Übung ET2-05.01 – RLC-Reihenschaltung bei einer festen Frequenz (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

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Aufgabe

Eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand $R$, einer Spule $L$ und einem Kondensator $C$ wird mit einer sinusförmigen Wechselspannung mit Effektivwert $U_E=10\mathrm{V}$ und Frequenz $f=100\mathrm{Hz}$ betrieben.

Gegeben: $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=50\mathrm{mH}$, $C=10\mu \mathrm{F}$, $U_E=10\mathrm{V}$, $f=100\mathrm{Hz}$

a) Berechnen Sie die komplexe Gesamtimpedanz ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ in kartesischer Form sowie ihren Betrag $Z$ und ihren Phasenwinkel ${\phi }_Z$.
b) Wie groß ist der Effektivwert des Stromes $I$? Eilt der Strom der Spannung voraus oder hinterher?
c) Bestimmen Sie die Effektivwerte der Spannungen $U_R$, $U_L$ und $U_C$ über den drei Bauelementen.
d) Wirkt die Schaltung bei $f=100\mathrm{Hz}$ insgesamt eher induktiv oder eher kapazitiv? Begründen Sie kurz.

Lösung

a) ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=(100-j127,7)\mathrm{\Omega }$, $Z\approx 162\mathrm{\Omega }$, ${\phi }_Z\approx -51,9°$
b) $I\approx 61,6\mathrm{mA}$ — der Strom eilt der Spannung um $51,9°$ voraus (kapazitives Verhalten)
c) $U_R\approx 6,16\mathrm{V}$, $U_L\approx 1,94\mathrm{V}$, $U_C\approx 9,81\mathrm{V}$
d) Kapazitiv, weil bei $f=100\mathrm{Hz}$ der kapazitive Blindwiderstand $1/(\omega C)\approx 159\mathrm{\Omega }$ deutlich größer ist als der induktive $\omega L\approx 31,4\mathrm{\Omega }$. Der Imaginärteil von ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ ist negativ.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=100\mathrm{\Omega }$
• $L=50\mathrm{mH}=0,05\mathrm{H}$
• $C=10\mu \mathrm{F}=10^{-5}\mathrm{F}$
• $U_E=10\mathrm{V}$ (Effektivwert)
• $f=100\mathrm{Hz}$

Bekannt:

• Reihenschaltung von Impedanzen (ET2-05 Abschnitt 1.1): ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}={\underline{Z}}_R+{\underline{Z}}_L+{\underline{Z}}_C$
• Komplexe Impedanzen (ET2-04): ${\underline{Z}}_R=R$, ${\underline{Z}}_L=j\omega L$, ${\underline{Z}}_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}$
• Kreisfrequenz: $\omega =2\pi f$
• Ohmsches Gesetz im Wechselstromkreis: $\underline{I}=\underline{U}/\underline{Z}$, Effektivwerte: $U=|\underline{Z}|\cdot I$

Gesucht

a) ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$, $Z=|{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}|$, ${\phi }_Z=\arg ({\underline{Z}}_{\mathrm{ges}})$
b) $I$ und Phasenlage gegenüber $U_E$
c) $U_R$, $U_L$, $U_C$
d) Charakter der Schaltung (induktiv/kapazitiv) mit Begründung

a) Gesamtimpedanz

Zunächst berechnen wir die Kreisfrequenz und die drei Einzelimpedanzen:

$$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 100{\mathrm{s}}^{-1}\approx 628,3{\mathrm{s}}^{-1}$$ $${\underline{Z}}_R=R=100\mathrm{\Omega }$$ $${\underline{Z}}_L=j\omega L=j\cdot 628,3\cdot 0,05\mathrm{\Omega }=j31,42\mathrm{\Omega }$$ $${\underline{Z}}_C=-\frac{j}{\omega C}=-\frac{j}{628,3\cdot 10^{-5}}\mathrm{\Omega }=-j159,2\mathrm{\Omega }$$

