Übung ET2-04.06 – Reihenschaltung als Parallelersatz (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

Aufgabe

In dieser Aufgabe geht es um eine typische Fehlerquelle beim Übergang zwischen Impedanz und Admittanz. Die Reflexion am Ende führt zu einer Aussage, die in der Praxis häufig falsch verwendet wird.

Eine RL-Reihenschaltung besteht aus $R_{s} = 8, 0 Ω$ und $L_{s} = 25, 5 mH$ . Sie wird bei $f = 50 Hz$ betrieben.

a) Berechnen Sie zunächst die komplexe Impedanz $\underline{Z} = R_{s} + j X_{L s}$ und daraus die komplexe Admittanz $\underline{Y} = G + j B$ in kartesischer Form.

b) Vergleichen Sie $G$ mit $1/ R_{s}$ . Sind beide Werte gleich? Geben Sie das Verhältnis $G / (1/ R_{s})$ in Prozent an.

c) Zur Reihenschaltung soll ein frequenzgleicher Parallelersatzkreis $R_{p} ∥ L_{p}$ konstruiert werden, der an seinen Klemmen dieselbe Impedanz $\underline{Z}$ erzeugt. Bestimmen Sie aus $G$ und $B$ die Werte $R_{p}$ und $L_{p}$ . Vergleichen Sie diese mit den ursprünglichen Werten $R_{s}$ und $L_{s}$ .

d) Wie ändert sich der Quotient $R_{p} / R_{s}$ als Funktion der Frequenz? Diskutieren Sie die Grenzfälle $ω \to 0$ und $ω \to \infty$ qualitativ.

Lösung

a) $\underline{Z} = (8 + j 8, 0) Ω$ , $\underline{Y} = (0, 0625 - j 0, 0625) S$
b) $G = 0, 0625 S$ , $1/ R_{s} = 0, 125 S$ — also $G$ ist nur halb so groß, $G / (1/ R_{s}) = 50 %$
c) $R_{p} = 16 Ω = 2 R_{s}$ , $L_{p} \approx 50, 9 mH = 2 L_{s}$
d) $R_{p} / R_{s} = 1 + (X / R)^{2}$ — bei $ω \to 0$ geht $R_{p} \to R_{s}$ , bei $ω \to \infty$ geht $R_{p} \to \infty$

◀️ zur Aufgabe

Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

$R_{s} = 8, 0 Ω$
$L_{s} = 25, 5 mH = 0, 0255 H$
$f = 50 Hz$ , also $ω = 2 π f \approx 314, 16 s^{- 1}$

Bekannt:

Impedanz und Admittanz (ET2-04 Abschnitt 6): $\underline{Y} = 1/ \underline{Z}$
Bei $\underline{Z} = R + j X$ gilt $\underline{Y} = (R - j X) / (R^{2} + X^{2})$ , also $G = R / (R^{2} + X^{2})$ , $B = - X / (R^{2} + X^{2})$
Caution-Box Abschnitt 6.3: $G \neq = 1/ R$ im Allgemeinen
Parallelersatz: Eine Schaltung $R_{p} ∥ L_{p}$ hat die Admittanz $\underline{Y} = 1/ R_{p} + 1/ (jω L_{p}) = 1/ R_{p} - j / (ω L_{p})$ , also $G = 1/ R_{p}$ und $B = - 1/ (ω L_{p})$

Gesucht

a) $\underline{Z}$ , $\underline{Y}$
b) $G$ vs. $1/ R_{s}$
c) $R_{p}$ , $L_{p}$
d) Frequenzabhängigkeit von $R_{p} / R_{s}$

a) Impedanz und Admittanz

Induktiver Blindwiderstand:

X_{L s} = ω L_{s} = 314, 16 s^{- 1} \cdot 0, 0255 H \approx 8, 011 Ω

(Das Bauteil ist mit Bedacht so gewählt, dass $X_{L s} \approx R_{s}$ ist — der Phasenwinkel beträgt damit $45°$ . Im Folgenden runden wir auf $X_{L s} = 8, 0 Ω$ .)

