Übung ET2-06.06 – Blindleistungskompensation einer Werkstattfräse (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Eine einphasige Werkstattfräse wird am $230\mathrm{V}$-Netz ($f=50\mathrm{Hz}$) betrieben. Aus dem Datenblatt ergeben sich die Wirkleistung $P=7,5\mathrm{kW}$ und der Leistungsfaktor $\cos {\phi }_1=0,65$ (induktiv). Die Zuleitung von der Unterverteilung zum Maschinenstandort hat den Widerstand $R_L=0,25\Omega$. Durch eine Einzelkompensation mit einem parallel geschalteten Kondensator soll der Leistungsfaktor auf $\cos {\phi }_2=0,92$ verbessert werden.

Gegeben: $U=230\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$, $P=7,5\mathrm{kW}$, $\cos {\phi }_1=0,65$, $\cos {\phi }_2=0,92$, $R_L=0,25\Omega$

a) Berechnen Sie die Scheinleistung $S_1$, den Netzstrom $I_1$ und die Blindleistung $Q_1$ vor der Kompensation.

b) Dimensionieren Sie den Kompensationskondensator: Bestimmen Sie die erforderliche Kompensationsblindleistung $Q_C$ und die Kapazität $C$.

c) Berechnen Sie die Scheinleistung $S_2$ und den Netzstrom $I_2$ nach der Kompensation. Um wie viel Prozent sinkt der Netzstrom?

d) Wie viel Watt Leitungsverlust ($P_V=I^2\cdot R_L$) wird durch die Kompensation eingespart? Um wie viel Prozent reduzieren sich die Leitungsverluste — und warum ist diese prozentuale Reduktion deutlich größer als die prozentuale Stromreduktion aus c)?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $U=230\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$, also $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$
• $P=7,5\mathrm{kW}$
• $\cos {\phi }_1=0,65$ (vor Kompensation, induktiv)
• $\cos {\phi }_2=0,92$ (Ziel nach Kompensation)
• $R_L=0,25\Omega$ (Zuleitungswiderstand)

Bekannt:

• Scheinleistung: $S=P/\cos \phi$
• Blindleistung: $Q=P\cdot \tan \phi$
• Netzstrom: $I=S/U$
• Kompensationsblindleistung: $Q_C=P\cdot (\tan {\phi }_1-\tan {\phi }_2)$
• Kompensationskapazität: $C=Q_C/(\omega U^2)$
• Leitungsverluste (ET1-04): $P_V=I^2\cdot R_L$

Gesucht

a) $S_1$, $I_1$, $Q_1$
b) $Q_C$, $C$
c) $S_2$, $I_2$, prozentuale Stromreduktion
d) $\Delta P_V$, prozentuale Verlustreduktion und Begründung des überproportionalen Effekts

a) Zustand vor der Kompensation

Phasenwinkel:

$${\phi }_1=\arccos (0,65)\approx 49,46°$$

Scheinleistung:

$$S_1=\frac{P}{\cos {\phi }_1}=\frac{7500\mathrm{W}}{0,65}\approx 11538\mathrm{VA}\approx \underline{11,54\mathrm{kVA}}$$

Netzstrom:

$$I_1=\frac{S_1}{U}=\frac{11538\mathrm{VA}}{230\mathrm{V}}\approx \underline{50,2\mathrm{A}}$$

Blindleistung (mit $\tan (49,46°)\approx 1,169$):

$$Q_1=P\cdot \tan {\phi }_1=7500\mathrm{W}\cdot 1,169\approx 8770\mathrm{var}\approx \underline{+8,77\mathrm{kvar}}$$

(positiv, weil induktiv)

b) Kompensationskondensator

Ziel-Phasenwinkel:

$${\phi }_2=\arccos (0,92)\approx 23,07°$$

Erforderliche Kompensationsblindleistung: Mit $\tan (49,46°)\approx 1,169$ und $\tan (23,07°)\approx 0,4264$:

$$Q_C=P\cdot (\tan {\phi }_1-\tan {\phi }_2)=7500\mathrm{W}\cdot (1,169-0,4264)$$ $$Q_C=7500\cdot 0,7427\mathrm{var}\approx 5570\mathrm{var}\approx \underline{5,57\mathrm{kvar}}$$

Kapazität:

$$C=\frac{Q_C}{\omega \cdot U^2}=\frac{5570\mathrm{var}}{314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot (230\mathrm{V}{)}^2}=\frac{5570}{314,16\cdot 52900}\mathrm{F}$$ $$C=\frac{5570}{16,62\cdot 10^6}\mathrm{F}\approx 335\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=\underline{335\mu \mathrm{F}}$$

