Übung ET2-04.03 – RL-Reihenschaltung als Glättungsdrossel (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

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Aufgabe

In einer Beleuchtungsanlage wird zur Strombegrenzung eine Glättungsdrossel mit einem ohmschen Vorwiderstand in Reihe geschaltet. Die folgende Schaltung wird an einer Wechselspannung mit $U=24\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$ betrieben:

a) Berechnen Sie die komplexe Impedanz $\underline{Z}$ in kartesischer Form, den Scheinwiderstand $Z$ und den Phasenwinkel $\phi$.

b) Bestimmen Sie den Effektivwert des Stroms $I$.

c) Berechnen Sie die Effektivwerte der Teilspannungen $U_R$ und $U_L$.

d) Skizzieren Sie das Zeigerdiagramm der drei Spannungen ${\underline{U}}_R$, ${\underline{U}}_L$ und $\underline{U}$ mit dem Strom $\underline{I}$ als Bezugsgröße auf der reellen Achse.

e) Probe: Berechnen Sie $\sqrt{U_R^2+U_L^2}$ und vergleichen Sie mit der Klemmenspannung $U$. Warum darf man die Teilspannungen nicht skalar addieren ($U_R+U_L=?$ wäre falsch)?

Lösung

a) $\underline{Z}=(15+j18,85)\mathrm{\Omega }$, $Z\approx 24,1\mathrm{\Omega }$, $\phi \approx 51,5°$
b) $I\approx 0,996\mathrm{A}$
c) $U_R\approx 14,9\mathrm{V}$, $U_L\approx 18,8\mathrm{V}$
d) Skizze (rechtwinkliges Spannungsdreieck)
e) $\sqrt{U_R^2+U_L^2}\approx 24,0\mathrm{V}=U✓$ — skalare Summe wäre $33,7\mathrm{V}$ und damit $40\%$ zu groß

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=15\mathrm{\Omega }$, $L=60\mathrm{mH}=0,06\mathrm{H}$
• $U=24\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$
• $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Reihenschaltung in komplexer Form (ET2-04 Abschnitt 5.4): $\underline{Z}=R+j\omega L$
• Scheinwiderstand: $Z=\sqrt{R^2+X_L^2}$
• Phasenwinkel: $\phi =\arctan (X_L/R)$
• Bei Reihenschaltung: gleicher Strom durch alle Bauelemente, Maschenregel als Zeigeraddition der Spannungen (Abschnitt 7.2)

Gesucht

a) $\underline{Z}$, $Z$, $\phi$
b) $I$
c) $U_R$, $U_L$
d) Zeigerdiagramm
e) Probe und Begründung

a) Komplexe Impedanz, Scheinwiderstand, Phasenwinkel

Induktiver Blindwiderstand:

$$X_L=\omega L=314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,06\mathrm{H}\approx 18,85\mathrm{\Omega }$$

Komplexe Impedanz:

$$\underline{Z}=R+j{X}_L=\underline{(15+j18,85)\mathrm{\Omega }}$$

Scheinwiderstand:

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{15^2+18,85^2}\mathrm{\Omega }=\sqrt{225+355,3}\mathrm{\Omega }=\sqrt{580,3}\mathrm{\Omega }\approx \underline{24,09\mathrm{\Omega }}$$

Phasenwinkel:

$$\phi =\arctan \frac{X_L}{R}=\arctan \frac{18,85}{15}=\arctan (1,257)\approx \underline{51,5°}$$

Polarform: $\underline{Z}=24,1\mathrm{\Omega }\cdot e^{j51,5°}$. Die Spannung eilt dem Strom um $51,5°$ voraus — das Verhalten ist überwiegend induktiv, aber noch nicht rein induktiv ($\phi <90°$).