Die Gesamtimpedanz ergibt sich als Summe — Realteile und Imaginärteile separat:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)=100\mathrm{\Omega }+j(31,42-159,2)\mathrm{\Omega }=\underline{(100-j127,7)\mathrm{\Omega }}$$

Betrag und Phase:

$$Z=\sqrt{100^2+127,7^2}\mathrm{\Omega }=\sqrt{26,31\cdot 10^3}\mathrm{\Omega }\approx \underline{162\mathrm{\Omega }}$$ $${\phi }_Z=\arctan \left(\frac{-127,7}{100}\right)\approx \underline{-51,9°}$$

b) Effektivwert des Stromes

$$I=\frac{U_E}{Z}=\frac{10\mathrm{V}}{162\mathrm{\Omega }}\approx \underline{61,6\mathrm{mA}}$$

Die Phasenlage des Stromes folgt aus $\underline{I}=\underline{U}/\underline{Z}$:

$$\arg (\underline{I})=\arg (\underline{U})-\arg (\underline{Z})=0°-(-51,9°)=+51,9°$$

Der Strom eilt der Spannung um $51,9°$ voraus — typisches Verhalten einer überwiegend kapazitiven Schaltung.

c) Spannungen über den Bauelementen

In einer Reihenschaltung fließt durch alle Elemente derselbe Strom. Die Effektivwerte der Einzelspannungen ergeben sich aus $U_i=|{\underline{Z}}_i|\cdot I$:

$$U_R=R\cdot I=100\mathrm{\Omega }\cdot 61,6\mathrm{mA}\approx \underline{6,16\mathrm{V}}$$ $$U_L=\omega L\cdot I=31,42\mathrm{\Omega }\cdot 61,6\mathrm{mA}\approx \underline{1,94\mathrm{V}}$$ $$U_C=\frac{1}{\omega C}\cdot I=159,2\mathrm{\Omega }\cdot 61,6\mathrm{mA}\approx \underline{9,81\mathrm{V}}$$

Plausibilitätscheck

Die Effektivwerte addieren sich nicht zu $U_E$, weil die Spannungen unterschiedliche Phasenlagen haben. Korrekt ist die komplexe Addition: ${\underline{U}}_E={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C$, wobei ${\underline{U}}_R$ in Phase mit $\underline{I}$, ${\underline{U}}_L$ um $90°$ voreilend und ${\underline{U}}_C$ um $90°$ nacheilend ist. Mit dem Strom als Bezugsphase folgt $|{\underline{U}}_E|=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C{)}^2}=\sqrt{6,16^2+(1,94-9,81{)}^2}\mathrm{V}\approx 10,0\mathrm{V}$. ✓

d) Charakter der Schaltung

Bei $f=100\mathrm{Hz}$ wirkt die Schaltung kapazitiv. Begründung in zwei Sätzen:

• Der kapazitive Blindwiderstand $1/(\omega C)\approx 159\mathrm{\Omega }$ ist deutlich größer als der induktive $\omega L\approx 31,4\mathrm{\Omega }$. Der resultierende Imaginärteil von ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$ ist negativ ($-127,7\mathrm{\Omega }$), und der Strom eilt der Spannung voraus — das ist die kanonische Signatur eines überwiegend kapazitiven Verhaltens.

Brücke zu Abschnitt 7: Was passiert bei höherer Frequenz?

Mit steigender Frequenz wächst $\omega L$ linear, während $1/(\omega C)$ sinkt. Bei einer bestimmten Frequenz heben sich beide Beiträge exakt auf — das ist die Resonanzfrequenz $f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$. Mit den Werten dieser Aufgabe ergibt sich $f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{0,05\cdot 10^{-5}}}\mathrm{Hz}\approx 225\mathrm{Hz}$. Bei dieser Frequenz wäre die Schaltung rein ohmsch (${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R$), und der Strom maximal. Dieses Verhalten wird in Übung ET2-05.06 systematisch untersucht.

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