Übung ET2-03.01 – Umrechnung zwischen kartesischer Form und Polarform (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Die sichere Umrechnung zwischen kartesischer Form $\underline{z}=a+jb$ und Polarform $\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }$ ist die Grundfertigkeit jeder komplexen Wechselstromrechnung. Üben Sie diesen Schritt mit komplexen Zahlen aus allen vier Quadranten — die häufigste Fehlerquelle ist die fehlende Quadrantenkorrektur beim $\arctan$.

Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:

$${\underline{z}}_1=4+j3,{\underline{z}}_2=-6+j8,{\underline{z}}_3=-2-j2,{\underline{z}}_4=12\cdot e^{j\cdot 150°}$$

a) Rechnen Sie ${\underline{z}}_1$, ${\underline{z}}_2$ und ${\underline{z}}_3$ in die Polarform um. Achten Sie auf die Quadrantenkorrektur und geben Sie den Phasenwinkel im Bereich $(-180°,+180°]$ an.

b) Skizzieren Sie alle vier Zeiger qualitativ in der Gaußschen Zahlenebene und benennen Sie den jeweiligen Quadranten.

c) Rechnen Sie ${\underline{z}}_4$ in die kartesische Form um.

d) Überprüfen Sie für ${\underline{z}}_2$ rechnerisch, dass $|{\underline{z}}_2|=\sqrt{a^2+b^2}$ unabhängig vom Vorzeichen von $a$ und $b$ gilt.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 36,87°}$, ${\underline{z}}_2=10\cdot e^{j\cdot 126,87°}$, ${\underline{z}}_3=2,83\cdot e^{-j\cdot 135°}$
b) ${\underline{z}}_1$ im 1., ${\underline{z}}_2$ im 2., ${\underline{z}}_3$ im 3., ${\underline{z}}_4$ im 2. Quadranten
c) ${\underline{z}}_4=-10,4+j\cdot 6,00$
d) $|{\underline{z}}_2|=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$ — Vorzeichen entfallen durch Quadrieren.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• ${\underline{z}}_1=4+j3$
• ${\underline{z}}_2=-6+j8$
• ${\underline{z}}_3=-2-j2$
• ${\underline{z}}_4=12\cdot e^{j\cdot 150°}$

Bekannt:

• Betrag und Argument (ET2-03): $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\phi =\arctan (b/a)$ mit Quadrantenkorrektur
• Quadrantenkorrektur (ET2-03): bei $a<0$, $b>0$ gilt $\phi =\arctan (b/a)+180°$; bei $a<0$, $b<0$ gilt $\phi =\arctan (b/a)-180°$
• Polar $\to$ kartesisch: $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$

Gesucht

a) Polarform von ${\underline{z}}_1$, ${\underline{z}}_2$, ${\underline{z}}_3$
b) Lage in der Gaußschen Zahlenebene (qualitativ)
c) Kartesische Form von ${\underline{z}}_4$
d) Begründung, warum der Betrag vorzeichenunabhängig ist

a) Umrechnung kartesisch $\to$ polar

${\underline{z}}_1=4+j3$ (1. Quadrant: $a>0$, $b>0$):

$$r_1=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$ $${\phi }_1=\arctan \left(\frac{3}{4}\right)=36,87°$$

Keine Quadrantenkorrektur nötig (1. Quadrant).

$${\underline{z}}_1=\underline{5\cdot e^{j\cdot 36,87°}}$$

${\underline{z}}_2=-6+j8$ (2. Quadrant: $a<0$, $b>0$):

$$r_2=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Der Taschenrechner liefert für $\arctan (b/a)=\arctan (8/(-6))=\arctan (-1,333)\approx -53,13°$ — das ist der Wert im 4. Quadranten. Mit der Quadrantenkorrektur $+180°$ landet der Winkel im 2. Quadranten:

$${\phi }_2=-53,13°+180°=126,87°$$ $${\underline{z}}_2=\underline{10\cdot e^{j\cdot 126,87°}}$$

