Übung ET2-05.06 – RLC-Reihenschwingkreis (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

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Aufgabe

Ein RLC-Reihenschwingkreis nach Abschnitt 7 der Lektion wird mit einer sinusförmigen Wechselspannung mit Effektivwert $U_E=2\mathrm{V}$ betrieben.

Gegeben: $R=50\mathrm{\Omega }$, $L=10\mathrm{mH}$, $C=100\mathrm{nF}$, $U_E=2\mathrm{V}$

a) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}$ und die Güte $Q$ des Schwingkreises.
b) Wie groß ist der Strom $I$ bei Resonanzfrequenz? Welche Spannungen $U_R$, $U_L$ und $U_C$ liegen an den drei Bauelementen an?
c) Welcher Charakter (kapazitiv / ohmsch / induktiv) liegt vor bei den Frequenzen $f_a=1\mathrm{kHz}$ (deutlich unter Resonanz), $f_b=f_{\mathrm{res}}$ und $f_c=20\mathrm{kHz}$ (deutlich über Resonanz)? Begründen Sie kurz mit dem Vorzeichen des Imaginärteils von ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$.
d) Der Widerstand wird verdoppelt auf $R^{\prime }=100\mathrm{\Omega }$. Wie ändern sich $f_{\mathrm{res}}$, $Q$ und die Spannungsüberhöhung an Spule und Kondensator?

Lösung

a) $f_{\mathrm{res}}\approx 5,03\mathrm{kHz}$, $Q\approx 6,32$
b) Bei Resonanz: $I=U_E/R=40,0\mathrm{mA}$, $U_R=U_E=2,00\mathrm{V}$, $U_L=U_C=Q\cdot U_E\approx 12,6\mathrm{V}$
c) bei $1\mathrm{kHz}$: kapazitiv ($\mathrm{Im}(\underline{Z})<0$); bei $f_{\mathrm{res}}$: ohmsch; bei $20\mathrm{kHz}$: induktiv ($\mathrm{Im}(\underline{Z})>0$)
d) $f_{\mathrm{res}}$ unverändert (nicht von $R$ abhängig); $Q^{\prime }=Q/2\approx 3,16$; $U_L^{\prime }=U_C^{\prime }\approx 6,32\mathrm{V}$ — Spannungsüberhöhung halbiert sich.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=50\mathrm{\Omega }$
• $L=10\mathrm{mH}=10^{-2}\mathrm{H}$
• $C=100\mathrm{nF}=10^{-7}\mathrm{F}$
• $U_E=2\mathrm{V}$ (Effektivwert)

Bekannt:

• Gesamtimpedanz Reihenschwingkreis (ET2-05 Abschnitt 7.1): ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R+j(\omega L-1/(\omega C))$
• Resonanzfrequenz (ET2-05 Abschnitt 7.2): $f_{\mathrm{res}}=1/(2\pi \sqrt{LC})$
• Güte (ET2-05 Abschnitt 7.4): $Q=(1/R)\sqrt{L/C}$
• Spannungsüberhöhung bei Resonanz: $U_L(f_{\mathrm{res}})=U_C(f_{\mathrm{res}})=Q\cdot U_E$

Gesucht

a) $f_{\mathrm{res}}$ und $Q$
b) Strom $I$ und Spannungen $U_R$, $U_L$, $U_C$ bei Resonanz
c) Charakter bei $1\mathrm{kHz}$, $f_{\mathrm{res}}$ und $20\mathrm{kHz}$ mit Begründung
d) $f_{\mathrm{res}}^{\prime }$, $Q^{\prime }$, $U_L^{\prime }$, $U_C^{\prime }$ bei verdoppeltem Widerstand

a) Resonanzfrequenz und Güte

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-2}\cdot 10^{-7}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-9}}}=\frac{1}{2\pi \cdot 3,162\cdot 10^{-5}}\mathrm{Hz}$$ $$f_{\mathrm{res}}\approx \frac{1}{1,987\cdot 10^{-4}}\mathrm{Hz}\approx \underline{5,03\mathrm{kHz}}$$

Für die Güte verwenden wir die zweite der drei äquivalenten Formen aus Abschnitt 7.4:

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{50}\sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-7}}}=\frac{1}{50}\sqrt{10^5}=\frac{316,2}{50}\approx \underline{6,32}$$

b) Strom und Spannungen bei Resonanz

Bei der Resonanzfrequenz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf, ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}(f_{\mathrm{res}})=R$, der Strom wird maximal:

$$I=\frac{U_E}{R}=\frac{2\mathrm{V}}{50\mathrm{\Omega }}=\underline{40,0\mathrm{mA}}$$

Über dem Widerstand fällt die gesamte Eingangsspannung ab:

$$U_R=R\cdot I=50\mathrm{\Omega }\cdot 40\mathrm{mA}=\underline{2,00\mathrm{V}}=U_E$$

Über Spule und Kondensator ergibt sich die für Resonanz charakteristische Spannungsüberhöhung um den Faktor $Q$:

$$U_L=U_C=Q\cdot U_E=6,32\cdot 2\mathrm{V}\approx \underline{12,6\mathrm{V}}$$

Plausibilitätscheck

Aus der Definition $Q={\omega }_{\mathrm{res}}L/R$ folgt direkt ${\omega }_{\mathrm{res}}L=Q\cdot R$. Damit:
$U_L={\omega }_{\mathrm{res}}L\cdot I=Q\cdot R\cdot \frac{U_E}{R}=Q\cdot U_E$ ✓
Analog für $U_C=I/({\omega }_{\mathrm{res}}C)$ mit $1/({\omega }_{\mathrm{res}}C)=Q\cdot R$.

