Übung ET2-03.03 – Komplexer Effektivwert und Zeitfunktion (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-28)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

In der komplexen Wechselstromrechnung ersetzen wir die Zeitfunktion $u(t)=\hat{u}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_u)$ durch den komplexen Effektivwert $\underline{U}=U\cdot e^{j{\phi }_u}$. Diese Operation müssen Sie in beide Richtungen sicher beherrschen: Aus einer gegebenen Zeitfunktion den komplexen Effektivwert ablesen — und umgekehrt aus einem gegebenen komplexen Effektivwert die Zeitfunktion rekonstruieren.

Im deutschen Niederspannungsnetz beträgt die Effektivspannung $230\mathrm{V}$ bei einer Frequenz von $50\mathrm{Hz}$. Eine an dieses Netz angeschlossene Last hat eine Klemmenspannung mit der Zeitfunktion

$$u(t)=325,3\mathrm{V}\cdot \cos \left(2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\cdot t-60°\right)$$

und nimmt einen Strom mit dem komplexen Effektivwert

$$\underline{I}=8,00\mathrm{A}\cdot e^{-j\cdot 105°}$$

auf.

a) Bestimmen Sie aus der Zeitfunktion $u(t)$ den komplexen Effektivwert $\underline{U}$ und geben Sie ihn in Polarform an.

b) Geben Sie $\underline{U}$ zusätzlich in kartesischer Form an.

c) Rekonstruieren Sie aus $\underline{I}$ die zugehörige Zeitfunktion $i(t)$.

d) Bestimmen Sie den Phasenverschiebungswinkel $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$ zwischen Spannung und Strom. Verhält sich die Last induktiv, kapazitiv oder rein resistiv?

Lösung

a) $\underline{U}=230\mathrm{V}\cdot e^{-j\cdot 60°}$
b) $\underline{U}=115,0\mathrm{V}-j\cdot 199,2\mathrm{V}$
c) $i(t)=11,3\mathrm{A}\cdot \cos (2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\cdot t-105°)$
d) $\phi =+45°$, induktives Verhalten

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungs-Zeitfunktion: $u(t)=325,3\mathrm{V}\cdot \cos (\omega t-60°)$, also $\hat{u}=325,3\mathrm{V}$, ${\phi }_u=-60°$
• Frequenz: $f=50\mathrm{Hz}$, daher $\omega =2\pi f=314,16{\mathrm{s}}^{-1}$
• Komplexer Effektivwert des Stromes: $\underline{I}=8,00\mathrm{A}\cdot e^{-j\cdot 105°}$, also $I=8,00\mathrm{A}$, ${\phi }_i=-105°$

Bekannt:

• Komplexer Effektivwert (ET2-03): $\underline{U}=U\cdot e^{j{\phi }_u}$ mit $U=\hat{u}/\sqrt{2}$
• Eulersche Formel (ET2-03): $r\cdot e^{j\phi }=r\cos \phi +jr\sin \phi$
• Rückumrechnung aus dem komplexen Effektivwert (ET2-03): $i(t)=\hat{ı}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_i)$ mit $\hat{ı}=\sqrt{2}\cdot I$
• Phasenverschiebungswinkel (ET2-03): $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$, $\phi >0$ induktiv, $\phi <0$ kapazitiv

Gesucht

a) $\underline{U}$ in Polarform
b) $\underline{U}$ in kartesischer Form
c) $i(t)$ aus $\underline{I}$
d) Phasenverschiebung $\phi$ und Lastverhalten

a) Komplexer Effektivwert $\underline{U}$ in Polarform

Aus der Zeitfunktion $u(t)=\hat{u}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_u)$ wird der Scheitelwert $\hat{u}$ und der Nullphasenwinkel ${\phi }_u$ direkt abgelesen:

$$\hat{u}=325,3\mathrm{V},{\phi }_u=-60°$$

Der reelle Effektivwert ergibt sich aus der Cosinus-Konvention zu:

$$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt{2}}=\frac{325,3\mathrm{V}}{\sqrt{2}}=230,0\mathrm{V}$$

Das ist die deutsche Netzspannung — ein gutes Indiz, dass die Eingangsdaten zueinanderpassen.

