Übung ET2-03.02 – Grundrechenarten mit komplexen Zahlen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Die Faustregel der komplexen Rechnung lautet: Addition und Subtraktion in kartesischer Form, Multiplikation und Division in Polarform. Üben Sie an konkreten Zahlen, dass diese Regel den Rechenaufwand spürbar reduziert — optional: überprüfen Sie zur Kontrolle, dass die jeweils andere Form zum identischen Ergebnis führt.

Gegeben sind:

$${\underline{z}}_1=8+j6,{\underline{z}}_2=3-j4$$

a) Berechnen Sie ${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2$ und ${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2$ in kartesischer Form.

b) Berechnen Sie ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2$ einmal in kartesischer Form und einmal in Polarform. Vergleichen Sie den Rechenaufwand.

c) Berechnen Sie $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ in Polarform.

d) Berechnen Sie $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ alternativ in kartesischer Form, indem Sie den Bruch mit dem konjugiert Komplexen ${\underline{z}}_2^{\ast }$ erweitern. Zeigen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=11+j2$; ${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2=5+j10$
b) ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=48-j14=50\cdot e^{-j\cdot 16,26°}$
c) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=2\cdot e^{j\cdot 90,00°}$
d) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=j\cdot 2=0+j\cdot 2$ — entspricht $2\cdot e^{j\cdot 90°}$ ✓

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• ${\underline{z}}_1=8+j6$
• ${\underline{z}}_2=3-j4$

Bekannt:

• Addition/Subtraktion (ET2-03): komponentenweise in kartesischer Form
• Multiplikation in Polarform (ET2-03): Beträge multiplizieren, Winkel addieren
• Multiplikation in kartesischer Form: $(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+j(a_1{b}_2+a_2{b}_1)$
• Division in Polarform (ET2-03): Beträge dividieren, Winkel subtrahieren
• Division in kartesischer Form: Erweiterung mit ${\underline{z}}_2^{\ast }$
• Konjugiert Komplexes (ET2-03): ${\underline{z}}^{\ast }=a-jb$

Vorab in Polarform (für b und c):

$$r_1=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10,{\phi }_1=\arctan \frac{6}{8}=36,87°\text{(1. Quadrant)}$$ $$r_2=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5,{\phi }_2=\arctan \frac{-4}{3}=-53,13°\text{(4. Quadrant)}$$

Also:

$${\underline{z}}_1=10\cdot e^{j\cdot 36,87°},{\underline{z}}_2=5\cdot e^{-j\cdot 53,13°}$$

Gesucht

a) ${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2$, ${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2$
b) ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2$ in beiden Formen
c) ${\underline{z}}_1/{\underline{z}}_2$ in Polarform
d) ${\underline{z}}_1/{\underline{z}}_2$ in kartesischer Form, Konsistenzprüfung

a) Addition und Subtraktion

$${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=(8+3)+j(6+(-4))=\underline{11+j2}$$ $${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2=(8-3)+j(6-(-4))=\underline{5+j10}$$

In Polarform müssten beide Zahlen erst zurück in kartesische Form umgerechnet, dann addiert/subtrahiert und schließlich erneut in Polarform gebracht werden — drei Schritte statt einem. Daher: für $+$ und $-$ immer kartesisch.

b) Multiplikation in beiden Formen

Polarform (kurz):

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=(10\cdot 5)\cdot e^{j(36,87°+(-53,13°))}=\underline{50\cdot e^{-j\cdot 16,26°}}$$

Zwei Multiplikationen, eine Addition. Drei elementare Operationen.

Kartesische Form (lang):

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=(8+j6)(3-j4)$$ $$=8\cdot 3+8\cdot (-j4)+j6\cdot 3+j6\cdot (-j4)$$ $$=24-j32+j18-j^2\cdot 24$$

Mit $j^2=-1$:

$$=24-j32+j18+24=(24+24)+j(-32+18)=\underline{48-j14}$$

Vier Multiplikationen, drei Additionen, plus die Beachtung von $j^2=-1$. Insgesamt deutlich mehr Schritte als in Polarform.

Kontrolle der Konsistenz: Die Polarform $50\cdot e^{-j\cdot 16,26°}$ in kartesische Form:

$$a=50\cdot \cos (-16,26°)=50\cdot 0,9600=48,0$$ $$b=50\cdot \sin (-16,26°)=50\cdot (-0,2800)=-14,0$$

Also $48-j14$ ✓ — beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.

c) Division in Polarform

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{10}{5}\cdot e^{j(36,87°-(-53,13°))}=2\cdot e^{j(36,87°+53,13°)}=\underline{2\cdot e^{j\cdot 90,00°}}$$

Eine Division, eine Subtraktion. Zwei Operationen.

d) Division in kartesischer Form

Der Trick: Bruch mit dem konjugiert Komplexen ${\underline{z}}_2^{\ast }=3+j4$ erweitern. Dadurch wird der Nenner reell.

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{(8+j6)(3+j4)}{(3-j4)(3+j4)}$$

Nenner:

$$(3-j4)(3+j4)=3^2-(j4{)}^2=9-j^2\cdot 16=9+16=25$$

(Dies ist genau $|{\underline{z}}_2{|}^2=r_2^2=5^2=25$ — ein zentrales Ergebnis aus Abschnitt 3.4.)

Zähler:

$$(8+j6)(3+j4)=24+j32+j18+j^2\cdot 24=24-24+j(32+18)=0+j50$$

Quotient:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{0+j50}{25}=0+j2=\underline{j\cdot 2}$$

Konsistenzprüfung mit (c): Die Polarform $2\cdot e^{j\cdot 90°}$ in kartesische Form:

$$a=2\cdot \cos (90°)=0,b=2\cdot \sin (90°)=2$$

Also $0+j2$ ✓ — beide Wege identisch.

Geometrische Deutung

Das Ergebnis ${\underline{z}}_1/{\underline{z}}_2=j\cdot 2$ bedeutet: Der Zeiger ${\underline{z}}_1$ ist genauso lang wie der doppelte Zeiger ${\underline{z}}_2$ und steht senkrecht auf ihm (Phasendifferenz $90°$). Das war an den ursprünglichen Zahlen ${\underline{z}}_1=8+j6$ und ${\underline{z}}_2=3-j4$ nicht direkt erkennbar — die Polarform macht solche Strukturen sofort sichtbar.

Im Kontext von ET2

In ET2-04 und ET2-05 werden Sie genau diese vier Operationen regelmäßig brauchen: Reihenschaltung von Impedanzen ${\underline{Z}}_{\text{ges}}={\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2$ (Addition, kartesisch); Spannungsteiler ${\underline{U}}_2=\underline{U}\cdot {\underline{Z}}_2/({\underline{Z}}_1+{\underline{Z}}_2)$ (Division, polar); Berechnung des Stroms $\underline{I}=\underline{U}/\underline{Z}$ (Division, polar). Wer hier sicher ist, gewinnt in den nächsten Lektionen viel Zeit.

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