Übung ET2-03.02 – Grundrechenarten mit komplexen Zahlen

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Die Faustregel der komplexen Rechnung lautet: Addition und Subtraktion in kartesischer Form, Multiplikation und Division in Polarform. Üben Sie an konkreten Zahlen, dass diese Regel den Rechenaufwand spürbar reduziert — optional: überprüfen Sie zur Kontrolle, dass die jeweils andere Form zum identischen Ergebnis führt.

Gegeben sind:

$${\underline{z}}_1=8+j6,{\underline{z}}_2=3-j4$$

a) Berechnen Sie ${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2$ und ${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2$ in kartesischer Form.

b) Berechnen Sie ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2$ einmal in kartesischer Form und einmal in Polarform. Vergleichen Sie den Rechenaufwand.

c) Berechnen Sie $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ in Polarform.

d) Berechnen Sie $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ alternativ in kartesischer Form, indem Sie den Bruch mit dem konjugiert Komplexen ${\underline{z}}_2^{\ast }$ erweitern. Zeigen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1+{\underline{z}}_2=11+j2$; ${\underline{z}}_1-{\underline{z}}_2=5+j10$
b) ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_2=48-j14=50\cdot e^{-j\cdot 16,26°}$
c) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=2\cdot e^{j\cdot 90,00°}$
d) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=j\cdot 2=0+j\cdot 2$ — entspricht $2\cdot e^{j\cdot 90°}$ ✓

▶️ Vollständiger Lösungsweg