${\underline{z}}_3=-2-j2$ (3. Quadrant: $a<0$, $b<0$):

$$r_3=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2,828\approx 2,83$$

Der Taschenrechner liefert $\arctan ((-2)/(-2))=\arctan (1)=45°$ — das ist der Wert im 1. Quadranten. Mit der Quadrantenkorrektur $-180°$ landet der Winkel im 3. Quadranten:

$${\phi }_3=45°-180°=-135°$$ $${\underline{z}}_3=\underline{2,83\cdot e^{-j\cdot 135°}}$$

Fehlerfreie Alternative

Die Funktion $atan2(b,a)$ liefert den Winkel direkt in allen vier Quadranten und macht die manuelle Quadrantenkorrektur überflüssig. Auf Taschenrechnern ist sie oft als $\mathrm{Pol}(a,b)$ oder $Rect/Pol$-Taste verfügbar.

b) Lage in der Gaußschen Zahlenebene

Zahl	Realteil	Imaginärteil	Quadrant
${\underline{z}}_1=4+j3$	$+$	$+$	1.
${\underline{z}}_2=-6+j8$	$-$	$+$	2.
${\underline{z}}_3=-2-j2$	$-$	$-$	3.
${\underline{z}}_4=-10,4+j\cdot 6,00$ (siehe c)	$-$	$+$	2.

c) Umrechnung polar $\to$ kartesisch

$$a_4=r_4\cdot \cos {\phi }_4=12\cdot \cos (150°)=12\cdot (-0,866)=-10,4$$ $$b_4=r_4\cdot \sin {\phi }_4=12\cdot \sin (150°)=12\cdot 0,500=6,00$$ $${\underline{z}}_4=\underline{-10,4+j\cdot 6,00}$$

Kontrolle über den Betrag: $\sqrt{(-10,4{)}^2+6,00^2}=\sqrt{108,2+36,0}=\sqrt{144,2}\approx 12,01\approx 12$ ✓ (Rundungsdifferenz in der letzten Stelle).

d) Vorzeichenunabhängigkeit des Betrags

Der Betrag $|{\underline{z}}_2|$ entsteht aus der Wurzel über die Quadrate der Komponenten:

$$|{\underline{z}}_2|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\underline{10}$$

Da $(-6{)}^2=36=(+6{)}^2$ ist, hat das Vorzeichen von $a$ keinen Einfluss auf das Ergebnis. Der Betrag entspricht geometrisch der Länge des Zeigers vom Ursprung zum Punkt $(a,b)$ — diese Länge ist immer positiv, unabhängig davon, in welchem Quadranten der Punkt liegt.

Die Information über den Quadranten steckt nicht im Betrag $r$, sondern ausschließlich im Phasenwinkel $\phi$. Genau deshalb ist die Quadrantenkorrektur bei der Berechnung von $\phi$ so wichtig.

Merkregel: Polarform-Routine

1. Betrag $r=\sqrt{a^2+b^2}$ — immer positiv, kein Vorzeichen-Stress.
2. Quadrant aus den Vorzeichen von $a$ und $b$ ablesen.
3. $\arctan (b/a)$ in den Taschenrechner eingeben.
4. Quadrantenkorrektur anwenden, falls $a<0$ ($\pm 180°$).
5. Stichprobe: Liegt der Winkel im richtigen Quadranten?

Im Kontext von ET2

In ET2-04 werden Sie die Polarform für jede Impedanz $\underline{Z}$ benötigen: Der Betrag $|\underline{Z}|$ liefert das Verhältnis der Effektivwerte $U/I$, der Phasenwinkel ${\phi }_Z$ liefert die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Eine falsche Quadrantenzuordnung führt dort zu einer Verwechslung von kapazitivem und induktivem Verhalten — mit weitreichenden Folgen für Resonanz- und Leistungsbetrachtungen in ET2-06.

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