Spannungsüberhöhung im Schwingkreis

Trotz einer Eingangsspannung von nur $2\mathrm{V}$ liegen an Spule und Kondensator jeweils $12,6\mathrm{V}$ an — mehr als das Sechsfache der Eingangsspannung. Bei der Auswahl der Bauelemente ist diese Überhöhung zu berücksichtigen: Der Kondensator muss spannungsfest genug sein. Im Praktikum darf die Eingangsspannung daher nicht beliebig hochgedreht werden.

c) Charakter bei verschiedenen Frequenzen

Wir berechnen den Imaginärteil $X=\omega L-1/(\omega C)$ an den drei Frequenzen.

Bei $f_a=1\mathrm{kHz}$ (${\omega }_a=2\pi \cdot 10^3\approx 6283{\mathrm{s}}^{-1}$):

$$X_a=6283\cdot 10^{-2}-\frac{1}{6283\cdot 10^{-7}}\mathrm{\Omega }=62,83\mathrm{\Omega }-1592\mathrm{\Omega }\approx \underline{-1529\mathrm{\Omega }}$$

$X_a<0$ → kapazitives Verhalten: Der kapazitive Blindwiderstand $1/(\omega C)$ ist bei niedrigen Frequenzen dominant, der Strom eilt der Spannung voraus.

Bei $f_b=f_{\mathrm{res}}\approx 5,03\mathrm{kHz}$:

$$X_b={\omega }_{\mathrm{res}}L-\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{res}}C}=0$$

Das definiert die Resonanz — rein ohmsches Verhalten, ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R$, Strom in Phase mit Spannung.

Bei $f_c=20\mathrm{kHz}$ (${\omega }_c=2\pi \cdot 20\cdot 10^3\approx 1,257\cdot 10^5{\mathrm{s}}^{-1}$):

$$X_c=1,257\cdot 10^5\cdot 10^{-2}-\frac{1}{1,257\cdot 10^5\cdot 10^{-7}}\mathrm{\Omega }=1257\mathrm{\Omega }-79,6\mathrm{\Omega }\approx \underline{+1177\mathrm{\Omega }}$$

$X_c>0$ → induktives Verhalten: Der induktive Blindwiderstand $\omega L$ wächst linear mit der Frequenz und überwiegt oberhalb $f_{\mathrm{res}}$, der Strom eilt der Spannung nach.

d) Verdoppelter Widerstand: $R^{\prime }=100\mathrm{\Omega }$

Resonanzfrequenz:

$$f_{\mathrm{res}}^{\prime }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=f_{\mathrm{res}}\approx \underline{5,03\mathrm{kHz}}$$

Die Resonanzfrequenz bleibt unverändert — sie hängt nur von $L$ und $C$ ab, nicht von $R$.

Güte:

$$Q^{\prime }=\frac{1}{R^{\prime }}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{100}\sqrt{10^5}=\frac{316,2}{100}\approx \underline{3,16}=\frac{Q}{2}$$

Die Güte halbiert sich, weil $Q$ umgekehrt proportional zu $R$ ist.

Spannungsüberhöhung:

$$U_L^{\prime }=U_C^{\prime }=Q^{\prime }\cdot U_E=3,16\cdot 2\mathrm{V}\approx \underline{6,32\mathrm{V}}=\frac{U_L}{2}$$

Die Spannungsüberhöhung halbiert sich entsprechend. Anschaulich: Der größere ohmsche Widerstand setzt mehr Energie pro Periode in Wärme um, weniger Energie pendelt zwischen $L$ und $C$ — die Resonanz ist „flacher”.

Wirkung des ohmschen Widerstandes auf die Resonanzkurve

Eine kleinere Güte bedeutet zugleich:

• Niedrigerer Spitzenstrom bei $f_{\mathrm{res}}$: $I_{\max }^{\prime }=U_E/R^{\prime }=20\mathrm{mA}$ statt $40\mathrm{mA}$
• Breitere Resonanzkurve: Der Strom fällt links und rechts von $f_{\mathrm{res}}$ langsamer ab — die Bandbreite (Frequenzbereich, in dem der Strom $\ge I_{\max }/\sqrt{2}$ ist) wird größer
• Schwächere Frequenzselektivität: Der Schwingkreis trennt benachbarte Frequenzen schlechter

Ein hoher $R$ macht den Schwingkreis also „träger” und unselektiver — was in mancher Anwendung gewünscht ist (breitbandige Filter), in anderer unerwünscht (Frequenzselektion im Empfänger).

Brücke zu PR2 und ET2-06

Im Praktikum 2 werden Sie mit Werten in dieser Größenordnung selbst arbeiten ($L=80\mathrm{mH}$, andere $C$ und $R$). Beobachten Sie dort konkret, wie sich die Resonanzfrequenz vorhersagen lässt, wo der Strom maximal wird, und wie groß die Spannungen an Spule und Kondensator wirklich werden.

In ET2-06 wird die Energiebilanz des Schwingkreises noch präziser fassbar: Bei Resonanz wird die gesamte zugeführte Wirkleistung im ohmschen Widerstand umgesetzt, während Spule und Kondensator nur Blindleistung pendeln lassen. Die Güte $Q$ erhält dort eine zweite Interpretation als $Q=2\pi \cdot \text{(gespeicherte Energie)}/\text{(Energieverlust pro Periode)}$.

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