Komplexe Impedanz:

\underline{Z} = R_{s} + j X_{L s} = \underline{(8, 0 + j 8, 0) Ω}

Quadrat des Betrags:

∣ \underline{Z} ∣^{2} = R_{s}^{2} + X_{L s}^{2} = 64 + 64 = 128 Ω^{2}

Komplexe Admittanz durch Erweitern mit dem konjugiert Komplexen:

\underline{Y} = \frac{1}{Z} = \frac{R _{s} - j X _{L s}}{R _{s}^{2} + X _{L s}^{2}} = \frac{8 , 0 - j 8 , 0}{128} S = \underline{(0, 0625 - j 0, 0625) S}

Also:

G = 0, 0625 S = \underline{62, 5 mS}, B = - 0, 0625 S = \underline{- 62, 5 mS}

b) Vergleich $G$ mit $1/ R_{s}$

\frac{1}{R _{s}} = \frac{1}{8 , 0 Ω} = 0, 125 S = 125 mS

\frac{G}{1/ R _{s}} = \frac{0 , 0625}{0 , 125} = 0, 5 = \underline{50 %}

Der Wirkleitwert ist nur halb so groß wie der Kehrwert des ohmschen Widerstands. Die naive Annahme $G = 1/ R$ wäre also um Faktor 2 falsch — und damit jede daraus gefolgerte Aussage zur Wirkleistung. Das ist genau der Inhalt der Caution-Box in Abschnitt 6.3.

c) Parallelersatz

Damit der Parallelkreis dieselbe Klemmenadmittanz hat, müssen Real- und Imaginärteil übereinstimmen:

G = \frac{1}{R _{p}} \Rightarrow R_{p} = \frac{1}{G} = \frac{1}{0 , 0625 S} = \underline{16 Ω}

B = - \frac{1}{ω L _{p}} \Rightarrow L_{p} = - \frac{1}{ω B} = - \frac{1}{314 , 16 s ^{- 1} \cdot ( - 0 , 0625 S )} = \frac{1}{19 , 635 S/s} \approx \underline{0, 0509 H = 50, 9 mH}

Vergleich: $R_{p} = 16 Ω = 2 \cdot R_{s}$ , und $L_{p} \approx 50, 9 mH = 2 \cdot L_{s}$ . Beim hier gewählten Sonderfall $X = R$ (also $φ = 45°$ ) ist die Verdoppelung exakt — beide Bauteilwerte verdoppeln sich beim Übergang Reihen- auf Parallelersatz.

Probe: Klemmenimpedanz des Parallelersatzes berechnen:

\underline{Z}_{p} = R_{p} ∥ jω L_{p} = \frac{R _{p} \cdot jω L _{p}}{R _{p} + jω L _{p}} = \frac{16 \cdot j 16}{16 + j 16} Ω = \frac{j 256}{16 ( 1 + j )} Ω

= \frac{j 16}{1 + j} \cdot \frac{1 - j}{1 - j} Ω = \frac{j 16 ( 1 - j )}{2} Ω = \frac{j 16 + 16}{2} Ω = (8 + j 8) Ω ✓

Die Klemmenimpedanz stimmt. Der Parallelkreis ist also nur bei der Auslegungsfrequenz $f = 50 Hz$ äquivalent zur Reihenschaltung. Bei anderen Frequenzen weichen die Klemmenimpedanzen voneinander ab — die Äquivalenz ist keine Eigenschaft der Bauteile, sondern eine Eigenschaft des Klemmenverhaltens an einer bestimmten Frequenz.

d) Frequenzabhängigkeit von $R_{p} / R_{s}$

Allgemein gilt aus $G = R_{s} / (R_{s}^{2} + X^{2})$ und $R_{p} = 1/ G$ :

R_{p} = \frac{R _{s}^{2} + X ^{2}}{R _{s}} = R_{s} + \frac{X ^{2}}{R _{s}} \Rightarrow \frac{R _{p}}{R _{s}} = 1 + (\frac{X}{R _{s}})^{2}

Mit $X = ω L_{s}$ ist das eine monoton wachsende Funktion der Frequenz.