b) Effektivwert des Stroms

$$I=\frac{U}{Z}=\frac{24\mathrm{V}}{24,09\mathrm{\Omega }}\approx \underline{0,996\mathrm{A}}$$

c) Teilspannungen

In der Reihenschaltung fließt durch beide Bauelemente derselbe Strom $I$. Die Effektivwerte der Teilspannungen folgen direkt aus dem Ohmschen Gesetz für die jeweilige Impedanz:

$$U_R=R\cdot I=15\mathrm{\Omega }\cdot 0,996\mathrm{A}\approx \underline{14,94\mathrm{V}}$$ $$U_L=X_L\cdot I=18,85\mathrm{\Omega }\cdot 0,996\mathrm{A}\approx \underline{18,77\mathrm{V}}$$

d) Zeigerdiagramm

Bezugsgröße ist der Strom (gemeinsame Größe der Reihenschaltung). Wir legen ihn auf die positive reelle Achse:

• ${\underline{U}}_R=R\cdot \underline{I}$ liegt in Phase mit $\underline{I}$, also auf der reellen Achse, Länge $14,94\mathrm{V}$.
• ${\underline{U}}_L=j\omega L\cdot \underline{I}$ eilt $\underline{I}$ um $90°$ voraus, also in Richtung der positiven imaginären Achse, Länge $18,77\mathrm{V}$.
• $\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, Länge $24\mathrm{V}$, unter dem Winkel $\phi =51,5°$ zur reellen Achse.

Die drei Spannungszeiger bilden ein rechtwinkliges Dreieck — das Spannungsdreieck, das sich vollständig analog zum Impedanzdreieck verhält ($U_R/Z=R$, $U_L/Z=X_L$, $U/Z=Z$, alles mit dem gemeinsamen Faktor $I$).

e) Probe und Begründung

Aus dem Zeigerdiagramm folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$$\sqrt{U_R^2+U_L^2}=\sqrt{(14,94\mathrm{V}{)}^2+(18,77\mathrm{V}{)}^2}=\sqrt{223,2+352,3}\mathrm{V}=\sqrt{575,5}\mathrm{V}\approx \underline{24,0\mathrm{V}=U✓}$$

Die Probe geht auf — das Zeigerdiagramm reproduziert die Klemmenspannung exakt.

Skalare Summe (zum Vergleich):

$$U_R+U_L=14,94\mathrm{V}+18,77\mathrm{V}=33,71\mathrm{V}$$ $$\frac{33,71\mathrm{V}-24,0\mathrm{V}}{24,0\mathrm{V}}\approx 40,5\%$$

Die skalare Summe liegt rund $40\%$ zu hoch. Begründung: $u_R(t)$ und $u_L(t)$ erreichen ihre Scheitelwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten — wenn $u_R(t)$ ihr Maximum hat, ist $u_L(t)$ gerade null (weil $u_L$ um $90°$ voreilt). Die Maschenregel verlangt die vektorielle Addition zeitgleicher Momentanwerte, nicht die Addition der Beträge, die ja gar nicht gleichzeitig auftreten. Genau das ist die Lehre aus Übung ET2-02.05.

Praxisbezug Glättungsdrossel

In Netzteilen mit Brückengleichrichter wird eine Drossel hinter den Gleichrichter geschaltet, um Stromspitzen zu glätten. Das hier berechnete Verhalten ist genau die AC-Komponente, die der Brummspannung entspricht — die DC-Komponente sieht nur den ohmschen Widerstand $R$ der Wicklung. Diese Trennung in DC-Verhalten und AC-Verhalten ist die Stärke der Frequenzbereichsbetrachtung.

Im Kontext von ET2

Mit dem hier gerechneten Beispiel sind Sie genau auf dem Niveau, das Sie für Praktikum 2 (RC-Tiefpass und RLC-Reihenkreis) brauchen: Impedanz aus Real- und Blindanteil, Phasenwinkel, Teilspannungen aus dem gemeinsamen Strom. In ET2-06 kommt der Faktor $\cos \phi$ hinzu — bei dieser Schaltung wäre $\cos \phi \approx 0,62$, d. h. nur etwa $62\%$ der Scheinleistung sind tatsächlich Wirkleistung am Widerstand $R$, der Rest pendelt als Blindleistung im Magnetfeld.

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