Der Phasenwinkel wird unverändert in den komplexen Effektivwert übernommen:

$$\underline{U}=U\cdot e^{j{\phi }_u}=\underline{230\mathrm{V}\cdot e^{-j\cdot 60°}}$$

b) Komplexer Effektivwert in kartesischer Form

Mit der Eulerschen Formel $\underline{U}=U\cdot (\cos {\phi }_u+j\sin {\phi }_u)$:

$$\mathrm{Re}\{\underline{U}\}=230\mathrm{V}\cdot \cos (-60°)=230\mathrm{V}\cdot 0,5000=115,0\mathrm{V}$$ $$\mathrm{Im}\{\underline{U}\}=230\mathrm{V}\cdot \sin (-60°)=230\mathrm{V}\cdot (-0,8660)=-199,2\mathrm{V}$$ $$\underline{U}=\underline{115,0\mathrm{V}-j\cdot 199,2\mathrm{V}}$$

Kontrolle: $\sqrt{115,0^2+199,2^2}\mathrm{V}=\sqrt{13225+39681}\mathrm{V}=\sqrt{52906}\mathrm{V}=230,0\mathrm{V}$ ✓

c) Zeitfunktion $i(t)$ aus dem komplexen Effektivwert

Aus dem komplexen Effektivwert $\underline{I}=I\cdot e^{j{\phi }_i}$ wird der reelle Effektivwert und der Nullphasenwinkel abgelesen:

$$I=8,00\mathrm{A},{\phi }_i=-105°$$

Die Zeitfunktion enthält jedoch nicht den Effektivwert, sondern den Scheitelwert — also Multiplikation mit $\sqrt{2}$:

$$\hat{ı}=\sqrt{2}\cdot I=\sqrt{2}\cdot 8,00\mathrm{A}=11,31\mathrm{A}\approx 11,3\mathrm{A}$$

Der Nullphasenwinkel ${\phi }_i=-105°$ wird unverändert übernommen, die Kreisfrequenz $\omega =2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}$ stammt aus der Netzfrequenz:

$$i(t)=\hat{ı}\cdot \cos (\omega t+{\phi }_i)=\underline{11,3\mathrm{A}\cdot \cos (2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\cdot t-105°)}$$

Effektivwert vs. Scheitelwert

Beim Übergang zwischen Zeitfunktion und komplexem Effektivwert muss konsequent zwischen $\hat{u}$ (Scheitelwert in der Zeitfunktion) und $U=\hat{u}/\sqrt{2}$ (Betrag des komplexen Effektivwerts) unterschieden werden. Eine vergessene Multiplikation oder Division mit $\sqrt{2}\approx 1,414$ führt zu einem systematischen Fehler von 41 % im Endergebnis.

d) Phasenverschiebung und Lastverhalten

$$\phi ={\phi }_u-{\phi }_i=(-60°)-(-105°)=-60°+105°=\underline{+45°}$$

Das positive Vorzeichen bedeutet: Die Spannung eilt dem Strom voraus. Die Last verhält sich also induktiv — typisch für einen Stromkreis mit dominantem Spuleninhalt (z. B. Drosseln, Motoren ohne Kompensation).

Plausibilitätsprüfung über die Zeitachse

Bei $\omega =2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}$ ist $T=20\mathrm{ms}$. Eine Phasenverschiebung von $45°$ entspricht

$$\Delta t=\frac{45°}{360°}\cdot 20\mathrm{ms}=2,5\mathrm{ms}.$$

Der Strom erreicht seine Maxima also $2,5\mathrm{ms}$ später als die Spannung — am Oszilloskop bei $2\mathrm{ms}/\mathrm{Div}$ ein gut sichtbarer Versatz von gut einem Kästchen.

Im Kontext von ET2

In ET2-04 werden Sie sehen, dass jedes Bauelement (R, L, C) eine eigene Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom erzwingt: $0°$ am ohmschen Widerstand, $+90°$ an der idealen Spule, $-90°$ am idealen Kondensator. Eine gemischte Last mit $\phi =+45°$ wie hier verhält sich, als ob Wirk- und induktiver Blindanteil betragsmäßig gleich groß wären. In ET2-06 entscheidet $\cos \phi$ darüber, welcher Anteil der übertragenen Scheinleistung tatsächlich als Wirkleistung nutzbar wird — bei $\phi =+45°$ sind das nur noch $\cos 45°\approx 70\%$.

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