Grenzfall $ω \to 0$ : $X \to 0$ , daher $R_{p} \to R_{s}$ . Im Gleichstromfall „verschwindet” der Unterschied zwischen Reihen- und Parallelersatz, weil die Spule zum Kurzschluss wird und die Schaltung sich zu $R_{s}$ allein reduziert.

Grenzfall $ω \to \infty$ : $X \to \infty$ , daher $R_{p} \to \infty$ . Bei sehr hohen Frequenzen wird die Spule zum Sperrelement, der Strom ist stark begrenzt, und der äquivalente Parallelwiderstand nimmt jeden Wert an — denn bei einem Parallelkreis bestimmt der jeweils kleinere Zweig den Strom, hier dominiert die Spulen-Zweigadmittanz.

$ω L_{s} / R_{s}$	Phasenwinkel $φ$	$R_{p} / R_{s}$
$0$	$0°$	$1$
$1/3$	$\approx 18°$	$\approx 1, 11$
$1$ (hier)	$45°$	$2$
$3$	$\approx 72°$	$10$
$\to \infty$	$\to 90°$	$\to \infty$

Die Tabelle zeigt: Solange $X ≪ R$ (überwiegend ohmsche Schaltung), ist die Näherung $R_{p} \approx R_{s}$ akzeptabel. Sobald $X$ in die Größenordnung von $R$ kommt, weichen die beiden Ersatzdarstellungen deutlich voneinander ab.

Merksatz

Reihen- und Parallelersatz sind nur bei einer einzigen Frequenz äquivalent. Bei anderen Frequenzen sind sie es nicht — die Bauteilwerte $R_{p}$ , $L_{p}$ wären andere. Wer ein und dieselbe Schaltung im breiten Frequenzbereich modellieren will, muss sich für eine Topologie entscheiden und dabei bleiben. Welche „die richtige” ist, ergibt sich aus der physikalischen Struktur der Schaltung (z. B. Drahtwiderstand der Spule liegt physikalisch in Reihe mit der Induktivität, also Reihenmodell).

Wann braucht man trotzdem den Parallelersatz?

Der Parallelersatz ist nützlich, wenn man eine Reihenschaltung gemeinsam mit einem Parallelelement zusammenfassen will — typisch bei der Berechnung gemischter Schaltungen, wo Reihen- und Parallelteile abwechselnd auftreten. Auch in der Hochfrequenztechnik ist er Standard, weil dort viele Bauelemente näherungsweise als Parallelkombinationen modelliert werden.

Im Kontext von ET2

Die Beobachtung, dass $G \neq = 1/ R$ und $R_{p} \neq = R_{s}$ gelten kann, ist die Voraussetzung für korrekte Leistungsbilanzen in ET2-06. Die Wirkleistung berechnet sich dort über $P = U^{2} \cdot G$ (an der Admittanz) bzw. $P = I^{2} \cdot R$ (am Widerstand). Wer hier die Caution-Box ignoriert und mit $G = 1/ R_{s}$ rechnet, bekommt eine doppelt so große Wirkleistung — und damit einen falschen Wirkungsgrad oder einen falsch dimensionierten Kompensationskondensator.

Status melden

Wie sind Sie mit dieser Übung zurechtgekommen? Geben Sie Ihren Status auf tweedback.de/2317 ab.

Wattsinside

Übung ET2-04.06 – Reihenschaltung als Parallelersatz (Lösung)

Aufgabe

Lösung

Gegeben

Gesucht

a) Impedanz und Admittanz

b) Vergleich $G$ mit $1/ R_{s}$

c) Parallelersatz

d) Frequenzabhängigkeit von $R_{p} / R_{s}$

Inhaltsverzeichnis

Backlinks

Wattsinside

Übung ET2-04.06 – Reihenschaltung als Parallelersatz (Lösung)

Aufgabe

Lösung

Gegeben

Gesucht

a) Impedanz und Admittanz

b) Vergleich G mit 1/Rs​

c) Parallelersatz

d) Frequenzabhängigkeit von Rp​/Rs​

Inhaltsverzeichnis

Backlinks

b) Vergleich $G$ mit $1/ R_{s}$

d) Frequenzabhängigkeit von $R_{p} / R_{s}$