{L}}\cdot I=100\Omega \cdot 0,0918\mathrm{A}=9,18\mathrm{V}\approx \underline{9,2\mathrm{V}}$$

c) Maximale Leistungsübertragung

Lastwiderstand für maximale Leistung:

Bei Leistungsanpassung gilt:

$$R_{\mathrm{L}}=R_{\mathrm{ie}}=84,91\Omega \approx \underline{85\Omega }$$

Maximale Leistung:
Strom bei Leistungsanpassung:

$$I_{\max }=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{R_{\mathrm{ie}}+R_{\mathrm{L}}}=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{2\cdot R_{\mathrm{ie}}}=\frac{16,98\mathrm{V}}{2\cdot 84,91\Omega }=\frac{16,98\mathrm{V}}{169,81\Omega }=100\mathrm{mA}$$

Maximale Leistung an der Last:

$$P_{\max }=R_{\mathrm{L}}\cdot I_{\max }^2=84,91\Omega \cdot (0,1\mathrm{A}{)}^2=84,91\Omega \cdot 0,01{\mathrm{A}}^2=0,8491\mathrm{W}\approx \underline{0,85\mathrm{W}}$$

Alternativ:

$$P_{\max }=\frac{U_{\mathrm{qe}}^2}{4\cdot R_{\mathrm{ie}}}=\frac{(16,98\mathrm{V}{)}^2}{4\cdot 84,91\Omega }=\frac{288,3{\mathrm{V}}^2}{339,6\Omega }=0,8491\mathrm{W}\approx \underline{0,85\mathrm{W}}$$

Leistungsanpassung

Bei Leistungsanpassung ($R_{\mathrm{L}}=R_{\mathrm{ie}}$) wird die maximale Leistung an die Last übertragen. Dabei gilt:

• Die Spannung teilt sich gleichmäßig auf: $U_{\mathrm{L}}=\frac{U_{\mathrm{qe}}}{2}$
• Der Wirkungsgrad beträgt nur 50% (die andere Hälfte der Leistung wird im Innenwiderstand in Wärme umgewandelt)
  In der Praxis wird Leistungsanpassung nur angestrebt, wenn maximale Leistungsübertragung wichtiger ist als Wirkungsgrad (z.B. in der Nachrichtentechnik)