Praktischer Bezug

Eine Kapazität von $335\mu \mathrm{F}$ wird in der Praxis nicht als ein einzelnes Bauteil beschafft, sondern als fertige Kompensationseinheit für die Maschine — typischerweise eine Baugruppe mit mehreren parallelen Folienkondensatoren, Schmelzsicherung und Entladewiderstand zur sicheren Spannungsabschaltung beim Trennen vom Netz.

c) Zustand nach der Kompensation

Die Wirkleistung $P$ ändert sich durch den Kondensator nicht (idealer Kondensator nimmt keine Wirkleistung auf). Mit dem neuen Leistungsfaktor:

$$S_2=\frac{P}{\cos {\phi }_2}=\frac{7500\mathrm{W}}{0,92}\approx 8152\mathrm{VA}\approx \underline{8,15\mathrm{kVA}}$$ $$I_2=\frac{S_2}{U}=\frac{8152\mathrm{VA}}{230\mathrm{V}}\approx \underline{35,4\mathrm{A}}$$

Stromreduktion:

$$\Delta I=\frac{I_1-I_2}{I_1}\cdot 100\%=\frac{50,2-35,4}{50,2}\cdot 100\%\approx \underline{29,4\%}$$

Der Netzstrom sinkt also um knapp ein Drittel — die Wirkleistung der Fräse bleibt unverändert.

d) Einsparung an Leitungsverlusten

Leitungsverluste vor Kompensation:

$$P_{V,1}=I_1^2\cdot R_L=(50,2\mathrm{A}{)}^2\cdot 0,25\Omega \approx 2520{\mathrm{A}}^2\cdot 0,25\Omega \approx \underline{630\mathrm{W}}$$

Leitungsverluste nach Kompensation:

$$P_{V,2}=I_2^2\cdot R_L=(35,4\mathrm{A}{)}^2\cdot 0,25\Omega \approx 1253{\mathrm{A}}^2\cdot 0,25\Omega \approx \underline{313\mathrm{W}}$$

Differenz:

$$\Delta P_V=P_{V,1}-P_{V,2}\approx 630-313\mathrm{W}\approx \underline{317\mathrm{W}}$$

Prozentuale Verlustreduktion:

$$\frac{\Delta P_V}{P_{V,1}}\cdot 100\%=\frac{317}{630}\cdot 100\%\approx \underline{50,3\%}$$

Warum die Verluste so viel stärker sinken als der Strom: Weil die Verluste quadratisch mit dem Strom skalieren ($P_V\propto I^2$), gilt

$$\frac{P_{V,2}}{P_{V,1}}={\left(\frac{I_2}{I_1}\right)}^2={\left(\frac{35,4}{50,2}\right)}^2\approx 0,7052^2\approx 0,497.$$

Die Verluste sinken also auf knapp die Hälfte ($\approx 50\%$ Reduktion), obwohl der Strom „nur” um $\approx 30\%$ sinkt. Dieser quadratische Hebel ist das eigentliche wirtschaftliche Argument für die Blindleistungskompensation: kleine Stromreduktionen werden zu großen Verlustreduktionen.

Das gilt für jede Last

Die Beziehung „$x\%$ weniger Strom $\Rightarrow$ $1-(1-x{)}^2$ Anteil weniger Verluste” ist universell — sie hängt nicht vom konkreten Verbraucher ab, sondern allein an $P_V\propto I^2$. Eine $20\%$-Stromreduktion bringt schon $36\%$ Verlustreduktion, eine $50\%$-Stromreduktion sogar $75\%$. Wer in der Energietechnik Kosten senken will, schaut deshalb zuerst auf den Strom (bzw. den Leistungsfaktor), nicht auf die Wirkleistung.

Brücke zu ET2-10 — vom Einzelfall zum Betrieb

An diesem einen Verbraucher hängen $317\mathrm{W}$ Verlustreduktion. Bei $2000h/a$ Betrieb sind das $634kWh/a$ pro Maschine — bei einem Strompreis von $0,20EUR/kWh$ also $127EUR/a$. Skaliert auf einen ganzen Industriebetrieb mit Dutzenden induktiver Verbraucher und längeren Zuleitungen wird daraus schnell ein vierstelliger Eurobetrag pro Jahr — wie in ET2-10 noch ausführlich diskutiert.